专题8-2+空间几何体的表面积与体积(测)-2018年高考数学(文)一轮复习讲练测

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专题8-2+空间几何体的表面积与体积(测)-2018年高考数学(文)一轮复习讲练测

‎2018年高考数学讲练测【新课标版理】【测】第八章 立体几何 第02节 空间几何体的表面积与体积 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的。)‎ ‎1.【2017课标1,理7】某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎2. 【2016陕西质检二】某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】由三视图所提供的信息可知该几何体是一个圆台和圆柱的组合体,故其体积,应选B.‎ ‎3.【2018届南宁市高三联考】三棱锥P-ABC中,ΔABC为等边三角形,PA=PB=PC=3‎,PA⊥PB,三棱锥P-ABC的外接球的体积为( )‎ A. ‎27‎‎2‎π B. ‎27‎‎3‎‎2‎π C. ‎27‎3‎π D. ‎‎27π ‎【答案】B ‎4.【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )‎ A. ‎24π+8‎‎3‎ B. ‎8π+8‎ C. ‎32π+8‎‎3‎ D. ‎‎32π+24‎‎3‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三视图可知,几何体是个球与一个直三棱锥的组合体,球的半径为2,三棱锥底面是等腰直角三角形,面积为s=‎1‎‎2‎×2‎2‎×2‎2‎=4‎,高为2,所以三棱锥的体积v=‎1‎‎3‎×4×2=‎‎8‎‎3‎,故组合体的体积V=‎3‎‎4‎×‎4‎‎3‎π×‎2‎‎3‎+‎8‎‎3‎=‎‎24π+8‎‎3‎,故选A.‎ ‎5.【2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】在长方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,AD=1‎,AB=2‎,AA‎1‎=2‎,点M在平面ACB‎1‎内运动,则线段BM的最小值为( )‎ A. ‎6‎‎2‎ B. ‎6‎ C. ‎6‎‎3‎ D. ‎‎3‎ ‎【答案】C ‎6.【河北省邯郸市高三上学期第二次模拟】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由三视图还原图像,得原图是两个一样的圆锥底面对在一起了,‎ 所以.‎ ‎7.【2018届贵州省黔东南州高三上第一次联考】在中, (如下图),若将绕直线 旋转一周,则形成的旋转体的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】依题意可知,旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥,所以,所以旋转体的体积: .‎ ‎ 故选:D.‎ ‎8.【广东省韶关市高三调研】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图易知,该几何体是底面积为,高为3的三棱锥,由锥体的体积公式得.选C ‎9.【2017年福建省数学基地校】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高,计算其体积的近似公式,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3,那么近似公式,相当于将圆锥体积公式中的近似取为( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】,若,则, .‎ 故选B.‎ ‎10.已知体积为的长方体的八个顶点都在球的球面上,在这个长方体经过同一个顶点的三个面中,如果有两个面的面积分别为、,那么球的体积等于( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎11.三棱锥中,平面,,, ,则该三棱锥外接球的表面积为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】分析可知球心在的中点. 因为,,所以.‎ 所以.球的半径.所以此球的表面积为.故A正确.‎ ‎12.【2018届河南省中原名校(即豫南九校)高三上第二次联考】一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体,当正方体的棱长取最大值时,正方体的外接球的表面积是( )‎ A. ‎4π B. ‎6π C. ‎12π D. ‎‎24π ‎【答案】B ‎【解析】设球的半径为:r,由正四面体的体积得:‎ ‎4×‎1‎‎3‎×r×‎3‎‎4‎×‎6‎‎2‎=‎1‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎6‎‎2‎×‎‎6‎‎2‎‎-‎‎2‎‎3‎‎×‎3‎‎2‎×6‎‎2‎‎,‎ 所以r=‎6‎‎2‎,设正方体的最大棱长为a,∴3a‎2‎=‎6‎‎2‎∴a=‎2‎,‎ 外接球的面积为‎4πr‎2‎=6π 故选B.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中的横线上。)‎ ‎13.【2017天津,理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设正方体边长为 ,则 ,‎ 外接球直径为.‎ ‎14.三棱柱各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,,,,则这个球的表面积为   .‎ ‎【答案】 ‎15.已知直三棱柱中,,侧面的面积为,则直三棱柱外接球表面积的最小值为 .‎ ‎【答案】 ‎【解析】根据题意,设,则有,从而有其外接球的半径为,所以其比表面积的最小值为.‎ ‎16.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上,球心在此三棱锥内部,且,点为线段的中点,过点作球的截面,则所得截面圆面积的最小值是_________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】设,则, 体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上, ,得,由,得或(舍去),,由题意知点为线段的中点,从而在中, ,解得, 当截面垂直于时,截面圆的半径为,故截面圆面积最小值为,故答案为.‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.(本题满分10分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.‎ ‎(Ⅰ)求该几何体的体积V;‎ ‎(Ⅱ)求该几何体的侧面积S.‎ ‎【答案】(Ⅰ)64;(Ⅱ).‎ ‎18.(本题满分12分)【2017年福建省数学基地校】如图,直四棱柱中,四边形为梯形, ,且.过三点的平面记为, 与的交点为.‎ ‎(I)证明: 为的中点; ‎ ‎(II)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析:(1)由已知得平面QBC∥平面A1AD,从而QC∥A1D,由此能证明Q为BB1的中点.‎ ‎(2)连接QA,QD.设AA1=h,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下,BC=a,则AD=2a.V下=+V四棱锥QABCD=ahd . ‎ = ahd,由此能求出此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比.‎ ‎(I)证明:延长交于,则平面,‎ 又平面,平面平面,‎ 所以因为 所以,即为的中点. ‎ ‎ (II)如图所示,连接.设,梯形的高为,四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和, ,则 .‎ 三棱椎, 四棱椎 所以=三棱椎+四棱椎= .又四棱柱,‎ 所以=四棱柱-,‎ 故. ‎ ‎19. (本题满分12分)【2018届衡水金卷全国高三大联考】如图,在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,AA‎1‎⊥‎平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=CC‎1‎=2‎,点D为AB的中点.‎ ‎(1)证明:AC‎1‎∥‎平面B‎1‎CD;‎ ‎(2)求三棱锥A‎1‎‎-CDB‎1‎的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ 试题解析:‎ ‎(1)连接BC‎1‎交B‎1‎C于点O,连接OD.‎ 在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,四边形BCC‎1‎B‎1‎是平行四边形.‎ ‎∴点O是BC‎1‎的中点.‎ ‎∵点D为AB的中点,‎ ‎∴OD∥AC‎1‎.‎ 又OD⊂‎平面B‎1‎CD,AC‎1‎⊄‎平面B‎1‎CD,‎ ‎∴AC‎1‎∥‎平面B‎1‎CD.‎ ‎(2)∵AC=BC,AD=BD,‎ ‎∴CD⊥AB.‎ 在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,‎ 由AA‎1‎⊥‎平面ABC,得平面ABB‎1‎A‎1‎⊥‎平面ABC.‎ 又平面ABB‎1‎A‎1‎∩‎平面ABC=AB.‎ ‎∴CD⊥‎平面ABB‎1‎A‎1‎.‎ ‎∴点C到平面A‎1‎DB‎1‎的距离为CD,且CD=ACsinπ‎4‎=‎‎2‎.‎ ‎∴‎VA‎1‎‎-CDB‎1‎‎=VC-A‎1‎DB‎1‎=‎1‎‎3‎SΔA‎1‎DB‎1‎×CD ‎=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×A‎1‎B‎1‎×AA‎1‎×CD=‎‎ ‎1‎‎6‎‎×2‎2‎×2×‎2‎=‎‎4‎‎3‎.‎ ‎20.(本题满分12分)【2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】如图,在多面体ABCDFE中,四边形ADFE是正方形,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD=1‎,BC=2‎,G为BC中点,平面ADFE⊥‎平面ADCB.‎ ‎(1)证明:AC⊥BE;‎ ‎(2)求三棱锥A-GFC的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)‎3‎‎12‎.‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(1)先依据题设条件运用面面垂直的性质定理证明EA⊥‎平面ADCB,从而得到EA⊥AC,‎再运用线面垂直的判定定理证明AC⊥‎平面ABE,最后借助线面垂直的性质证明AC⊥BE;‎ ‎(2)先等积转换法将VA-GFC‎=VF-AGC=VE-AGC=‎‎1‎‎2‎VE-ABC,然后再求出VE-ABC的值。‎ ‎(1)证明:连接DG,因为AD=GC,AD∥GC,‎ ‎ ‎ ‎(2)因为VA-GFC‎=VF-AGC=VE-AGC=‎‎1‎‎2‎VE-ABC,‎ VE-ABC‎=‎1‎‎3‎×1×‎1‎‎2‎×1×‎3‎=‎‎3‎‎6‎‎.‎ 所以,三棱锥A-GFC的体积为‎3‎‎12‎.‎ ‎21.(本题满分12分)【2018届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研】如图,在四棱锥中, 底面,底面为菱形, , 为的中点.‎ ‎(1)求证: 平面;‎ ‎(2)求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .‎ ‎22.(本题满分12分)【2018届吉林省百校联盟高三九月联考】如图所示,四棱锥中,平面平面, , , .‎ ‎(1)证明:在线段上存在一点,使得平面;‎ ‎(2)若,在(1)的条件下,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析:(1)取的中点,易得:四边形是平行四边形,从而,所以平面;(2)∵是的中点,∴到平面的距离等于到平面的距离的一半从而易得三棱锥的体积.‎ 试题解析:‎ ‎(1)如图,取的中点, 的中点,连接, ,‎ ‎∵是的中位线,∴ ,‎ 依题意得, ,则有 ,∴四边形是平行四边形,∴,‎ ‎∵平面, 平面,∴平面.‎ ‎(2)∵平面平面,平面平面, , 平面,故平面,‎ ‎∵是的中点,‎ ‎∴到平面的距离等于到平面的距离的一半,且平面, ,‎ ‎∴三棱锥的高是2, ,‎ 在等腰中, , , 边上的高为,‎ ,∴到的距离为,∴,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎
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