【导与练】2017届高三数学（文）二轮复习（全国通用）专题突破 专题二 函数与导数 第1讲 函数图象与性质、函数与方程
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专题二 函数与导数
第1讲 函数图象与性质、函数与方程
(限时:45分钟)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
函数的概念、定义域、值域
1,2,5,11
函数的性质及应用
3,4,12
函数的图象及应用
6,9
函数的零点及应用
8,13
函数与方程
7,10,14
一、选择题
1.(2016·湖南怀化三模)函数y=f(x)和x=2的交点个数为( D )
(A)0个 (B)1个
(C)2个 (D)0个或1个
解析:根据函数y=f(x)的定义,当x=2为定义域内一个值,有唯一的一个函数值f(x)与之对应,函数y=f(x)的图象与直线x=2有唯一交点.
当x=2不在定义域内时,函数值f(x)不存在,函数y=f(x)的图象与直线x=2没有交点.
故函数y=f(x)的图象与直线x=2至多有一个交点,
即函数y=f(x)的图象与直线x=2的交点的个数是0或1,
故选D.
2.函数f(x)=+的定义域为( B )
(A){x|x<1} (B){x|0
1}
解析:要使函数有意义,则
即得0f(1)的实数x的取值范围是( D )
(A)(-∞,2) (B)(2,+∞)
(C)(-∞,1)∪(1,2) (D)(-∞,1)∪(2,+∞)
解析:因为f(x)为R上的减函数;
所以由f()>f(1)得<1;
解得x<1,或x>2;
所以x的取值范围是(-∞,1)∪(2,+∞).
故选D.
5.(2016·河北唐山二模)已知函数f(x)=+sin πx在[0,1)上的最大值为m,在(1,2]上的最小值为n,则m+n等于( D )
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2
解析:f(x)=+sin πx=1++sin πx,
记g(x)=+sin πx,
则当x∈[0,1)时,
g(2-x)=+sin π(2-x)=-sin πx,
即在区间[0,1)∪(1,2]上,函数f(x)关于点(1,1)中心对称,
所以m+n=2,故选D.
6.(2016·四川广元二模)函数f(x)=(x-)cos x(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( D )
解析:f(-x)=(-x+)cos(-x)=-(x-)cos x=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数,
所以函数f(x)的图象关于原点对称,故排除A,B,
当x=π时,f(π)=(π-)cos π=-π<0,故排除C,
故选D.
7.(2016·辽宁锦州二模)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),且当x∈[-2,0]时,f(x)=()x-1,若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,则a的取值范围是( B )
(A)(,2) (B)(,2)
(C)[,2) (D)(,2]
解析:设x∈[0,2],则-x∈[-2,0],
所以f(-x)=()-x-1=2x-1,
因为f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(x)=f(-x)=2x-1.
因为对任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),
所以当x∈[2,4]时,(x-4)∈[-2,0],
所以f(x)=f(x-4)=xx-4-1;
当x∈[4,6]时,(x-4)∈[0,2],
所以f(x)=f(x-4)=()x-4-1.
因为若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,
所以函数y=f(x)与函数y=loga(x+2)在区间(-2,6]上恰有三个交点,
通过画图可知:恰有三个交点的条件是解得0时,f(x)=x2-,
f′(x)=2x-=,
令g(x)=2x3-1+ln x,则g(x)为增函数,
且g()<0,g(1)>0,
则f(x)在(0,+∞)上有极小值点.故选A.
10.(2016·甘肃诊断)已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-3f(x)+a=0(a∈R)有8个不等的实数根,则a的取值范围是( D )
(A)(0,) (B)(,3)
(C)(1,2) (D)(2,)
解析:令f(x)=t,由题知,t2-3t+a=0在(1,2)有两个不相等的实数根.令g(t)=t2-3t+a(10,
所以根据根的存在性定理可知函数f(x)在区间(3,4)内存在唯一的一个零点,
即方程log4x-=0的根所在区间为(3,4),故选C.
【教师备用】 (2016·辽宁锦州一模)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),称f(x)为“局部奇函数”,若f(x)=4x-m·2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是( B )
(A)[1-,1+] (B)[1-,2]
(C)[-2,2] (D)[-2,1-]
解析:根据“局部奇函数”的定义可知,函数f(-x)=-f(x)有解即可,
即f(-x)=4-x-m·2-x+1+m2-3=-(4x-m·2x+1+m2-3),
所以4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0,
即(2x+2-x)2-2m·(2x+2-x)+2m2-8=0有解即可.
设t=2x+2-x,则t=2x+2-x≥2,
所以方程等价为t2-2m·t+2m2-8=0在t≥2时有解,
设g(t)=t2-2m·t+2m2-8,
对称轴x=-=m,
①若m≥2,则Δ=4m2-4(2m2-8)≥0,
即m2≤8,
所以-2≤m≤2,此时2≤m≤2;
②若m<2,要使t2-2m·t+2m2-8=0在t≥2时有解,
则
即
解得1-≤m<2.
综上1-≤m≤2.故选B.
二、填空题
11.(2016·湖北荆州)函数f(x)=的定义域为 .
解析:因为函数f(x)=,
所以1-lg(x2-3x)≥0,
即lg(x2-3x)≤1,
所以0f(-),则a的取值范围是 .
解析:因为f(x)在R上为偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
又f(2|a-1|)>f(-),
所以f(2|a-1|)>f(),2|a-1|<,
|a-1|<,-1时,f(x)=f(x-1),周期性变化;
函数y=kx+1的图象恒过点(0,1);
作函数f(x)与函数y=kx+1的图象如图所示,
C(0,1),B(2,e),A(1,e);
故kAC=e-1,kBC=;
在点C处的切线的斜率k=e0=1;
结合图象可得,
实数k的取值范围为(,1)∪(1,e-1].
答案:(,1)∪(1,e-1]
