2017-2018学年湖北省襄阳市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年湖北省襄阳市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年湖北省襄阳市高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】全称命题的否定是特称命题,则命题的否定是,故选C.‎ ‎2．已知双曲线的右顶点与抛物线的焦点重合，且其离心率，则该双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的实半轴长，利用双曲线的离心率得到c与b的值，从而得到双曲线方程．‎ 详解：抛物线y2=8x焦点（2，0），可得双曲线的实半轴的长a=2，‎ 双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e=，可得c=3，则b=，‎ 所以双曲线方程为：．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎3．已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递增”的(  )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若在 上单调递增，则函数的的导数恒成立，即，所以“ ”是“在 上单调递增”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎4．已知原命题“若，则、中至少有一个不小于1”，原命题与其逆命题的真假情况是（ ）‎ A. 原命题为假，逆命题为真 B. 原命题为真，逆命题为假 C. 原命题与逆命题均为真命题 D. 原命题与逆命题均为假命题 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题意，写出逆否命题，据不等式的性质判断出逆否命题是真命题，所以原命题是真命题；写出逆命题，通过举反例，说明逆命题是假命题．‎ 详解：逆否命题为：a，b都小于1，则a+b≤2是真命题 所以原命题是真命题 逆命题为：若、中至少有一个不小于1，则a+b＞2，例如，当a=2，b=﹣2时，满足条件，当a+b=2+（﹣2）=0，这与a+b＞2矛盾，故为假命题 故选：B．‎ 点睛：判断一个命题的真假问题，若原命题不好判断，据原命题与其逆否命题的真假一致，常转化为判断其逆否命题的真假.‎ ‎5．已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在线段上，且满足，，则点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由=2，•=0，知Q为PN的中点且GQ⊥PN，可得|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，从而可求方程．‎ 详解：：由=2，•=0，知Q为PN的中点且GQ⊥PN，‎ ‎∴GQ为PN的中垂线，∴|PG|=|GN|‎ ‎∴|GN|+|GM|=|MP|=6，‎ 故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=，‎ ‎∴短半轴长b=2，‎ ‎∴点G的轨迹方程是+=1．‎ 故选：D．‎ 点睛：在圆锥曲线中要注意椭圆、双曲线、抛物线的定义在解题中的应用，这三个定义的应用主要体现在两个方面，一个是根据定义判断曲线的类型，为求曲线的方程做铺垫；二是在已知曲线类型的情况下，利用定义可将曲线上的到焦点的距离进行转化，为问题的解决带来新的方向和思路.‎ ‎6．已知命题，，命题，，若为真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：据“p∧q”的真假与p、q真假的关系是：全真则真，有假则假；得到p，q全真；利用不等式的性质及二次不等式恒成立令判别式小于0，得到m的范围．‎ 详解：∵p∧q为真命题 ‎∴p、q全真 若p真则m＜0‎ 若q真则m2﹣4＜0解得﹣2＜m＜2‎ 所以m的范围为（﹣2，0）‎ 故选：D．‎ 点睛：“”，“”“”等形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题的真假；（3）确定“”，“”“”等形式命题的真假.‎ ‎7．下列命题中真命题的个数是（ ）‎ ‎①若是假命题，则、都是假命题；‎ ‎②命题“，”的否定是“，”‎ ‎③若：，:，则是的充分不必要条件.‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由复合命题的真假判断判断①；写出全程命题的否定判断②；由不等式的性质结合充分必要条件的判定方法判断③．‎ 详解：①若p∧q是假命题，则p，q中至少一个是假命题，故①错误；‎ ‎②命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“”，故②正确；‎ ‎③若x＞1＞0，则，反之，若，则x＜0或x＞1．‎ 又p：x≤1，q：，∴￢p是q的充分不必要条件，故③正确．‎ ‎∴正确命题的个数是2个．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定方法，考查命题的否定，属于中档题．‎ ‎8．若直线把圆分成面积相等的两部分，则当取得最大值时，坐标原点到直线的距离是（ ）‎ A. 4 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意可知直线过圆心，代入直线方程得，当且仅当时当好成立，此时原点到直线的距离为.‎ ‎9．已知直线，，点为抛物线上的任一点，则到直线的距离之和的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由抛物线的定义可知P到直线l1，l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l2的距离．‎ 详解：抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为l1：x=2．‎ ‎∴P到l1的距离等于|PF|，‎ ‎∴P到直线l1，l2的距离之和的最小值为F（﹣2，0）到直线l2的距离．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查了抛物线定义的应用，属于基础题.‎ ‎10．已知双曲线，若其过一、三象限的渐近线的倾斜角，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[，]，可得1≤≤，即可求出双曲线的离心率e的取值范围.‎ 详解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，‎ 由过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[，]，‎ ‎∴tan≤≤tan，‎ ‎∴1≤≤，‎ ‎∴1≤≤3，‎ ‎∴2≤1+≤4，‎ 即2≤e2≤4，‎ 解得≤e≤2，‎ 故选：B．‎ 点睛：求离心率的常用方法有以下两种：‎ ‎（1）求得的值，直接代入公式求解；‎ ‎（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．‎ ‎11．设函数是的导函数，，，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：易得到fn（x）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f2008（x）= f2（x），进而得到答案 详解：∵f0（x）=ex（cosx+sinx），‎ ‎∴f0′（x）=ex（cosx+sinx）+ex（﹣sinx+cosx）=2excosx，‎ ‎∴f1（x）==excosx，‎ ‎∴f1′（x）=ex（cosx﹣sinx），‎ ‎∴f2（x）==ex（cosx﹣sinx），‎ ‎∴f2′（x）=ex（cosx﹣sinx）+ex（﹣sinx﹣cosx）=﹣2exsinx，‎ ‎∴f3（x）=﹣exsinx，‎ ‎∴f3′（x）=﹣ex（sinx+cosx），‎ ‎∴f4（x）=﹣ex（cosx+sinx），‎ ‎∴f4′（x）=﹣2excosx，‎ ‎∴f5（x）=﹣excosx，‎ ‎∴f6（x）=﹣ex（cosx﹣sinx），‎ ‎∴f7（x）=exsinx，‎ ‎∴f8（x）=ex（cosx+sinx），‎ ‎…，‎ ‎∴= f2（x）=，‎ 故选：B．‎ 点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.‎ 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎12．若直线与曲线相切，且，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出导函数，确定切点的坐标，在构造函数，即可得到结论．‎ 详解：由题意，函数，则，‎ 令，可得，故切点为，‎ 代入，可得，‎ 构造新函数，则，‎ 即，所以，即，所以 ，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及函数零点的存在定理的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ 二、填空题 ‎13．若曲线在点处的切线的斜率为3，则点的坐标为__________．‎ ‎【答案】、‎ ‎【解析】分析：设P（m，n），则n=m3，求出函数的导数，可得切线的斜率，解m的方程可得m，n，即可得到P的坐标．‎ 详解：设P（m，n），则n=m3，‎ y=x3的导数为y′=3x2，‎ 可得曲线y=x3在点P处的切线斜率为3m2，‎ 由题意可得3m2=3，‎ 解得m=±1，‎ 则m=1，n=1；m=﹣1，n=﹣1．‎ 即P（1，1），（﹣1，﹣1）．‎ 故答案为：、‎ 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎14．若曲线(为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：令y′≥0在（0，+∞）上恒成立可得a，根据右侧函数的值域即可得出a的范围．‎ 详解：y′=+2ax，x∈（0，+∞），‎ ‎∵曲线y=lnx+ax2（a为常数）不存在斜率为负数的切线，‎ ‎∴y′=≥0在（0，+∞）上恒成立，‎ ‎∴a≥﹣恒成立，x∈（0，+∞）．‎ 令f（x）=﹣，x∈（0，+∞），则f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 又f（x）=﹣＜0，‎ ‎∴a≥0．‎ 故答案为：．‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，且轴，若的内切圆半径为，则其渐近线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=c﹣a，结合条件和渐近线方程，计算即可得到所求．‎ 详解：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，‎ 可得A在双曲线的右支上，‎ 由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，‎ 设Rt△AF1F2内切圆半径为r，‎ 运用面积相等可得S=|AF2|•|F1F2|‎ ‎=r（|AF1|+|AF2|+|F1F2|），‎ 由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，‎ 解得r=，‎ ‎，即 ‎∴渐近线方程是，‎ 故答案为：．‎ 点睛：本题主要考查双曲线的定义及简单的几何性质、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. ‎ 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.‎ ‎16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，开方得答案．‎ 详解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，‎ 若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，‎ 则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，‎ 由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，‎ 即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，‎ 则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，‎ 在直角三角形AF1F2中，‎ ‎|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，‎ 即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，‎ ‎∴c2=（9﹣6）a2，‎ 则e2==9﹣6=，‎ ‎∴e=．‎ 故答案为：．‎ 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数，是否存在常数、，使在上取得最大值3，最小值？若存在，求出、的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】，或，‎ ‎【解析】分析：由题意求导，讨论a以确定函数的单调性，从而确定最值，进而求得、的值.‎ 详解：由得：‎ 由得：或 若，则在上是增函数，在上是减函数 ‎∴‎ 这时，‎ ‎，‎ ‎∴，解得 若，则在上是减函数，在上是增函数 ‎∴‎ 这时，‎ ‎，‎ ‎∴，解得 ‎∴存在常数，或，满足题设条件.‎ 点睛：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，综合性强．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．‎ ‎18．已知命题:实数满足，命题:实数满足方程表示的焦点在轴上的椭圆，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据条件求出命题p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．‎ 详解：由得：，即命题 由表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，即命题.‎ 因为是的充分不必要条件，所以或 解得：，∴实数的取值范围是. ‎ 点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出命题p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键．‎ ‎19．已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，直线与该抛物线相交于、两个不同的点，点是的中点，求(为坐标原点)的面积.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由双曲线方程可得右焦点，即为抛物线的焦点，可得抛物线的方程，利用点差法得到直线的斜率为联立直线方程，可得y的二次方程，解得，利用割补法表示的面积为，带入即可得到结果.‎ 详解：∵ 双曲线的左焦点的坐标为 ‎∴的焦点坐标为，∴，‎ 因此抛物线的方程为 设，，，则，‎ ‎∴‎ ‎∵为的中点，所以，故 ‎∴直线的方程为 ‎∵ 直线过点， ∴，‎ 故直线的方程为，其与轴的交点为 由得：，，‎ ‎∴的面积为. ‎ 点睛：本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查直线方程与抛物线的方程联立，考查了点差法，考查了利用割补思想表示面积，以及化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎20．设椭圆经过点，其离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：（1）由经过点P，得，由离心率为得=，再根据a2=b2+c2联立解方程组即可；‎ ‎（2）联立直线方程与椭圆方程消y，得，易知判别式△＞‎ ‎0，设A（x1，y1），B（x2，y2），弦长公式及点到直线的距离公式可表示出△PAB的面积，令其为，即可解出m值，验证是否满足△＞0．‎ 详解：（1）解：由已知解得，，∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）解：由得：‎ 由得：‎ 设，，则，‎ ‎∴‎ 又到的距离为，∴ ‎ 即，解得：.‎ 符合，故. ‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎21．设函数 ‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若为整数，且当时， 恒成立，其中为的导函数，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增（2）2‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求导数，根据a的大小讨论导函数是否变号：若a≤0，导函数恒非负，为单调增区间；若a＞0，导函数符号变化，先负后正，对应先减后增 ‎（2）分类变量得 ，再利用导数求最小值：在极小值点取最小值，根据极值定义得 及零点存在定理确定范围 ，化简最小值为，并确定其范围为（2,3） ，因此可得正整数的最大值.‎ 试题解析：（1）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f′（x）=ex-a， ‎ 若a≤0，则f′（x）=ex-a≥0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增 ‎ 若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=ex-a＜0；‎ 当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex-a＞0；‎ 所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增 ‎（2）由于a=1，‎ ‎ ‎ 令，，‎ 令，在单调递增， ‎ 且在上存在唯一零点，设此零点为，则 当时，，当时，‎ ‎， ‎ 由，又 所以的最大值为2‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是,(为参数),以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设，；，若,与曲线分别交于异于原点的，两点，求 的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）将曲线的参数方程消去参数可得普通方程x2+y2-6x-8y=0，再化为极坐标方程可得。（2）把分别代入极坐标方程可得，再根据可求得的面积。‎ 试题解析：‎ ‎（1）将C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25，‎ 即x2+y2-6x-8y=0．‎ ‎∴ C的极坐标方程为． ‎ ‎（2）把代入，得，‎ ‎∴.‎ 把代入，得，‎ ‎∴.‎ ‎∴ 。‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若不等式的解集是空集，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用零点分段讨论法去掉绝对值符号得到分段函数，再利用数形结合思想求函数的最值，进而求解；（Ⅱ）将问题转化为进行求解．‎ 试题解析：（Ⅰ） 作出的图象（略），‎ 数形结合知的最小值.‎ ‎∵不等式的解集是空集，‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）存在，使得成立，等价于，‎ 由（Ⅰ）可知，‎ 所以，解得，故实数的取值范围为.‎ 点睛：要正确区分不等式恒成立问题和存在性成立的区别，如：‎ 恒成立 存在， 成立