数学理卷·2018届广东省深圳市沙井中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届广东省深圳市沙井中学高二下学期期中考试（2017-04）

沙井中学2016——2017学年度第二学期期中考试 高二年级 理科数学 ‎ 时间：120分钟 ；分值150分 ‎ 第一部分 选择题 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎3. 函数，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4． 函数f（x）=3x－x的单调增区间是（ ）‎ A. （0，+） B. （－，－1） C. （－1，1） D. （1，+）‎ ‎5．等于（ ）‎ A. 1 B. C. e D. ‎ ‎6．函数的图象如图所示，则的极大值点的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎7. 函数的图象在点（2，）处的切线方程是（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎8．下面使用类比推理正确的是 （ ）. ‎ A.“若,则”类推出“若,则”‎ B.“若”类推出“”‎ C.“若” 类推出“ （c≠0）”‎ D.“” 类推出“” ‎ ‎9．由>，>，>，…若a>b>0且m>0，则与之间大小关系为(　　)‎ A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定 ‎10．数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（　　）‎ ‎　 A． 2（2k+1） B． C． 2k+1 D． ‎ ‎11．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，‎ 则称具有性质.下列函数中具有性质的是（　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第二部分 非选择题 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．函数在点处的切线的斜率为 .‎ ‎14．若复数z= i ，则z100＋z50的值等于 ‎ ‎15．如图，阴影部分的面积是 .‎ 一、 设函数，观察:,‎ ‎ ，, ‎ 根据以上事实，由归纳推理可得当N*且时, .‎ 三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎(1)已知复数，‎ ‎(其中为虚数单位，)，若为实数，求实数的值； ‎ ‎(2) 已知：ΔABC的三条边分别为. 求证：‎ ‎18.（本小题10分）‎ ‎ 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、 、 、 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种. ‎ ‎19.（本小题12分）‎ 如图，四棱锥的底面满足 DE //AC，AC=2DE.‎ ‎（Ⅰ）若DC⊥平面ABC， AB⊥BC，求证：平面ABE⊥平面BCD;‎ ‎（Ⅱ）求证：在平面内不存在直线与平行；‎ 某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第 （2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容.‎ ‎（Ⅰ）证明：欲证平面平面BCD，‎ 只需证_______________________________，‎ 由已知AB⊥BC，只需证_________________，‎ 由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，‎ 所以平面ABE⊥平面BCD.‎ ‎（Ⅱ）证明：假设________________________________________，‎ 又因为平面，所以平面.‎ 又因为平面平面=,‎ 所以__________________，‎ 又因为DE //AC，所以是平行四边形，‎ 所以，这与_______________________________矛盾，‎ 所以假设错误，原结论正确.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知函数，当时，的极大值为7；当时，‎ 有极小值．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极小值．‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 已知， ‎ ‎ ‎ ‎（1）求，，，；‎ ‎（2）猜想与的关系，并证明之.‎ ‎22．（本小题满分14分 ）‎ ‎ 已知函数， .‎ ‎（Ⅰ）若函数在处取得极小值0，求的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对任意，总有；‎ ‎（Ⅲ）求函数的单调递增区间.‎ ‎2016-2017学年度第二学期高二年级期中考试理科数学试卷答案 ‎1-12：ABBCC,BDCBA,BC （1） ‎;‎ ‎14.0‎ ‎15.‎ ‎16.‎ ‎17.(1)‎ ‎(2) 要 证 成立,‎ 只需证 只需证 , ‎ 只需证 只需证, 只需证 ‎ ‎∵是ΔABC的三条边∴成立，原不等式成立。‎ ‎18.‎ ‎19.（Ⅰ）证明：欲证平面平面BCD，‎ 只需证平面， ‎ 由已知AB⊥BC，只需证，‎ 由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，‎ 所以平面ABE⊥平面BCD.‎ ‎（Ⅱ）证明：假设在平面内存在直线与平行，‎ 又因为平面，所以平面.‎ 又因为平面平面=,‎ 所以， ‎ 又因为DE //AC，所以是平行四边形，‎ 所以，这与矛盾，‎ 所以假设错误，原结论正确.‎ ‎20．‎ 解：（Ⅰ）由已知得 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），，当时，；当时， ‎ 故时，取得极小值，极小值为。‎ ‎21.解：（1）,‎ ‎ ……………………………………………..4分 ‎（2）猜想： ……………………………………5分 ‎ 即 下面用数学归纳法证明：‎ ①当时，;………………………………………6分 ②假设当时，,‎ 即…………………7分 那么当时，‎ ‎ ‎ 即当时，等式也成立 由①②可知，对任意都成立……………………………………10分 ‎22．（本小题满分14分 ）‎ ‎ 已知函数， .‎ ‎（Ⅰ）若函数在处取得极小值0，求的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对任意，总有；‎ ‎（Ⅲ）求函数的单调递增区间.‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为，‎ ‎ ‎ 由题意得， ‎ ‎.经检验符合题意.---------------------------------------------5分 ‎（Ⅱ），当时，，‎ 所以在上单调递增，所以 ‎ ‎，当时，，在上单调递减，所以 . - ‎ 因为，‎ 所以对任意，总有 ‎ -------------------------------------10分 ‎（Ⅲ）.‎ ‎（1）当时，由得，； ‎ ‎（2）当时，由得，； ‎ ‎（3）当时，‎ ‎（ⅰ）若，由得，或；‎ ‎（ⅱ）若，则恒成立，（在和上，），得；‎ ‎（ⅲ）若，由得，或. -------------------------------------------- 13分 综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为和；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为和.---------------------------------------------------------------------------14分