数学文卷·2019届山东省滨州市高二上学期期末考试（2018-01）

数学文卷·2019届山东省滨州市高二上学期期末考试（2018-01）

山东省滨州市 2017-2018 学年高二年级上学期期末考试 数学（文科）试题 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知命题 2 0 0 0: , 1 0p x R x x     ，则 p 为（ ） A． 2, 1 0x R x x     B． 2 0 0 0, 1 0x R x x     C． 2, 1 0x R x x     D． 2 0 0 0, 1 0x R x x     2.双曲线 2 2 14 12 x y  的焦点坐标是（ ） A．   4,0 , 4,0 B．   0,2 2 , 0, 2 2 C．   0,4 , 0, 4 D．   2 2,0 , 2 2,0 3.“ 5x  ”是“1 5x  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 条件 4.执行如图所示的程序框图，若输入 8n  ，则输出的 k  （ ） A．2 B．3 C. 4 D．5 5.把黑、白、红、蓝 4 张纸牌随机分组甲、乙、丙、丁 4 个人，每人分得一张，事件“甲分 得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”是 （ ） A． 不可能事件 B．对立事件 C. 互斥但不对立事件 D．以上都不对 6.如图所示的茎叶图，记录了某次歌曲大赛上七位评委为甲选手打出的分数，若去掉一个最 高分和一个最低分，则所剩数据的众数和中位数分别为（ ） A．83，84 B．83，85 C. 84，83 D．84，84 7.已知变量 x 和 y 之间的几组数据如下表：（ ） x 4 6 8 10 12 y 1 2 3 5 6 若根据上表数据所得线性回归方程为 ˆ 0.65y x m  ，则 m  （ ） A．-1.6 B．-1.7 C. -1.8 D．-1.9 8.命题“ a b 是偶数，则 ,a b 都是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数 为（ ） A．0 B．1 C. 2 D．3 9.曲线 2 2 116 25 x y  与曲线   2 2 1 1616 25 x y kk k     的（ ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C. 离心率相等 D．焦距相等 10.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 45 秒．若一名行人来 到路口遇到红灯，则至少需要等待 20 秒才出现绿灯的概率为（ ） A． 4 9 B． 5 9 C. 2 5 D． 3 5 11.已知命题 :p 3 能被 2 整除，命题 :q 49 是 7 的倍数，则下列命题中的假命题是（ ） A． p B． p q  C. p q D．   p q   12. 已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的两个焦点分别为 1 2,F F ，离心率为 2，抛物 线 2 8y x 的准线过双曲线 C 的一个焦点，若以线段 1 2,F F 为直径的圆与双曲线在第一象限 的交点为 P ，则 1 2PF PF  （ ） A．5 B．6 C. 7 D．8 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 13.设抛物线 2 4x y 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 3，则点 P 的纵坐标为 ． 14.已知函数   lnf x kx x  在 1x  处取得极小值，则实数 k 的值为 ． 15.某校高三年级共有 800 名学生，现采用系统抽样的方法，抽取 25 名学生做问卷调查，将 这 800 名学生按 1，2，．．．，800 随机编号，按编号顺序平均分组．若从第 5 组抽取的编号为 136，则从第 2 组中抽取的编号为 ． 16.若函数  f x 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数，且  f x x 在 I 上是减函数，则称  y f x 的在 I 上是“弱增函数”．已知函数    2 4g x x m x m    的 0,2 上是“弱 增函数”，则实数 m 的值为____________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 17.已知抛物线  2: 2 0C y px p  过点  2, 2 ． （1）求抛物线C 的方程； （2）设直线 1y x  与抛物线C 相交于 ,A B 两点，求OA OB    的值． 18.根据我国颁布的《环境空气质量指数（ AQI ）技术规定》 ：空气质量指数划分为 0 50 、 51 100 、101 150 、151 200 、 201 300 和大于 300 共六个等级，对应的空气质量 指数的六个等级，指数越大，等级越高 ，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专 家建议：当空气质量指数不大于 150 时，可以进行户外活动；当空气质量指数为 151 及以上 时，不适合进行旅游等户外活动，下表是某市 2017 年 11 月中旬的空气质量指数情况： 时间 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 AQI 142 141 125 249 129 87 68 106 238 270 （1）该市某市民在上述 10 天中随机选取 1 天进行户外活动，求该市民选取的这一天恰好不 适合进行户外活动的概率； （2）一名外地游客计划在上述 10 天中到市连续旅游 2 天求这 10 天中适合他旅游的概率． 19.已知函数    3 21 ,3f x x ax b a b R    在点   1, 1f  处的切线方程为 3 5 0x y   ． （1）求 ,a b 的值； （2）求函数  f x 在区间 3,3 上的最大值． 20. 联合国教科文组织规定，每年的 4 月 23 日是“世界读书日”．某校研究生学习小组为了 解本校学生的阅读情况，随机调查了本校 400 名学生在这一天的阅读时间t （单位：分钟）， 将时间数据分成 5 组：         20,30 , 30,40 , 40,50 , 50,60 , 60,70 ，并整理得到如下频率 分布直方图． （1）求 a 的值； （2）试估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间； （3）若用分层抽样的方法从这 400 名学生中抽取 50 人参加交流会，则在阅读时间为    40,50 , 60,70 的两组中分别抽取多少人？ 21.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ，离心率为 1 2 ，过点 2F 的直线与椭圆 C 相交于 ,A B 两点，且 1AF B 的周长为 8． （1）求椭圆C 的方程； （2）若经过原点O 的直线与椭圆C 相交于 ,M N 两点，且 / /MN AB ，试判断 2 AB MN 是否 为定值？若为定值，试求出该定值；否则，请说明理由． 22.已知函数     22 x a xf x a Re   ． （1）当 3 2a  时，求函数  f x 的单调区间； （2）若对任意的  1,x  ，不等式   1 0f x   恒成立，求实数 a 的取值范围． 试卷答案 一、选择题 1-5: CABBC 6-10: ACCDB11、12：DB 二、填空题 13. 2 14. 1 15. 40 16. 4 三、解答题 17.解：（1）因为点  2, 2 在抛物线 C 上，所以  22 2 2p   ，解得 1p  ， 故抛物线 C 的方程为 2 2y x ； （2）设    1 1 2 2, y , ,A x B x y ，由 2 2 1 y x y x      消去 y 得 2 4 1 0x x   ， 则 1 2 1 212 0, 4, 1x x x x      ，所以     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 2 1 2 4 1 1OA OB x x y y x x x x x x x x                 ． 18.解：（1）从上述 10 天中任选 1 天，所构成的基本事件有：                    11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 ，共 10 个， 设“该市民选取的这一天恰好不适合进行户外活动”为事件 A ，则事件 A 包含的基本事件 有：     14 19 20， ， ，共 3 个．所以   3 10P A  ； （2）从这 10 天中随机选取连续 2 天，所构成的基本事件有：                  11,12 , 12,13 , 13,14 , 14,15 , 15,16 , 16,17 , 17,1 8 , 18,19 , 19,20 ，共 9 个， 设“外地游客在该市适合连续旅游 2 天”为事件 B ，则事件 B 包含的基本事件有：          11,12 , 12,13 , 15,16 , 16,17 , 17,18 ，共 5 个，则   5 9P B  ． 19.解：（1）由已知得   2 2f x x ax   ， 因为  f x 在点   1, 1f  处的切线方程为3 5 0x y   ， 所以  1 3f    ，即1 2 3a  ，①    1 3 1 5 2f       ，即 1 23 a b    ，② 由①②解得 101, 3a b  ； （2）由（1）知    3 21 10 , 3,33 3f x x x x     ，所以   2 2f x x x   ， 令   0f x  ，得 0x  或 2x  ， 当 x 变化时，    ,f x f x 的变化情况如下表： x -3  3,0 0  0,2 2  2,3 3  f x + 0 - 0 +  f x 44 3  单调递增  10 3 单调递 减 2 10 3 由上表可知，      44 103 , 0 33 3f f f     ， 所以函数  f x 在区间 3,3 上的最大值为10 3 ． 20.解：（1）由已知，得 0.008 10 0.032 10 10 0.014 10 0.010 10 1a         ，解得 0.036a  ； （2）由样本的频率分布直方图，估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间为： 10 0.008 25 10 0.032 35 10 0.036 45 10 0.014 55 10 0. 010 65 43.6t                 （分钟）． （3）阅读时间在 40 50 分钟的人数为 400 0.036 10 144   ， 阅读时间在 60 70 分钟的人数为 400 0.010 10 40   ， 所以阅读时间在 40 50 分钟的应抽取 50144 18400   （人）， 阅读时间在 60 70 分钟的应抽取 5040 5400   （人）． 21.解：（1）由题意知， 1AF B 的周长为 4 8a  ，所以 2a  ， 又椭圆C 的离心率为 1 2 ，所以 1c  ， 所以 3b  ，故椭圆 C 的方程为 2 2 14 3 x y  ； （2）①当直线 AB 在斜率不存在时，其方程为 1x  ，代入椭圆方程得 3 2y   ， 不妨设 3 31, , 1,2 2A B          ，则 3AB  ， 因为 / /MN AB ，所以直线 MN 的方程为 0x  ，代入椭圆方程得 3y   ， 不妨设    0, 3 , 0, 3M N  ，则 2 12MN  ， 所以 2 3 1 12 4 AB MN   ； ②当直线 AB 的斜率 k 存在时，设其方程为       1 1 2 21 0 , , , ,y k x k A x y B x y   ， 由   2 2 14 3 1 x y y k x       消去 y 得 2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k     ， 则   4 2 2 264 4 3 4 4 12 144 144 0k k k k        ， 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12,3 4 3 4 k kx x x xk k     ，则  22 2 2 2 1 2 2 2 2 12 112 11 1 13 4 3 4 3 4 kkAB k x x k kk k k             ， 因为 / /MN AB ，所以直线 MN 的方程为 y kx ，设    3 3 4 4, , ,M x y N x y ， 由 2 2 14 3 x y y kx      消去 y 得 2 23 4 12 0k x   ，则 3 4 3 4 2 120, 3 4x x x x k      ， 则  2 2 3 4 2 3 1 1 4 3 4 k MN k x x k       ， 所以     2 2 2 2 2 12 1 13 4 448 1 3 4 k AB k kMN k      ，综上所述， 2 AB MN 为定值 1 4 ． 22.解：（1）当 3 2a  时，   23 x xf x e  ，      2 2 2 2 3 2 3x x x x x e x e x xf x e e         ， 由   0f x  ，解得 1 3x   ，故函数  f x 在区间 1,3 上单调递减； 由   0f x  ，解得 1x   或 3x  ， 故函数  f x 在区间   , 1 , 3,   上单调递增， 所以函数  f x 的单调递减区间是 1,3 ，单调递增区间是    , 1 , 3,   ； （2）不等式   1 0f x   ，即 22 0 x x a x e e    ，所以对任意的  1,x  ，不等式   1 0f x   恒成立， 可转化为不等式 22 xa x e  在  1,x  上恒成立， 令      2 , 2x xg x x e h x g x x e     ， 所以   2 xh x e   ，当  1,x  时，   2 2 0xh x e e      ， 所以     2 xh x g x x e   在 1, 上单调递减， 所以   2 2 0xh x x e e     ，即   0g x  ， 故   2 xg x x e  在 1, 上单调递减， 则    2 1 1xg x x e g e     ， 故不等式   1 0f x   恒成立，只需  max2 1a g x e   ，即 1 2 ea  ． 所以实数 a 的取值范围是 1 ,2 e    ．