2017-2018学年湖北省襄阳市高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)

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2017-2018学年湖北省襄阳市高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)

‎2017-2018学年湖北省襄阳市高二下学期期末考试数学(文)试题 一、单选题 ‎1.命题“”的否定是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】全称命题的否定是特称命题,则命题的否定是,故选C.‎ ‎2.已知双曲线的右顶点与抛物线的焦点重合,且其离心率,则该双曲线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:求出抛物线的焦点坐标,得到双曲线的实半轴长,利用双曲线的离心率得到c与b的值,从而得到双曲线方程.‎ 详解:抛物线y2=8x焦点(2,0),可得双曲线的实半轴的长a=2,‎ 双曲线(a>0,b>0)的离心率e=,可得c=3,则b=,‎ 所以双曲线方程为:.‎ 故选:A.‎ 点睛:本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎3.已知函数 ,则“ ”是“ 在 上单调递增”的(  )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若在 上单调递增,则函数的的导数恒成立,即,所以“ ”是“在 上单调递增”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎4.已知原命题“若,则、中至少有一个不小于1”,原命题与其逆命题的真假情况是( )‎ A. 原命题为假,逆命题为真 B. 原命题为真,逆命题为假 C. 原命题与逆命题均为真命题 D. 原命题与逆命题均为假命题 ‎【答案】B ‎【解析】分析:根据题意,写出逆否命题,据不等式的性质判断出逆否命题是真命题,所以原命题是真命题;写出逆命题,通过举反例,说明逆命题是假命题.‎ 详解:逆否命题为:a,b都小于1,则a+b≤2是真命题 所以原命题是真命题 逆命题为:若、中至少有一个不小于1,则a+b>2,例如,当a=2,b=﹣2时,满足条件,当a+b=2+(﹣2)=0,这与a+b>2矛盾,故为假命题 故选:B.‎ 点睛:判断一个命题的真假问题,若原命题不好判断,据原命题与其逆否命题的真假一致,常转化为判断其逆否命题的真假.‎ ‎5.已知圆,定点,点为圆上的动点,点在上,点在线段上,且满足,,则点的轨迹方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:由=2,•=0,知Q为PN的中点且GQ⊥PN,可得|GN|+|GM|=|MP|=6,故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,从而可求方程.‎ 详解::由=2,•=0,知Q为PN的中点且GQ⊥PN,‎ ‎∴GQ为PN的中垂线,∴|PG|=|GN|‎ ‎∴|GN|+|GM|=|MP|=6,‎ 故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,其长半轴长a=3,半焦距c=,‎ ‎∴短半轴长b=2,‎ ‎∴点G的轨迹方程是+=1.‎ 故选:D.‎ 点睛:在圆锥曲线中要注意椭圆、双曲线、抛物线的定义在解题中的应用,这三个定义的应用主要体现在两个方面,一个是根据定义判断曲线的类型,为求曲线的方程做铺垫;二是在已知曲线类型的情况下,利用定义可将曲线上的到焦点的距离进行转化,为问题的解决带来新的方向和思路.‎ ‎6.已知命题,,命题,,若为真命题,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:据“p∧q”的真假与p、q真假的关系是:全真则真,有假则假;得到p,q全真;利用不等式的性质及二次不等式恒成立令判别式小于0,得到m的范围.‎ 详解:∵p∧q为真命题 ‎∴p、q全真 若p真则m<0‎ 若q真则m2﹣4<0解得﹣2<m<2‎ 所以m的范围为(﹣2,0)‎ 故选:D.‎ 点睛:“”,“”“”等形式命题真假的判断步骤:(1)确定命题的构成形式;(2)判断其中命题的真假;(3)确定“”,“”“”等形式命题的真假.‎ ‎7.下列命题中真命题的个数是( )‎ ‎①若是假命题,则、都是假命题;‎ ‎②命题“,”的否定是“,”‎ ‎③若:,:,则是的充分不必要条件.‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:由复合命题的真假判断判断①;写出全程命题的否定判断②;由不等式的性质结合充分必要条件的判定方法判断③.‎ 详解:①若p∧q是假命题,则p,q中至少一个是假命题,故①错误;‎ ‎②命题“∀x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是“”,故②正确;‎ ‎③若x>1>0,则,反之,若,则x<0或x>1.‎ 又p:x≤1,q:,∴¬p是q的充分不必要条件,故③正确.‎ ‎∴正确命题的个数是2个.‎ 故选:C.‎ 点睛:本题考查命题的真假判断与应用,考查充分必要条件的判定方法,考查命题的否定,属于中档题.‎ ‎8.若直线把圆分成面积相等的两部分,则当取得最大值时,坐标原点到直线的距离是( )‎ A. 4 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意可知直线过圆心,代入直线方程得,当且仅当时当好成立,此时原点到直线的距离为.‎ ‎9.已知直线,,点为抛物线上的任一点,则到直线的距离之和的最小值为( )‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:由抛物线的定义可知P到直线l1,l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l2的距离.‎ 详解:抛物线的焦点为F(﹣2,0),准线为l1:x=2.‎ ‎∴P到l1的距离等于|PF|,‎ ‎∴P到直线l1,l2的距离之和的最小值为F(﹣2,0)到直线l2的距离.‎ 故选:C.‎ 点睛:本题主要考查了抛物线定义的应用,属于基础题.‎ ‎10.已知双曲线,若其过一、三象限的渐近线的倾斜角,则双曲线的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:利用过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[,],可得1≤≤,即可求出双曲线的离心率e的取值范围.‎ 详解:双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,‎ 由过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[,],‎ ‎∴tan≤≤tan,‎ ‎∴1≤≤,‎ ‎∴1≤≤3,‎ ‎∴2≤1+≤4,‎ 即2≤e2≤4,‎ 解得≤e≤2,‎ 故选:B.‎ 点睛:求离心率的常用方法有以下两种:‎ ‎(1)求得的值,直接代入公式求解;‎ ‎(2)列出关于的齐次方程(或不等式),然后根据,消去后转化成关于的方程(或不等式)求解.‎ ‎11.设函数是的导函数,,,,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:易得到fn(x)表达式以8为周期,呈周期性变化,由于2018÷8余2,故f2008(x)= f2(x),进而得到答案 详解:∵f0(x)=ex(cosx+sinx),‎ ‎∴f0′(x)=ex(cosx+sinx)+ex(﹣sinx+cosx)=2excosx,‎ ‎∴f1(x)==excosx,‎ ‎∴f1′(x)=ex(cosx﹣sinx),‎ ‎∴f2(x)==ex(cosx﹣sinx),‎ ‎∴f2′(x)=ex(cosx﹣sinx)+ex(﹣sinx﹣cosx)=﹣2exsinx,‎ ‎∴f3(x)=﹣exsinx,‎ ‎∴f3′(x)=﹣ex(sinx+cosx),‎ ‎∴f4(x)=﹣ex(cosx+sinx),‎ ‎∴f4′(x)=﹣2excosx,‎ ‎∴f5(x)=﹣excosx,‎ ‎∴f6(x)=﹣ex(cosx﹣sinx),‎ ‎∴f7(x)=exsinx,‎ ‎∴f8(x)=ex(cosx+sinx),‎ ‎…,‎ ‎∴= f2(x)=,‎ 故选:B.‎ 点睛:本题通过观察几个函数解析式,归纳出一般规律来考查归纳推理,属于中档题.‎ 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等;(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎12.若直线与曲线相切,且,则( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:求出导函数,确定切点的坐标,在构造函数,即可得到结论.‎ 详解:由题意,函数,则,‎ 令,可得,故切点为,‎ 代入,可得,‎ 构造新函数,则,‎ 即,所以,即,所以 ,故选C.‎ 点睛:本题主要考查了导数的几何意义的应用,以及函数零点的存在定理的应用,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.‎ 二、填空题 ‎13.若曲线在点处的切线的斜率为3,则点的坐标为__________.‎ ‎【答案】、‎ ‎【解析】分析:设P(m,n),则n=m3,求出函数的导数,可得切线的斜率,解m的方程可得m,n,即可得到P的坐标.‎ 详解:设P(m,n),则n=m3,‎ y=x3的导数为y′=3x2,‎ 可得曲线y=x3在点P处的切线斜率为3m2,‎ 由题意可得3m2=3,‎ 解得m=±1,‎ 则m=1,n=1;m=﹣1,n=﹣1.‎ 即P(1,1),(﹣1,﹣1).‎ 故答案为:、‎ 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率,其求法为:设是曲线上的一点,则以的切点的切线方程为:.若曲线在点的切线平行于轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为.‎ ‎14.若曲线(为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:令y′≥0在(0,+∞)上恒成立可得a,根据右侧函数的值域即可得出a的范围.‎ 详解:y′=+2ax,x∈(0,+∞),‎ ‎∵曲线y=lnx+ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线,‎ ‎∴y′=≥0在(0,+∞)上恒成立,‎ ‎∴a≥﹣恒成立,x∈(0,+∞).‎ 令f(x)=﹣,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ 又f(x)=﹣<0,‎ ‎∴a≥0.‎ 故答案为:.‎ 点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎15.已知双曲线的左、右焦点分别为、,是双曲线上一点,且轴,若的内切圆半径为,则其渐近线方程是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:由题意可得A在双曲线的右支上,由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a,设Rt△AF1F2内切圆半径为r,运用等积法和勾股定理,可得r=c﹣a,结合条件和渐近线方程,计算即可得到所求.‎ 详解:由点A在双曲线上,且AF2⊥x轴,‎ 可得A在双曲线的右支上,‎ 由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a,‎ 设Rt△AF1F2内切圆半径为r,‎ 运用面积相等可得S=|AF2|•|F1F2|‎ ‎=r(|AF1|+|AF2|+|F1F2|),‎ 由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2,‎ 解得r=,‎ ‎,即 ‎∴渐近线方程是,‎ 故答案为:.‎ 点睛:本题主要考查双曲线的定义及简单的几何性质、数形结合思想的应用,属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透,这样才能快速找准突破点. ‎ 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解.‎ ‎16.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线与椭圆交于、两点,若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:设|F1F2|=2c,|AF1|=m,若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形,则|AB|=|AF1|=m,|BF1|=m,再由椭圆的定义和周长的求法,可得m,再由勾股定理,可得a,c的方程,求得,开方得答案.‎ 详解:如图,设|F1F2|=2c,|AF1|=m,‎ 若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形,‎ 则|AB|=|AF1|=m,|BF1|=m,‎ 由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a,‎ 即有4a=2m+m,即m=2(2﹣)a,‎ 则|AF2|=2a﹣m=(2﹣2)a,‎ 在直角三角形AF1F2中,‎ ‎|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2,‎ 即4c2=4(2﹣)2a2+4(﹣1)2a2,‎ ‎∴c2=(9﹣6)a2,‎ 则e2==9﹣6=,‎ ‎∴e=.‎ 故答案为:.‎ 点睛:椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:‎ ‎①求出a,c,代入公式;‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).‎ 三、解答题 ‎17.已知函数,是否存在常数、,使在上取得最大值3,最小值?若存在,求出、的值,若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】,或,‎ ‎【解析】分析:由题意求导,讨论a以确定函数的单调性,从而确定最值,进而求得、的值.‎ 详解:由得:‎ 由得:或 若,则在上是增函数,在上是减函数 ‎∴‎ 这时,‎ ‎,‎ ‎∴,解得 若,则在上是减函数,在上是增函数 ‎∴‎ 这时,‎ ‎,‎ ‎∴,解得 ‎∴存在常数,或,满足题设条件.‎ 点睛:本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用,综合性强.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.‎ ‎18.已知命题:实数满足,命题:实数满足方程表示的焦点在轴上的椭圆,且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:根据条件求出命题p,q的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可.‎ 详解:由得:,即命题 由表示焦点在轴上的椭圆,可得,解得,即命题.‎ 因为是的充分不必要条件,所以或 解得:,∴实数的取值范围是. ‎ 点睛:本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据条件求出命题p,q的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键.‎ ‎19.已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点,直线与该抛物线相交于、两个不同的点,点是的中点,求(为坐标原点)的面积.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:由双曲线方程可得右焦点,即为抛物线的焦点,可得抛物线的方程,利用点差法得到直线的斜率为联立直线方程,可得y的二次方程,解得,利用割补法表示的面积为,带入即可得到结果.‎ 详解:∵ 双曲线的左焦点的坐标为 ‎∴的焦点坐标为,∴,‎ 因此抛物线的方程为 设,,,则,‎ ‎∴‎ ‎∵为的中点,所以,故 ‎∴直线的方程为 ‎∵ 直线过点, ∴,‎ 故直线的方程为,其与轴的交点为 由得:,,‎ ‎∴的面积为. ‎ 点睛:本题考查双曲线和抛物线的方程和性质,考查直线方程与抛物线的方程联立,考查了点差法,考查了利用割补思想表示面积,以及化简整理的运算能力,属于中档题.‎ ‎20.设椭圆经过点,其离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)直线与椭圆交于、两点,且的面积为,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析:(1)由经过点P,得,由离心率为得=,再根据a2=b2+c2联立解方程组即可;‎ ‎(2)联立直线方程与椭圆方程消y,得,易知判别式△>‎ ‎0,设A(x1,y1),B(x2,y2),弦长公式及点到直线的距离公式可表示出△PAB的面积,令其为,即可解出m值,验证是否满足△>0.‎ 详解:(1)解:由已知解得,,∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)解:由得:‎ 由得:‎ 设,,则,‎ ‎∴‎ 又到的距离为,∴ ‎ 即,解得:.‎ 符合,故. ‎ 点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.‎ ‎21.设函数 ‎ ‎(1)求的单调区间;‎ ‎(2)若为整数,且当时, 恒成立,其中为的导函数,求的最大值.‎ ‎【答案】(1)f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增(2)2‎ ‎【解析】试题分析:(1)先求导数,根据a的大小讨论导函数是否变号:若a≤0,导函数恒非负,为单调增区间;若a>0,导函数符号变化,先负后正,对应先减后增 ‎(2)分类变量得 ,再利用导数求最小值:在极小值点取最小值,根据极值定义得 及零点存在定理确定范围 ,化简最小值为,并确定其范围为(2,3) ,因此可得正整数的最大值.‎ 试题解析:(1)函数f(x)=ex-ax-2的定义域是R,f′(x)=ex-a, ‎ 若a≤0,则f′(x)=ex-a≥0,所以函数f(x)=ex-ax-2在(-∞,+∞)上单调递增 ‎ 若a>0,则当x∈(-∞,lna)时,f′(x)=ex-a<0;‎ 当x∈(lna,+∞)时,f′(x)=ex-a>0;‎ 所以,f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增 ‎(2)由于a=1,‎ ‎ ‎ 令,,‎ 令,在单调递增, ‎ 且在上存在唯一零点,设此零点为,则 当时,,当时,‎ ‎, ‎ 由,又 所以的最大值为2‎ 点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是,(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)设,;,若,与曲线分别交于异于原点的,两点,求 的面积.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(1)将曲线的参数方程消去参数可得普通方程x2+y2-6x-8y=0,再化为极坐标方程可得。(2)把分别代入极坐标方程可得,再根据可求得的面积。‎ 试题解析:‎ ‎(1)将C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25,‎ 即x2+y2-6x-8y=0.‎ ‎∴ C的极坐标方程为. ‎ ‎(2)把代入,得,‎ ‎∴.‎ 把代入,得,‎ ‎∴.‎ ‎∴ 。‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若不等式的解集是空集,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若存在,使得成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)利用零点分段讨论法去掉绝对值符号得到分段函数,再利用数形结合思想求函数的最值,进而求解;(Ⅱ)将问题转化为进行求解.‎ 试题解析:(Ⅰ) 作出的图象(略),‎ 数形结合知的最小值.‎ ‎∵不等式的解集是空集,‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎(Ⅱ)存在,使得成立,等价于,‎ 由(Ⅰ)可知,‎ 所以,解得,故实数的取值范围为.‎ 点睛:要正确区分不等式恒成立问题和存在性成立的区别,如:‎ 恒成立 存在, 成立
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