数学卷·2017届上海市黄浦区高三下学期等级考调研测试(2017

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数学卷·2017届上海市黄浦区高三下学期等级考调研测试(2017

黄浦区2017年高考模拟考 数 学 试 卷 2017年4月 ‎(完卷时间:120分钟 满分:150分)‎ 一、填空题(本大题共有12题,满分54分. 其中第1~6题每题满分4分,第7~12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[‎ ‎1.函数的定义域是 . ‎ ‎2.若关于的方程组有无数多组解,则实数_________.‎ ‎3.若“”是“”的必要不充分条件,则的最大值为 .‎ ‎4.已知复数,(其中i为虚数单位),且是实数,则实数t等于   . ‎ ‎5.若函数 (a>0,且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围是   .‎ ‎6.设变量满足约束条件 则目标函数的最小值为 .‎ ‎7. 已知圆和两点,若圆上至少存在一点,使得,则的取值范围是   . ‎ ‎8. 已知向量,,如果∥,那么的值为 .‎ ‎(第11题图)‎ ‎9.若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点,则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是 ‎   . ‎ ‎10.若将函数的图像向左平移个单位后,所得 图像对应的函数为偶函数,则的最小值是   .‎ ‎11.三棱锥满足:,,,,‎ 则该三棱锥的体积V的取值范围是   .‎ ‎12.对于数列,若存在正整数,对于任意正整数都有成立,则称数列是以为 周期的周期数列.设,对任意正整数n都有 若数列 是以5为周期的周期数列,则的值可以是 .(只要求填写满足条件的一个m值即可) ‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分.)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎13.下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是 ( )‎ A.y = sin(2x+ B.y = cos(2x+ ‎ C.y = sin(x+ D.y = cos(x+‎ ‎14.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的 表面积是 ( )‎ ‎  A.    B. ‎ ‎  C.      D.‎ ‎15.已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等 于它到渐近线距离的2倍,则其渐近线方程为 ( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎16.如图所示,,圆与分别相切于点,‎ ‎,点是圆及其内部任意一点,且 ‎,则的取值范围是 (  )‎ A.      B. ‎ C.      D.‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分76分.)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.‎ 如图,在直棱柱中,,,分别是的中点. ‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求与平面所成角的大小及点到平面的距离.‎ ‎18.(本题满分14分)本题共有2小题,第小题满分6分,第小题满分8分.‎ 在中,角的对边分别为,且成等差数列.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,,求的值. ‎ ‎19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分.‎ 如果一条信息有n种可能的情形(各种情形之间互不相容),且这些情形发生的概率分别为,则称(其中)为该条信息的信息熵.已知.‎ ‎(1)若某班共有32名学生,通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动,试求“谁被选中”的信息熵的大小;‎ ‎(2)某次比赛共有n位选手(分别记为)参加,若当时,选手获得冠军的概率为,求“谁获得冠军”的信息熵关于n的表达式.‎ ‎20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.‎ ‎  设椭圆M:的左顶点为、中心为,若椭圆M过点,且.‎ ‎(1)求椭圆M的方程;‎ ‎(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上,试求△APQ面积的最大值;‎ x y ‎(3)过点作两条斜率分别为的直线交椭圆M于两点,且,求证:直线恒过一个定点.‎ ‎21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.‎ ‎  若函数满足:对于任意正数,都有,且,则称函数为“L函数”.‎ ‎(1)试判断函数与是否是“L函数”;‎ ‎(2)若函数为“L函数”,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)若函数为“L函数”,且,求证:对任意,都有 ‎.‎ 高三数学参考答案与评分标准 一、填空题:(1~6题每题4分;7~12题每题5分)‎ ‎1. ;  2. ;  3.;  4.;   5.;   6. ; ‎ ‎7. ; 8. ; 9.; 10. ; 11. ; 12. (或,或).‎ 二、选择题:(每题5分)‎ ‎13.A 14.D 15. C 16. B ‎ 三、解答题:(共76分)‎ x y z O ‎17.解:(1)以A为坐标原点、AB为x轴、为y轴、‎ 为z轴建立如图的空间直角坐标系.‎ 由题意可知,‎ 故,…………………4分 由,‎ 可知,即. …………………6分 ‎(2)设是平面的一个法向量,‎ 又,‎ 故由解得 故. …………9分 设与平面所成角为,则,…………12分 所以与平面所成角为,‎ 点到平面的距离为. …………………14分 ‎18.解:(1)由成等差数列,‎ 可得,   …………………2分 故,所以, ………4分 又,所以,故,‎ 又由,可知,故,所以.  …………………6分 ‎(另法:利用求解)‎ ‎(2)在△ABC中,由余弦定理得,  …………………8分 即,故,又,故,………………10分 所以 ‎ ‎ …………………12分 ‎,‎ 故.                   …………………14分 ‎19.解:(1)由,可得,解之得.  …………………2分 由32种情形等可能,故,       ……………………4分 所以,‎ 答:“谁被选中”的信息熵为. ……………………6分 ‎(2)获得冠军的概率为,……………8分 当时,,又,‎ 故, ……………………11分 ‎,‎ 以上两式相减,可得,故,‎ 答:“谁获得冠军”的信息熵为.     ……………………14分 ‎20.解:(1)由,可知,‎ 又点坐标为故,可得, ……………………………2分 因为椭圆M过点,故,可得,‎ 所以椭圆M的方程为.          ……………………………4分 ‎(2)AP的方程为,即, ‎ 由于是椭圆M上的点,故可设, ……………………………6分 所以 ……………………………8分 当,即时,取最大值.‎ 故的最大值为. ……………………………10分 法二:由图形可知,若取得最大值,则椭圆在点处的切线必平行于,且在直线的下方. …………………………6分 设方程为,代入椭圆M方程可得,‎ 由,可得,又,故. …………………………8分 所以的最大值.    ……………………………10分 ‎(3)直线方程为,代入,可得 ‎,,‎ 又故,,    ………………12分 同理可得,,又且,可得且,‎ 所以,,, ‎ 直线的方程为, ………………14分 令,可得.‎ 故直线过定点.                  ………………16分 ‎(法二)若垂直于轴,则,‎ 此时与题设矛盾.‎ 若不垂直于轴,可设的方程为,将其代入,‎ 可得,可得,………12分 又,‎ 可得, ………………14分 故, ‎ 可得或,又不过点,即,故.‎ 所以的方程为,故直线过定点.     ………………16分 ‎21.解:(1)对于函数,当时,,‎ 又,所以,‎ 故是“L函数”. ………………2分 ‎ 对于函数,当时,, ‎ 故不是“L函数”. ………………4分 ‎(2)当时,由是“L函数”,‎ 可知,即对一切正数恒成立,‎ 又,可得对一切正数恒成立,所以. ………………6分 由,可得,‎ 故,又,故,‎ 由对一切正数恒成立,可得,即. ………………9分 综上可知,a的取值范围是. ………………………10分 ‎(3)由函数为“L函数”, 可知对于任意正数,‎ 都有,且,‎ 令,可知,即, ………………………12分 故对于正整数k与正数,都有 ‎, ………………………………14分 对任意,可得,又,‎ 所以,…………………16分 同理,‎ 故. ……………………………18分
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