【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题20导数的应用学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题20导数的应用学案

专题二十 导数的应用 ‎【函数的极值与导数】‎ ‎（1）函数极值的概念 设函数在附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数 的一个极大值，记作=；‎ 设函数在附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数 的一个极小值，记作=．‎ 注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;极值可有多个值，且极大值不定大于极小值;极值点不能在函数端点处取．‎ ‎【函数极值与导数的关系】‎ 当函数在处连续时，若在附近的左侧，右侧，那么是极大值；若在附近的左侧，右侧，那么是极小值．‎ 注意：①在导数为0的点不一定是极值点，如函数，导数为，在处导数为0，但不是极值点；‎ ‎②极值点导数不定为0，如函数在的左侧是减函数，右侧是增函数，在处取极小值，但在处的左导数=-1，有导数=1，在处的导数不存在．‎ ‎【函数的极值问题】‎ ‎ ①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0点，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点取极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；‎ ‎②‎ 已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；‎ ‎③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围．‎ ‎【最值问题】‎ ‎（1）最值的概念 对函数有函数值使对定义域内任意，都有（）则称是函数的最大（小）值．‎ 注意：①若函数存在最大（小）值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值．‎ ‎②最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值．‎ ‎（2）函数最问题 ‎①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；‎ ‎②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式≤（≥）（ 是自变量，是参数）恒成立问题，≥（≤），转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系．‎ ‎【2017年高考全国Ⅱ卷，文21】‎ 设函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）在和单调递减，在单调递增；（2）．‎ 试题解析：（1）．‎ 令得．‎ 当时，；当时，；当时，．‎ 所以在和单调递减，在单调递增．‎ ‎（2）．‎ 当a≥1时，设函数h(x)=（1−x）ex，h′(x)= −xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，‎ 故h(x)≤1，所以f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1．‎ 当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex−x−1，g′（x）=ex−1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1．‎ 当0＜x＜1时，，，取，‎ 则．‎ 当时，取则．‎ 综上，a的取值范围是[1，+∞）．‎ ‎【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立 ‎【点拨】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ 答题思路 ‎【命题意图】导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据．分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧．因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力．‎ ‎【命题规律】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等．‎ ‎【答题模板】含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论：‎ ‎(1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；‎ ‎(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；‎ ‎(3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；‎ ‎(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论．‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．研究函数单调区间，实质研究函数极值问题．分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固定，这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论，讨论时以是否使得导函数变号为标准，做到不重不漏．‎ ‎2．求可导函数单调区间时首先坚持定义域优先原则，必须先确定函数的定义域，尤其注意定义区间不连续的情况，此时单调区间按断点自然分类；其次，先研究定义区间上导函数无零点或零点落在定义区间端点上的情况，此时导函数符号不变，单调性唯一；对于导函数的零点在定义区间内的情形，最好列表分析导函数符号变化规律，得出相应单调区间．‎ ‎3．讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．‎ ‎4．含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论：‎ ‎(1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；(3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论．‎ ‎5．求可导函数单调区间的一般步骤 ‎(1)确定函数的定义域(定义域优先)；‎ ‎(2)求导函数；‎ ‎(3)在函数的定义域内求不等式或的解集．‎ ‎(4)由（）的解集确定函数的单调增 (减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．‎ ‎6．由函数在上的单调性，求参数范围问题，可转化为 (或)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．‎ ‎7． 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．‎ ‎8． 函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用．‎ ‎9．导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．‎ ‎10．函数的单调性问题与导数的关系 ‎（1）函数的单调性与导数的关系：设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数．‎ ‎（2）用导数函数求单调区间方法 求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；‎ ‎(3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题 先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加．‎ ‎（4）注意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）区间是某各区间的区别，函数在某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增(减)区间的子集．‎ ‎1．【2017年高考全国Ⅲ卷，文21】‎ 已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当a﹤0时，证明．‎ ‎【答案】（1）当时，在单调递增；当时，则在单调递增，在单调递减；（2）详见解析 当时，则在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）由（1）知，当时，，‎ ‎，令 （），‎ 则，解得，‎ ‎∴在单调递增，在单调递减，‎ ‎∴，∴，即，∴.‎ ‎【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式 ‎【点拨】利用导数证明不等式常见类型及解题策略 (1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎2.【2017年高考山东卷，文10】若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是 A . B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由A,令,,则在R上单调递增,具有M性质,故选A.‎ ‎【考点】导数的应用 ‎【点拨】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解．‎ ‎3.【2017年高考天津卷，文10】已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为.‎ ‎【考点】导数的几何意义 ‎【点拨】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．相应地，切线方程为．注意：求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.‎ ‎4．【2017年高考浙江卷7】函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D．‎ ‎【考点】 导函数的图象 ‎【点拨】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．‎ ‎5．【2017福建4月质检】已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【点拨】考察函数的应用，导数切线方程的综合运用，注意分离参数法方法 ‎6．【2017黑龙江哈师大附中三模】已知函数，若对任意， 恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可知： 恒成立，设作出如图所示：‎ 则h(x)要恒在g(x)下方， 且过其图像上点的切线方程为： 过原点，故，所以斜率为：-e，所以应满足，又，所以实数的取值范围是 ‎【点拨】：根据题意将问题可转化为两个函数图像高低问题，求出切线方程为临界值，从而得到结论 ‎7．【2017广东佛山二模】曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，切线方程为 即 ‎【点拨】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．‎ ‎8．【2017安徽黄山二模】对正整数，设曲线在处的切线与 轴交点的纵坐标为，则数列的前项和等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【点拨】本题考察导数的意义切线方程的求法，然后根据题意可知数列为以公比为3的等比数列，在利用等比求和公式得出结论．‎ ‎9．【2017陕西汉中二模】已知函数 ‎（1）若函数过点，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值；‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】【试题分析】（１）依据题设运用导数的几何意义求解；（２）借助题设条件先求导数，再运用分类整合思想分类求解：‎ ‎（1）因为点在曲线上，所以，解得．‎ 因为，所以切线的斜率为0，所以切线方程为． ‎ ‎（2）因为，① 当时， ， ，‎ 所以函数在上单调递增，则；‎ ‎② 当，即时， ， ，‎ 所以函数在上单调递增，则；‎ ‎③ 当，即时，‎ 函数在上单调递增，在上单调递减，则；‎ ‎④当，即时， ， ，‎ 函数在上单调递减，则． ‎ 综上，当时， ；当时， ；当时， ．‎ ‎【点拨】本题以含参数的函数解析式为背景设置了两个问题，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用．求解第一问时，直接运用导数的几何意义分析求解而获解；解答第二问时，先对函数的解析式求导，再对函数解析式中的参数分类讨论，分类求函数的最大值使得问题获解．‎ ‎10．【2017重庆二诊】已知函数，．‎ ‎（1）分别求函数与在区间上的极值；‎ ‎（2）求证：对任意， ．‎ ‎【答案】（Ⅰ）在上有极小值，无极大值； 在上有极大值，无极小值；（Ⅱ）见解析．‎ 试题解析：（Ⅰ） ， ，‎ 故在和上递减，在上递增，‎ 在上有极小值，无极大值； ， ，‎ 故在上递增，在上递减，‎ 在上有极大值，无极小值；‎ ‎【点拨】此题主要考查导数在研究函数单调性、极值等，以及函数性质在证明不等式中的应用等有关方面的知识，属于高档题型，也是高频考点．用导数解决极（最）值问题可以使解题过程简化，步骤清晰：首先利用导数为零，求出极值点；再判断极值点两侧的函数的单调性，进而判断是极小值还是极大值；比较端点值，从而得出最值．注意，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念．‎ ‎11．【2017福建4月质检】已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调区间；‎ ‎（2）当时，证明： ．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ 解：（1）的定义域为，且，‎ ‎①当时， ，此时的单调递减区间为．‎ ‎②当时，由，得；‎ 由，得．‎ 此时的单调减区间为，单调增区间为．‎ ‎③当时，由，得；‎ 由，得．‎ 此时的单调减区间为，单调增区间为．‎ 由（1）知在上单调递增，‎ 所以当时， ，于是，所以在上单调递增，‎ 所以当时，（ *）式成立，‎ 故当时， ．‎ ‎【点拨】考察导数的综合运用，求单调区间的讨论，在证明有关导数的不等式题型时要注意构造函数，形成具体函数去分析其单调性和最值．‎ ‎12．【2017安徽黄山二模】已知函数． ‎ ‎（1）若时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，过作切线，已知切线的斜率为，求证： ．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) 见解析．‎ ‎【解析】(1) 由已知得： ． ①若 ‎，当或时， ；当时， ，所以的单调递增区间为；单调递减区间为． ②若，故的单调递减区间为；③若，当或时， ；当时， ；所以的单调递增区间为；单调递减区间为．‎ 综上，当时， 单调递增区间为；单调递减区间为， ．‎ 当时， 的单调递减区间为；当时， 单调递增区间为 ；单调递减区间为，．‎ 在单增，且， ‎ ‎，令，则，则 在递减，且．‎ ‎【点拨】熟悉求导的公式及运算法则，分类讨论以确定导数的正负来确定函数的单调性对于不等式的证明问题要住以分离参数的方法应用，不等式问题的证明要学会转化为恒成立问题求最值的方法来解决问题．‎ ‎13．【2017河北唐山三模】已知函数， ．‎ ‎（1）设，求的最小值；‎ ‎（2）若曲线与仅有一个交点，证明：曲线与在点处有相同的切线，且．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．‎ ‎（Ⅱ）设，则，‎ 由（Ⅰ）得在单调递增，又， ，‎ 所以存在使得， ‎ 所以当时， ， 单调递减；‎ 当时， ， 单调递增，‎ 所以)的最小值为， ‎ 由得，所以曲线与在点处有相同的切线，‎ 又，所以，‎ 因为，所以．‎ 方法【点拨】：研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目的要求，画出函数图像走势规律，标明函数极（最）值点位置，通过数形结合思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体体现．‎ ‎14．【2017河北五邑四模】设函数，‎ ‎（1）求在处的切线方程；‎ ‎（2）证明：对任意，当时， ．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析．‎ 当时， ，‎ 即当时， ，（Ⅰ）‎ 当时， ，（Ⅱ）‎ 令函数， ‎ 注意到，故要证（Ⅰ）（Ⅱ），‎ 只需要证在内递减， 在递增 当时， ‎ 当时， ‎ 综上，对任意，当时， ．‎ ‎15.【2016年高考全国Ⅰ卷，文12】若函数在单调递增，则a的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：对恒成立，‎ 故，即恒成立，‎ 即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．‎ ‎【考点】三角变换及导数的应用 ‎【点拨】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.‎ ‎16.【2016年高考全国Ⅱ卷，文20】已知函数．‎ ‎(Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)若当时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎（II）当时，等价于 设，则 ‎，‎ ‎（i）当，时， ，故在上单调递增，因此；‎ ‎（ii）当时，令得 ‎．‎ 由和得，故当时，，在单调递减，因此．‎ 综上，的取值范围是 ‎【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性 ‎【点拨】求函数的单调区间的方法：‎ ‎(1)确定函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎(2)求导数y′＝f′(x)；‎ ‎(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎17.【2016年高考全国Ⅲ卷，文16】已知为偶函数，当 时，‎ ‎，则曲线在点处的切线方程是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义 ‎【点拨】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．‎ ‎18.【2016年高考天津卷，文10】已知函数为的导函数，则的值为__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎【考点】导数 ‎【点拨】求函数的导数的方法：‎ ‎(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；‎ ‎(2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；‎ ‎(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；‎ ‎(4)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；‎ ‎(5)不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．‎ ‎19.【2016年高考山东卷，文10】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【考点】导数的计算，导数的几何意义 ‎【点拨】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好地考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等. ‎ ‎20．【2016年高考四川卷，文6】已知a为函数f(x)=x3–12x的极小值点，则a=‎ ‎(A)–4 (B)–2 (C)4 (D)2‎ ‎【答案】D ‎【考点】函数的导数与极值点 ‎【点拨】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点.‎