湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2019届高三12月联考数学（理）试题

湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2019届高三12月联考数学（理）试题

湖南省湘东六校2018年下期高三联考 理科数学试题 总分:150 时量：120分钟 考试时间：2018年12月8日 由醴陵市一中·浏阳市一中·攸县一中·株洲市八中·株洲市四中·株洲市二中联合命题 ‎ ‎ ‎ 姓名： 考号： ‎ 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若复数，则在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.若集合，，则 A. B. C. D.‎ ‎3.函数的图象大致为 A B C D ‎4.已知向量，，则的面积为 A. B. C. D.‎ ‎5.已知函数，则下列说法不正确的是 A.的图象关于直线对称 B.的周期为 C.是的一个对称中心 D.在区间上单调递减 ‎6.在中，的对边分别为，其中，且，则其最小角的余弦值为 A. B. C. D.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为63，‎ 则判断框中应填入的条件为 A. B.‎ C. D.‎ ‎8.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，‎ 且，则直线的斜率为 A. B. ‎ C.或 D. 或 （第7题图）‎ ‎9.右图为一个正四面体的侧面展开图，G为BF的中点，则 在原正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为 A. B.‎ C. D. （第9题图）‎ ‎10.如图，在平面直角坐标系中，为正十边形 的中心，在轴正半轴上，任取不同的 两点、（其中，，且），‎ 点P满足，则点P落在第二象限 的概率是 A. B.‎ C. D. （第10题图）‎ ‎11.己知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎12.已知双曲线的两顶点分别为，为双曲线的一个焦点，为虚轴的一个端点,若在线段上（不含端点）存在两点，使得，则双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围是 A. B. C. D.‎ 第II卷 图3‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知曲线，则曲线在(0,)处的切线与坐标轴围成的图形面积为 .‎ ‎14.若变量x，y满足，且的最小值为，则实数的值为 .‎ ‎15.在平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，且．‎ 若，则的值为 ．‎ 16. 如图，四棱锥中，，矩形的 周长为8，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥 的外接球半径与内切球半径分别为和，则 的值为 .‎ ‎（第16题图）‎ 三、解答题（本大题共7小题共70分，其中第22，23题为选做题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎（一）必做题：共60分.‎ ‎17.（本小题12分）已知数列的前项和满足，且。‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，为的前项和，求使成立的的最小值.‎ ‎18.（本小题12分）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，△，△，△都是正三角形。‎ ‎（Ⅰ）证明：直线∥面；‎ ‎（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得二面角 的余弦值是，若不存在请说明 理由，若存在请求出点所在的位置。‎ ‎（第18题图）‎ ‎19.（本小题12分）某市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校200名高中学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，数据如下表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)‎ 平均每天锻炼的时间(分钟)‎ ‎[0，10)‎ ‎[10，20)‎ ‎[20，30)‎ ‎[30，40)‎ ‎[40，50)‎ ‎[50，60]‎ 总人数 ‎20‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎10‎ 将学生日均课外体育运动时间在[40，60)上的学生评价为“课外体育达标”.‎ ‎(Ⅰ)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 女 ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎（Ⅱ ‎）从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量为，求的分布列和数学期望。‎ ‎(Ⅲ)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中，抽取4名学生，求其中恰好有2名学生是课外体育达标的概率。‎ 参考公式：，其中 参考数据：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20.（本小题12分）已知椭圆：的离心率，点，点 分别为椭圆的上顶点和左焦点，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过定点的直线与椭圆交于两点（在之间）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围？如果不存在，请说明理由．‎ ‎21.（本小题12分）已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时，求在区间的最大值；‎ ‎(Ⅱ)若函数有两个极值点,求证：.‎ ‎（二）选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）‎ ‎22.（本小题10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.‎ ‎(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设曲线与直线的交点为是曲线上的动点，求面积的最大值．‎ ‎23.（本小题10分）已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时，解不等式；‎ ‎(Ⅱ)当时，恒成立，求的取值范围.‎ 湖南省湘东六校2018年下期高三联考 理科数学答案 一、选择题 AABDC CBCCB DA 二、填空题 ‎13. 14.2 15. 16.‎ 第15题：【解析】∵点在单位圆上，且，∴，，‎ 又，且，则，‎ ‎.‎ 三 解答题 ‎17.解：（Ⅰ）由已知有，数列为等差数列，且，‎ ‎，即，…………………………………………………………3分 当时，，‎ 又也满足上式，；……………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（1）知，‎ ‎，……9分 由有，有，所以，‎ 的最小值为5.……………………………………………………………………12分 ‎18.解：（Ⅰ）依题意，在平面中，，‎ 又平面，平面 ①；‎ 同理，在平面中，‎ ‎，平面 ②；‎ ‎ 面， 面，‎ ‎ 面，面，‎ 由①②可得，平面平面.‎ 又面，所以直线∥面.…………………………………………5分 ‎（本题可先证明后得证；也可建立空间直角坐标系得证，请酌情给分。）‎ ‎（Ⅱ）设的中点为，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。易知， ，，,.……6分 设，.可得，‎ 设为平面的法向量，‎ 由有，可取，‎ 又面的法向量可取，………………………………………8分 所以，…………………10分 所以，又，。‎ 存在满足条件的点，为中点。…………………………………12分 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ ‎19.解：(Ⅰ)‎ ‎＝≈6.060<6.635，‎ 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.‎ ‎…………………………………4分 ‎（Ⅱ）易知，所抽取的10名学生中，男生为名，女生为6名.‎ 可取0,1,2,3.且,,‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的分布列为：‎ ‎.…………………………………………………………………9分 ‎（Ⅲ3）设所抽取的4名学生中，课外体育达标的人数为，表中学生课外体育达标的概率为，，.‎ ‎4名学生中，恰好有2名学生是课外体育达标的概率为.……………12分 ‎20.解：（Ⅰ）设椭圆焦距为，依题意，有 ①，‎ 由有，有 ②，‎ 又 ③， 由①②③可得，，‎ 椭圆的方程.……………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）设直线的方程为，‎ ‎……………6分 ‎ 设，则，，‎ ‎，‎ 由于菱形对角线垂直，则，‎ 解得，………………………………10分 即，，（当且仅当时，等号成立）.‎ 所以存在满足条件的实数，的取值范围为.……………………12分 ‎21.解：(Ⅰ)由已知得的定义域为,‎ ‎，……………………………………………1分 当时,，在上单调递增,的最大值为.‎ 当时,在上单调递增,在单调递减，‎ 的最大值为.‎ 综上，当时，的最大值为，‎ 当时，的最大值为.………………………………4分 ‎(Ⅱ)，则的定义域为，.‎ 若有两个极值点，则方程的判别式 且，因而，…………………………………………6分 又，∴，即，‎ 设,其中,………………………………8分 由 得,由于，‎ ‎∴在上单调递增,在上单调递减,‎ 即的最大值为，‎ 从而成立.…………………………………………………12分 ‎22.解：(Ⅰ)由消去得，所以直线的普通方程为，‎ 由＝，得，‎ 化为直角坐标方程得：，所以曲线的直角坐标方程为 ‎.………………………………………………………………5分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，曲线是以为圆心，为半径的圆，直线过定点，在圆内，‎ 将直线的参数方程可化为，代入圆的普通方程，得.‎ 设，所对应的值分别为，则，……………7分 所以，‎ 又因为圆心到直线的距离，‎ 所以△ABQ面积的最大值为.……………10分 ‎23.解：（I）当时，，有 所以或或，‎ 所以或或，‎ 综上，不等式解集为.………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）当时，恒成立，有.‎ 恒成立. 或恒成立.‎ 或恒成立，‎ 当时，① 或 ② 恒成立，‎ 解①得不存在；解②得：.‎ 综上知，.…………………………………………………………………………10分