数学理·宁夏石嘴山市平罗中学2017届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）+Word版含解析

数学理·宁夏石嘴山市平罗中学2017届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）+Word版含解析

‎2016-2017学年宁夏石嘴山市平罗中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分．每小题只有唯一正确答案.）‎ ‎1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x＞﹣1}，则集合∁U（A∩B）=（　　）‎ A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤0} C．{x|x≤﹣1或x≥0} D．{x|x≤﹣1或x＞0}‎ ‎2．已知命题p：∀x∈R，|x+1|≥0，那么命题￢p为（　　）‎ A．∃x∈R，|x+1|＜0 B．∀x∈R，|x+1|＜0 C．∃x∈R，|x+1|≤0 D．∀x∈R，|x+1|≤0‎ ‎3．已知i为虚数单位，复数z=，z与共轭，则等于（　　）‎ A．1 B．2 C． D．0‎ ‎4．已知角α的终边经过点（3a，﹣4a）（a＜0），则sinα﹣cosα等于（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎5．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（　　）‎ A． B．4 C． D．6‎ ‎6．已知，则sin2α﹣sinαcosα的值是（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．2‎ ‎7．已知sinθ=2cosθ，则=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．0 D．‎ ‎8．函数y=++的值域是（　　）‎ A．{﹣1，0，1，3} B．{﹣1，0，3} C．{﹣1，3} D．{﹣1，1}‎ ‎9．已知函数f（x）=x2﹣，则函数y=f（x）的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当x∈[﹣3，﹣1]时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f A．336 B．355 C．1676 D．2015‎ ‎11．函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为（　　）‎ A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}‎ C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}‎ ‎12．若a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x的解的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（请将正确答案填在答案卷的横线上．每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知函数f（x）=，则f（f（2））等于　　．‎ ‎14．如图，函数F（x）=f（x）+x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=　　．‎ ‎15．若（sinx﹣acosx）dx=2，则实数a等　　．‎ ‎16．对函数，有下列说法：‎ ‎①f（x）的周期为4π，值域为[﹣3，1]；‎ ‎②f（x）的图象关于直线对称；‎ ‎③f（x）的图象关于点对称；‎ ‎④f（x）在上单调递增；‎ ‎⑤将f（x）的图象向左平移个单位，即得到函数的图象．‎ 其中正确的是　　．（填上所有正确说法的序号）．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答要有必要的文字说明或演算过程，否则不得分．共70分）‎ ‎17．已知y=sin（2x+）﹣1．‎ ‎（1）求函数的对称轴和对称中心；‎ ‎（2）求函数的单调增区间和单调减区间；‎ ‎（3）若x∈（﹣，），求函数的值域．‎ ‎18．已知函数f（x）=x﹣klnx，常数k＞0．‎ ‎（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，求k的取值范围．‎ ‎19．已知函数f（x）=x3﹣a2x+a（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，函数g（x）=f（x）﹣b恰有3个零点，求实数b的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若对任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎20．设l为曲线C：y=在点（1，0）处的切线．‎ ‎（Ⅰ）求l的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．‎ ‎21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）≥0对定义域中的任意x恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）证明：对任意正整数m，n，不等式++…+＞恒成立．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．选修4﹣4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程 为ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=log2（|2x+1|+|x+2|﹣m）．‎ ‎（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年宁夏石嘴山市平罗中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分．每小题只有唯一正确答案.）‎ ‎1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x＞﹣1}，则集合∁U（A∩B）=（　　）‎ A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤0} C．{x|x≤﹣1或x≥0} D．{x|x≤﹣1或x＞0}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵A={x|x≤0}，B={x|x＞﹣1}，‎ ‎∴A∩B={x|﹣1＜x≤0}，‎ 则∁U（A∩B）={x|x≤﹣1或x＞0}，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．已知命题p：∀x∈R，|x+1|≥0，那么命题￢p为（　　）‎ A．∃x∈R，|x+1|＜0 B．∀x∈R，|x+1|＜0 C．∃x∈R，|x+1|≤0 D．∀x∈R，|x+1|≤0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称可对命题进行否定 ‎【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，﹣p为：∃x∈R，使得|x+1|＜0‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．已知i为虚数单位，复数z=，z与共轭，则等于（　　）‎ A．1 B．2 C． D．0‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】化简复数z，求出共轭复数，再计算的值．‎ ‎【解答】解：∵复数z===1﹣i，‎ ‎∴=1+i，‎ ‎∴=|（1﹣i）（1+i）|=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．已知角α的终边经过点（3a，﹣4a）（a＜0），则sinα﹣cosα等于（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得sinα﹣cosα的值．‎ ‎【解答】解：由角α的终边经过点（3a，﹣4a）（a＜0），‎ a＜0时，x=3a，y=﹣4a，r==﹣5a．‎ ‎∴sinα===，cosα===﹣，‎ sinα﹣cosα=﹣（﹣）=，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（　　）‎ A． B．4 C． D．6‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．‎ ‎【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），‎ 因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：‎ S=．故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知，则sin2α﹣sinαcosα的值是（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值．‎ ‎【分析】由由已知条件求出 tanα 值，化简sin2α﹣sinαcosα=，把tanα值代入运算．‎ ‎【解答】解：∵，∴，∴tanα=2．‎ ‎∴sin2α﹣sinαcosα====，‎ 故选 A．‎ ‎　‎ ‎7．已知sinθ=2cosθ，则=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．0 D．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值；诱导公式的作用．‎ ‎【分析】利用诱导公式化简所求表达式，代入已知条件化简求解即可．‎ ‎【解答】解：sinθ=2cosθ，则===﹣2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．函数y=++的值域是（　　）‎ A．{﹣1，0，1，3} B．{﹣1，0，3} C．{﹣1，3} D．{﹣1，1}‎ ‎【考点】三角函数值的符号；函数的值域．‎ ‎【分析】三角函数的符号规律：第一象限角的正弦、余弦和正切的符号均为正；第二象限正弦的符号为正，余弦和正切符号为负；第三象限正切的符号为正，正弦和余弦符号为负；第四象限余弦的符号为正，正弦和正切的符号为负．依此规律，对x所在的象限进行讨论，可得所求函数的值域．‎ ‎【解答】解：根据函数的表达式，可得x的终边不能落在坐标轴上，‎ 因此进行以下分类：‎ ‎①当x为第一象限角时，sinx＞0，cosx＞0，tanx＞0，‎ ‎∴=1+1+1=3‎ ‎②当x为第二象限角时，sinx＞0，cosx＜0，tanx＜0，‎ ‎∴=1﹣1﹣1=﹣1；‎ ‎③当x为第三象限角时，sinx＜0，cosx＜0，tanx＞0，‎ ‎∴=﹣1﹣1+1=﹣1；‎ ‎④当x为第四象限角时，sinx＜0，cosx＞0，tanx＜0，‎ ‎∴=﹣1+1﹣1=﹣1．‎ 综上所述，y=3或﹣1，函数的值域为{3，﹣1}‎ 故选C ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=x2﹣，则函数y=f（x）的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】先求出其定义域，得到{x|x≠0}，根据函数的奇偶性排除B、C两项，再证明当x＞0时，函数图象恒在x轴上方，排除D选项，从而可得正确的选项是A．‎ ‎【解答】解：由题意可得，函数的定义域x≠0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足f（﹣1）=f（1）=1，可排除B、C两个选项．‎ ‎∵当x＞0时，t==在x=e时，t有最小值为 ‎∴函数y=f（x）=x2﹣，当x＞0时满足y=f（x）≥e2﹣＞0，‎ 因此，当x＞0时，函数图象恒在x轴上方，排除D选项 故选A ‎　‎ ‎10．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当x∈[﹣3，﹣1]时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f A．336 B．355 C．1676 D．2015‎ ‎【考点】抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】根据f（x）的周期计算f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6），再利用周期性计算．‎ ‎【解答】解：∵f（x+6）=f（x），∴f（x）的周期为6，‎ ‎∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=f（1）+f（2）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）=1+2+（﹣1）+0+（﹣1）+0=1，‎ ‎∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）]﹣f（6）=336﹣0=336，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为（　　）‎ A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}‎ C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}‎ ‎【考点】函数单调性的性质；导数的运算．‎ ‎【分析】构造函数g（x）=ex•f（x）﹣ex，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）=1，可得不等式ex•f（x）＞ex+1的解集．‎ ‎【解答】解：令g（x）=ex•f（x）﹣ex，‎ 则g′（x）=ex•[f（x）+f′（x）﹣1]‎ ‎∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，‎ ‎∴g′（x）＞0恒成立 即g（x）=ex•f（x）﹣ex在R上为增函数 又∵f（0）=2，∴g（0）=1‎ 故g（x）=ex•f（x）﹣ex＞1的解集为{x|x＞0}‎ 即不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为{x|x＞0}‎ 故选A ‎　‎ ‎12．若a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x的解的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】先根据a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，可得a+b=4，进而可分类求出关于x的方程f（x）=x的解，从而确定关于x的方程f（x）=x的解的个数．‎ ‎【解答】解：∵a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，‎ ‎∴a，b分别为函数y=4﹣x与函数y=lgx，y=10x图象交点的横坐标 由于y=x与y=4﹣x图象交点的横坐标为2，函数y=lgx，y=10x的图象关于y=x对称 ‎∴a+b=4‎ ‎∴函数f（x）=‎ 当x≤0时，关于x的方程f（x）=x，即x2+4x+2=x，即x2+3x+2=0，‎ ‎∴x=﹣2或x=﹣1，满足题意 当x＞0时，关于x的方程f（x）=x，即x=2，满足题意 ‎∴关于x的方程f（x）=x的解的个数是3‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（请将正确答案填在答案卷的横线上．每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知函数f（x）=，则f（f（2））等于　　．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】根据函数f（x）的解析式，分别求出f（2）=﹣1，f（﹣1）=，即得f（f（2））的值．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=，‎ ‎∴f（2）=2=﹣1，‎ ‎∴f（﹣1）=2﹣1=；‎ ‎∴f（f（2））=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．如图，函数F（x）=f（x）+x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=　﹣5　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值．‎ ‎【分析】根据切点在函数F（x）的图象上，求出切点坐标，然后求出函数F（x）的导函数F'（x），根据F'（5）=﹣1求出f′（5），从而求出所求．‎ ‎【解答】解：F（5）=f（5）+5=﹣5+8=3，所以f（5）=﹣2．‎ 又F′（x）=f′（x）+x，‎ 所以F′（5）=f′（5）+×5=﹣1，‎ 解得f′（5）=﹣3，f（5）+f′（5）=﹣5．‎ 故答案为：﹣5‎ ‎　‎ ‎15．若（sinx﹣acosx）dx=2，则实数a等　﹣1　．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】根据定积分计算公式，算出=﹣a+1，再结合本题的等式解关于a的方程，即可得到实数a的值．‎ ‎【解答】解： =（﹣cosx﹣asinx）=[（﹣cos﹣asin）﹣（﹣cos0﹣asin0）]=﹣a+1‎ ‎∵‎ ‎∴﹣a+1=2，解之得a=﹣1‎ 故答案为：﹣1‎ ‎　‎ ‎16．对函数，有下列说法：‎ ‎①f（x）的周期为4π，值域为[﹣3，1]；‎ ‎②f（x）的图象关于直线对称；‎ ‎③f（x）的图象关于点对称；‎ ‎④f（x）在上单调递增；‎ ‎⑤将f（x）的图象向左平移个单位，即得到函数的图象．‎ 其中正确的是　①②④　．（填上所有正确说法的序号）．‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】由条件利用正弦函数的图象和性质以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：对函数，他的周期为=4π，值域为[﹣3，1]，故①正确．‎ 当x=时，f（x）=1，为最大值，故f（x）的图象关于直线对称，故②正确．‎ 当x=﹣时，f（x）=﹣1，不是函数的最值，故故f（x）的图象不关于直线对称，故③错误．‎ 在上， x+∈（﹣，），故f（x）=2sin（x+）单调递增，故f（x）在上单调递增，故④正确．‎ 将f（x）的图象向左平移个单位，即可得到函数y=2sin[（x+）+]=2sin（x+）的图象，故⑤错误，‎ 故答案为：①②④．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答要有必要的文字说明或演算过程，否则不得分．共70分）‎ ‎17．已知y=sin（2x+）﹣1．‎ ‎（1）求函数的对称轴和对称中心；‎ ‎（2）求函数的单调增区间和单调减区间；‎ ‎（3）若x∈（﹣，），求函数的值域．‎ ‎【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）由条件根据正弦函数的对称性，求得函数y=sin（2x+）﹣1的对称轴和对称中心．‎ ‎（2）根据三角函数的单调性解答．‎ ‎（3）根据x的取值范围求得（2x+）的取值范围，然后由正弦函数图象的性质求其值域．‎ ‎【解答】解：（1）对于函数y=sin（2x+）﹣1，令2x+=kπ+，k∈Z，‎ 解得x=+，k∈Z，‎ 故函数的对称轴方程为x=+，k∈Z，‎ 令2x+=kπ，k∈Z，‎ 解得x=﹣，k∈Z，‎ 故函数的对称中心是（﹣，0），k∈Z．‎ ‎（2）对于函数y=sin（2x+）﹣1，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z．‎ 解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z．‎ 所以该函数的单调增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．‎ 令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z．‎ 解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z．‎ 所以该函数的单调减区间是[kπ+，kπ+]，k∈Z．‎ ‎（3）∵x∈（﹣，），‎ ‎∴2x+∈（﹣，），‎ ‎∴y=sin（2x+）﹣1的值域是（﹣，）．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=x﹣klnx，常数k＞0．‎ ‎（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，求k的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求导函数，根据x=1是函数f（x）的一个极值点，可求k的值，令f′（x）＞0，可得函数F（x）的单调递增区间，令f′（x）＜0，可得单调递减区间；‎ ‎（2）根据函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，可得g′（x）=2x﹣k（1+lnx）≥0对x∈（1，2）恒成立，即k≤对x∈（1，2）恒成立，求出最小值，即可求得k的取值范围．‎ ‎【解答】解（1）：求导函数，可得f′（x）=1﹣，因为x=1是函数f（x）的一个极值点，f′（1）=0，‎ ‎∴k=1，‎ ‎∴f′（x）=1﹣，‎ 令f′（x）＞0，可得x∈（1，+∞）∪（﹣∞，0），‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴x∈（1，+∞）‎ 令f′（x）＜0，可得x∈（0，1），‎ 故函数F（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．‎ ‎（2）：因为函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，则g′（x）=2x﹣k（1+lnx）≥0对x∈（1，2）恒成立，即k≤对x∈（1，2）恒成立，‎ 令h（x）=‎ ‎∴h′（x）=对x∈（1，2）恒成立．‎ 所以h（x）在（1，2）单调递增，hmin（x）＞h（1）=2，‎ ‎∴k≤2．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=x3﹣a2x+a（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，函数g（x）=f（x）﹣b恰有3个零点，求实数b的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若对任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求得a=1的函数f（x）的导数，求得单调区间和极值，由题意可得，只要b介于极小值和极大值之间；‎ ‎（Ⅱ）求得f（x）的导数，对a讨论，当a=0时，当a＞0时，当a＜0时，求得单调区间，即可得到最小值，再由不等式恒成立思想即可得到．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=x2﹣1=（x+1）（x﹣1），‎ 令f′（x）=0，x1=﹣1，x2=1，‎ 当x变化时，f′（x），f（x）的取值情况如下：‎ x ‎（﹣∞，﹣1）‎ ‎﹣1‎ ‎（﹣1，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎，，‎ 所以，实数b的取值范围是．‎ ‎（Ⅱ）f′（x）=（x+a）（x﹣a），令f′（x）=0，x1=﹣a，x2=a，‎ ‎（1）当a=0时，f（x）在[0，+∞）上为增函数，‎ ‎∴f（x）min=f（0）=0不合题意； ‎ ‎（2）当a＞0时，f（x）在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上为增函数，‎ ‎∴f（x）min=f（a）＞0，得； ‎ ‎（3）当a＜0时，f（x）在（0，﹣a）上是减函数，在（﹣a，+∞）上为增函数，‎ ‎∴f（x）min=f（﹣a）＜f（0）＜0，不合题意．‎ 综上，．‎ ‎　‎ ‎20．设l为曲线C：y=在点（1，0）处的切线．‎ ‎（Ⅰ）求l的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；‎ ‎（Ⅱ）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵‎ ‎∴‎ ‎∴l的斜率k=y′|x=1=1‎ ‎∴l的方程为y=x﹣1‎ 证明：（Ⅱ）令f（x）=x（x﹣1）﹣lnx，（x＞0）‎ 曲线C在直线l的下方，即f（x）=x（x﹣1）﹣lnx＞0，‎ 则f′（x）=2x﹣1﹣=‎ ‎∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0‎ ‎∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即＜x﹣1‎ x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即＜x﹣1‎ 即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方 ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）≥0对定义域中的任意x恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）证明：对任意正整数m，n，不等式++…+＞恒成立．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）的导数，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．‎ ‎（2）由于f（1）=﹣，当a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上取得最小值为f（1）=﹣，由此能求出实数a的取值范围．‎ ‎（3）由（2）知，当a=﹣时，f（x）≥0，当且仅当x=1时，等号成立，这个不等式等价于lnx≤x2﹣x．由此能够证明对任意的正整数m，n，不等式恒成立．‎ ‎【解答】解：（1）∵f′（x）=+x﹣（1+a），‎ ‎①当a≤0时，若0＜x＜1，则f′（x）＜0，‎ 故函数f（x）的单调减区间是（0，1）；‎ 若x＞1，则f′（x）＞0，故函数f（x）的增区间是（1，+∞）．‎ ‎②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调减区间是（a，1）；‎ 单调增区间是（0，a），（1，+∞）．‎ ‎③当a=1时，则f′（x）=≥0，‎ 故函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；‎ ‎④当a＞1时，函数f（x）的单调递减区间是（1，a）；‎ 函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．‎ ‎（2）由于f（1）=﹣，‎ 当a＞0时，f（1）＜0，‎ 此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．‎ 当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上的极小值，也是最小值为f（1）=﹣，‎ 此时，f（1）≥0，解得a≤﹣，‎ 故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣）．‎ ‎（3）由（2）知，当a=﹣时，‎ f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0，当且仅当x=1时，等号成立，‎ 这个不等式等价于lnx≤x2﹣x．‎ 当x＞1时，变换为＞=﹣，‎ 因此不等式左边＞（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=，‎ 从而得证．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．选修4﹣4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程 为ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．‎ ‎【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t即可得到直线l的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）将直线L的参数方程，代入曲线C的方程，利用参数的几何意义即可得出|PA|•|PB|，从而建立关于a的方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：（I）由ρsin2θ=2acosθ（a＞0）得ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0）‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）…‎ 直线l的普通方程为y=x﹣2…‎ ‎（II）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2ax中，‎ 得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0‎ 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2‎ 则有t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）…‎ ‎∵|PA|⋅|PB|=|AB|2‎ ‎∴|t1t2|=（t1﹣t2）2，即（t1+t2）2=5t1t2…‎ ‎∴[2（4+a）]2=40（4+a）‎ 化简得，a2+3a﹣4=0‎ 解之得：a=1或a=﹣4（舍去）‎ ‎∴a的值为1…‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=log2（|2x+1|+|x+2|﹣m）．‎ ‎（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）当m=4时，有|2x+1|+|x+2|＞4，故有 ①，或 ②，或 ③．分别求出①②③的解集，‎ 再取并集即得所求．‎ ‎（2）由题意可得 m≤|2x+1|+|x+2|﹣2，令g（x）=|2x+1|+|x+2|﹣2，求得g（x）的最小值等于﹣，可得．‎ ‎【解答】（1）当m=4时，函数f（x）=log2（|2x+1|+|x+2|﹣4），故有|2x+1|+|x+2|＞4．‎ 故有 ①，或 ②，或 ③．‎ 解①得 x＜﹣； 解②得 x∈∅； 解③得 x＞．‎ 取并集可得函数f（x）的定义域为 ．﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，则有|2x+1|+|x+2|﹣m≥2，即 m≤|2x+1|+|x+2|﹣2．‎ 令 ，可得，即 g（x）的最小值等于﹣‎ ‎∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎2016年12月10日