甘肃省张掖市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

甘肃省张掖市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

张掖市2018—2019学年第二学期期末考试 高一数学试卷 一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1.的值（ ）‎ A. 小于0 B. 大于‎0 ‎C. 等于0 D. 不小于0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定各个角的范围，由三角函数定义可确定正负．‎ ‎【详解】∵，∴，，，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查各象限角三角函数的符号，掌握三角函数定义是解题关键．‎ ‎2.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得，而待求值式可化为关于的二次齐次式，再弦化切后计算．‎ ‎【详解】∵，∴，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，掌握弦化切的解题方法是解题关键．‎ ‎3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.‎ 根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.‎ ‎【详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；‎ 对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；‎ 对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.‎ ‎【点睛】本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.‎ ‎4.如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为，落在正方形内的豆子数为，则圆周率的估算值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设正方形的边长为.则圆的半径为，根据几何概型的概率公式可以得到 ‎，即，故选B.‎ 考点：几何概型.‎ ‎【方法点睛】本题題主要考查“体积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总体积（总空间) 以及事件的体积(事件空间)；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎5.已知，则的值构成的集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的奇偶分类讨论．‎ ‎【详解】为偶数时，，‎ 为奇数时，设，则 ‎．‎ ‎∴的值构成的集合是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式，掌握诱导公式是解题基础．注意诱导公式的十字口诀：奇变偶不变，符号看象限．‎ ‎6.‎ ‎ 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为 A. 35 B. ‎20 ‎C. 18 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：模拟算法：开始：输入成立；‎ ‎，成立；‎ ‎，成立；‎ ‎，不成立，输出.故选C.‎ 考点：1.数学文化；2.程序框图.‎ ‎7.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A. y与x具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心（，）‎ C. 若该大学某女生身高增加‎1cm，则其体重约增加‎0.85kg D. 若该大学某女生身高为‎170cm，则可断定其体重必为‎58.79kg ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则 ‎=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；‎ 回归直线过样本点的中心（），B正确；‎ 该大学某女生身高增加 ‎1cm，预测其体重约增加 ‎0.85kg，C正确；‎ 该大学某女生身高为 ‎170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=‎58.79kg，D错误．‎ 故选D．‎ ‎8.向量，，若，则（ ）‎ A. 5 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知等式求出，再根据模的坐标运算计算出模．‎ ‎【详解】由得，解得．‎ ‎∴，，．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查求向量的模，考查向量的数量积，及模的坐标运算．掌握数量积和模的坐标表示是解题基础．‎ ‎9.若，则（ ）‎ A. -4 B. ‎3 ‎C. 4 D. -3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 已知等式左边用诱导公式变形后用正弦和二倍角公式化简，右边用切化弦法变形，再由二倍角公式化简后可得．‎ 详解】，‎ ‎，‎ ‎∴，．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握三角函数恒等变形公式，确定选用公式的顺序是解题关键．‎ ‎10.一个不透明袋中装有大小､质地完成相同的四个球，四个球上分别标有数字2，3，4，6，现从中随机选取三个球，则所选三个球上的数字能构成等差数列(如：､､成等差数列，满足)的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用列举法写出所有基本事件，确定成等差数列含有的基本事件，计数后可得概率．‎ ‎【详解】任取3球，结果有234,236,246,346共4种，其中234，246是成等差数列的2个基本事件，‎ ‎∴所求概率为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法列出所有的基本事件．‎ ‎11.，则 的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意得 ， ‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查函数的三角恒等变换和三角函数的图像与性质，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.首先利用诱导公式和两角和差公式将 化简，再利用正弦的函数图像可得正解.‎ ‎12.在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意，可以点为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐标分别为，直线的方程为，不妨设点的坐标分别为，，不妨设，由，所以，整理得，则，即，所以当时，有最小值，当时，有最大值.故选A.‎ 点睛：此题主要考查了向量数量积的坐标运算，以及直线方程和两点间距离的计算等方面的知识与技能，还有坐标法的运用等，属于中高档题，也是常考考点.根据题意，把运动（即的位置在变）中不变的因素（）找出来，通过坐标法建立合理的直角坐标系，把点的坐标表示出来，再通过向量的坐标运算，列出式子，讨论其最值，从而问题可得解.‎ 二､填空题(每题5分，共20分)‎ ‎13.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1~200编号，分40组，分别为1~5，6~10，…，196~200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．‎ ‎【答案】 (1). 37 (2). 20‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由系统抽样，编号是等距出现的规律可得，分层抽样是按比例抽取人数．‎ ‎【详解】第8组编号是22+5+5+5＝37，‎ 分层抽样，40岁以下抽取的人数为50%×40＝20（人）．‎ 故答案为：37；20．‎ ‎【点睛】本题考查系统抽样和分层抽样，属于基础题．‎ ‎14.若函数图象各点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位，得到的函数图象离原点最近的的对称中心是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二倍角公式化简函数式，然后由三角函数图象变换得新解析式，结合正弦函数性质得对称中心．‎ ‎【详解】由题意，经过图象变换后新函数解析式为，由，，，绝对值最小的是，因此所求对称中心为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的性质，考查二倍角公式，掌握正弦函数性质是解题关键．‎ ‎15.在中，，过直角顶点作射线交线段于点，则的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，求出的长，由几何概型概率公式计算．‎ ‎【详解】设，由题意得，，∴的概率是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查几何概型，考查长度型几何概型．掌握几何概型概率公式是解题关键．‎ ‎16.设偶函数的部分图像如图所示，为等腰直角三角形，，则的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 的部分图象如图所示，为等腰直角三角形，，，函数是偶函数，，函数的解析式为，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求使解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，往往利用特殊点求的值，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.‎ 三､解答题(70分)‎ ‎17.已知是第三象限角，．‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由诱导公式变形即得；‎ ‎（2）同样用诱导公式化简后，利用平方关系求值．‎ ‎【详解】（1）；‎ ‎（2），，‎ 又第三象限角，∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式，考查同角间的三角函数关系．在用平方关系示三角函数值时，要注意确定角的范围．‎ ‎18.如图，在平行四边形中，，，，与的夹角为．‎ ‎（1）若，求、的值；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）求与的夹角的余弦值．‎ ‎【答案】（1），；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据向量的运算有，可知，由模长即可求得、的值；（2）先求得向量,再根据向量的数量积及便可求得；（3）由前面的求解可得及，可利用求得向量夹角的余弦值．‎ 试题解析：（1）因为，‎ 所以即.‎ ‎（2）由向量的运算法则知，‎ ‎,‎ 所以.‎ ‎(3) 因为与的夹角为，所以与的夹角为,‎ 又,所以 ‎.‎ ‎.‎ 设与的夹角为，可得 ‎.‎ 所以与的夹角的余弦值为.‎ 考点：向量的运算．‎ ‎【思路点睛】本题主要考查向量的运算及单位向量，平面任一向量都可用两个不共线的单位向量来表示，其对应坐标就是沿单位向量方向上向量的模长；而对于向量的数量积，在得知模长及夹角的情况下，可以用两向量模长与夹角余弦三者的乘积来计算，也可转化为单位向量的数量积进行求解；而向量夹角的余弦值则经常通过向量的数量积与向量模长的比值来求得．‎ ‎19.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）标准煤的几组对照数据.‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程；‎ ‎（3）已知该厂技改前吨甲产品的生产能耗为吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（注：，）‎ ‎【答案】(1)见解析.(2).(3)吨.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接描点即可 ‎（2）计算出的平均数，，及，，利用公式即可求得，问题得解．‎ ‎（3）将代入可得，结合已知即可得解．‎ ‎【详解】解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；‎ ‎（2）计算，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴回归方程的系数为： .‎ ‎，∴所求线性回归方程为；‎ ‎（3）利用线性回归方程计算时，，‎ 则，即比技改前降低了19.65吨.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法，考查计算能力，还考查了线性回归方程的应用，属于中档题．‎ ‎20.函数在同一个周期内，当时，取最大值1，当时，取最小值-1．‎ ‎（1）求函数的单调递减区间．‎ ‎（2）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出周期得，由最高点坐标可求得，然后由正弦函数的单调性得结论；‎ ‎（2）由直线与的图象交点的对称性可得．‎ ‎【详解】（1）由题意，∴，‎ 又，，，由得，‎ ‎∴，‎ 令得，‎ ‎∴单调减区间是，；‎ ‎（2）在含有三个周期，如图，的图象与在上有六个交点，前面两个交点关于直线对称，中间两个关于直线对称，最后两个关于直线对称，‎ ‎∴所求六个根的和为．‎ ‎【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，考查函数的单调性，考查函数零点与方程根的分布问题．函数零点与方程根的分布问题可用数形结合思想，把方程的根转化为函数图象与直线交点的横坐标，再利用对称性求解．‎ ‎21.一汽车厂生产，，三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有 类轿车10辆．‎ 轿车 轿车 轿车 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；‎ ‎（3）用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2 把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个得分数， 记这8辆轿车的得分的平均数为，定义事件，且函数没有零点，求事件发生的概率．‎ ‎【答案】（1）400；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由分层抽样按比例可得；‎ ‎（2）把5个样本编号，用列举法列出任取2辆的所有基本事件，得出至少有1辆舒适型轿车的基本事件，计数后可得概率．‎ ‎（3）求出，确定事件所含的个数后可得概率．‎ ‎【详解】（1）由题意，解得；‎ ‎（2）C类产品中舒适型和标准型产品数量比为，因此5人样品中舒适型抽取了2辆，标准型抽取了3辆，编号为，任取2辆的基本事件有：‎ 共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有共7个，所求概率为．‎ ‎（3）由题意，‎ 满足的有共6个，‎ 函数没有零点，则，解得，再去掉，还有4个，‎ ‎∴所求概率为．‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样，考查古典概型，解题关键是用列举法写出所有的基本事件．‎ ‎22.已知向量，．‎ ‎（1）若，求的值．‎ ‎（2）记，在中，满足，求函数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出数量积，由二倍角公式和两角和的正弦公式化简，求出，然后结合诱导公式和余弦的二倍角公式可求值；‎ ‎（2）应用两角和的正弦公式可求得，得有范围，由（1）的结论得，即其范围．‎ ‎【详解】（1）由题意 ‎，，‎ ‎．‎ ‎（2）由（1），‎ 由得 ‎，‎ 三角形中，∴，．则，，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，考查两角和正弦公式，二倍角公式，考查三角函数的性质．解题中利用三角公式化简变形是解题关键，本题属于中档题．‎