数学（理）卷·2017届辽宁省鞍山市高三下学期第一次质量检测（2017

数学（理）卷·2017届辽宁省鞍山市高三下学期第一次质量检测（2017

鞍山市2017年高中毕业班第一次质量调查 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集，集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．若复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．若的展开式中的系数为30，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．已知数列满足：，若，，则（ ）‎ A．84 B．63 C．42 D．21‎ ‎5．已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．执行下图程序框图，如果输入的，均为2，则输出的（ ）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎7．已知函数，则函数满足（ ）‎ A．最小正周期为 B．图象关于点对称 ‎ C．在区间上为减函数 D．图象关于直线对称 ‎8．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）‎ A．4 B． C． D．8‎ ‎9．已知（且）恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（ ）‎ A． B．8 C． D．4‎ ‎10．已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知定义域在上的函数满足.当时，.则关于的方程没有负实根时实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．过双曲线（，）的右焦点作圆的切线，切点为.直线交抛物线于点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若，满足约束条件，则的最小值为 ．‎ ‎14．现在要安排6名大学生到工厂去做3项不同的实习工作，每项工作需要2人，则甲、乙二人必须做同一项工作，而丙、丁二人不能做同一项工作的概率为 ．‎ ‎15．已知等差数列中，，，设为数列的前项和，则 ．‎ ‎16．给出下列五个命题：①“若，则或”是假命题；②从正方体的面对角线中任取两条作为一对，其中所成角为的有48对；③“”是方程表示焦点在轴上的双曲线的充分不必要条件；④点是曲线（，）上的动点，且满足，则的取值范围是；⑤若随机变量服从正态分布，且，则.其中正确命题的序号是 （请把正确命题的序号填在横线上）．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，‎ 的面积为，又，记.‎ ‎（Ⅰ）求，，的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎18．如图四棱锥的底面为菱形，且，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）二面角的余弦值.‎ ‎19．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中抽取80名学生的数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.‎ ‎（Ⅰ）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；‎ ‎（Ⅱ）假设抽出学生的数学成绩在段各不相同，且都超过94分.若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数字中任意抽取2个数，有放回地抽取3次，记这3次抽取中恰好有两名学生的数学成绩的次数为，求的分布列和期望.‎ ‎20．过椭圆：上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，、‎ 分别为椭圆的左顶点和上顶点，且，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若动直线与椭圆交于、两点，且以为直径的圆恒过坐标原点.问是否存在一个定圆与动直线总相切.若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎21．已知函数，其中 ‎（Ⅰ）若函数在处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若，恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点，在曲线上，求的值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 设函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值.‎ 鞍山市2017年第一次质量调查数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1-5:BCBCD 6-10:ADBAD 11、12：AB 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．②④⑤‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由的面积为，有，即，得，‎ 又为锐角，故 再由余弦定理：，得，‎ ‎.‎ ‎（2）由，知，由为正三角形，即，且，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎18．解：（1）证明：取中点，连结，，由，，知为等腰直角三角形，‎ ‎，，由，，知为边三角形，‎ ‎，‎ 由得，，又，、平面 平面，又平面，平面平面.‎ ‎（2）由（1）、、两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，则，，，‎ ‎，，设平面的法向量为，则，取，‎ 则，又平面的一个法向量为，‎ 设二面角的大小为，‎ 易知其为锐角，，‎ 二面角的余弦值为.‎ ‎19．解：（1）平均分分.‎ 众数的估计值是75分.‎ ‎（2）在段的人数（人），‎ 设每次抽取两个数恰好是两名学生的成绩的概率为，则，‎ 显然，的可能取值为0，1，2，3. ，‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎,‎ ‎20．解：（1）由题意得，所以，.由得，解得，，‎ 由，得，，椭圆的方程为.‎ ‎（2）假设存在这样的圆.设，.‎ 由已知，以为直径的圆恒过原点，即，所以.‎ 当直线垂直于轴时，，，所以，又，解得，‎ 不妨设，或，，即直线的方程为或，此时原点到直线的距离为.‎ 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，解消去得方程：‎ ‎，因为直线与椭圆交于，两点，所以方程的判别式 ‎，即，且，.‎ 由，得，‎ 所以，整理得（满足）.‎ 所以原点到直线的距离.综上所述，原点到直线的距离为定值，即存在定圆总与直线相切.‎ ‎21．解：（1）因为，由在处的切线与直线垂直，‎ 可知，所以；‎ ‎（2）由题意知，函数的定义域为，，‎ 令，.‎ ‎（i）当时，，此时，函数在单调递增，无极值点；‎ ‎（ii）当时，方程的判别式.‎ ‎①当时，，，，函数在单调递增，无极值点；‎ ‎②当时，，设方程的两根为，，因为，‎ 的对称轴方程为，所以，，由，‎ 可得.‎ 所以当时，，，函数单调递增；‎ 当时，，，函数单调递减；‎ 当时，，，函数单调递增.因此函数 有两个极值点.‎ ‎（iii）当时，，由，可得，‎ 当时，，，函数单调递增；‎ 当时，，,函数单调递减，所以函数有一个极值点.‎ 综上所述，当时，函数有一个极值点；‎ 当时，函数无极值点；‎ 当时，函数有两个极值点.‎ ‎（3）由（2）知，‎ ‎①当时，函数在单调递增，因为，所以时，，符合题意；‎ ‎②当时，，得，函数在上单调递增，又，所以时，，符合题意；‎ ‎③当时，设，因为时，所以，所以在上单调递增，所以，即，可得，而当时，，即此时，不符合题意.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎22．解：（Ⅰ）将及对应的参数，代入，得，即，‎ 所以曲线的方程为（为参数），或.设圆的半径为 ‎，由题意，圆的方程为，（或）.将点代入，得，即.‎ ‎（或由，得，代入，得），‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）因为点，在曲线上，所以，‎ ‎，所以.‎ ‎23．解：（1） ‎ 由得或，解得或，‎ 所以不等式的解集为；‎ ‎（2）由绝对值的性质得，‎ 所以最小值为，从而，解得，因此的最大值为.‎