专题08+三角恒等变换与解三角形（热点难点突破）-2019年高考数学（文）考纲解读与热点难点突破

专题08+三角恒等变换与解三角形（热点难点突破）-2019年高考数学（文）考纲解读与热点难点突破

‎1．tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　因为tan 120°＝＝－，‎ 即tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－.‎ ‎2．在△ABC中，若原点到直线xsin A＋ysin B＋sin C＝0的距离为1，则此三角形为(　　)‎ A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 答案　A 解析　由已知可得，＝1，‎ ‎∴sin2C＝sin2A＋sin2B，∴c2＝a2＋b2，‎ 故△ABC为直角三角形．‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B＋bcos A＝2ccos C，c＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为(　　)‎ A．1＋ B．2＋ C．4＋ D．5＋ 答案　D 解析　在△ABC中，acos B＋bcos A＝2ccos C，‎ 则sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，‎ 即sin(A＋B)＝2sin Ccos C，‎ ‎∵sin(A＋B)＝sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，‎ 由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，‎ 即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，‎ 又S＝absin C＝ab＝，∴ab＝6，‎ ‎∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5，‎ ‎∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.‎ ‎4．已知α为锐角，则2tan α＋的最小值为(　　)‎ A．1 B．2 C. D. 答案　D 方法二　∵α为锐角，∴sin α>0，cos α>0，‎ ‎∴2tan α＋＝＋ ‎＝＝ ‎＝≥×2＝，‎ 当且仅当＝，‎ 即α＝时等号成立．故选D.‎ ‎5．已知2sin θ＝1－cos θ，则t an θ等于(　　)‎ A．－或0 B.或0‎ C．－ D. 答案　A 解析　因为2sin θ＝1－cos θ，‎ 所以4sin cos ＝1－＝2sin2，‎ 解得sin ＝0或2cos ＝sin ，即tan ＝0或2，‎ 又tan θ＝，‎ 当tan ＝0时，tan θ＝0；‎ 当tan ＝2时，tan θ＝－.‎ ‎6．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C，若a＝，则b2＋c2的取值范围是(　　)‎ A．(3,6] B．(3,5) C．(5,6] D．[5,6]‎ 答案　C 解析　∵(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C，‎ 由正弦定理得(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，‎ 即b2＋c2－a2＝bc，‎ ‎∴cos A＝＝＝，‎ 又A∈(0，π)，‎ ‎∴A＝，∴B＋C＝.‎ 又△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴∴BD，所以α为锐角，‎ 从而cos α＝＝.‎ 因此sin∠ADC＝sin＝sin αcos ＋cos αsin ‎＝＝.‎ 所以△ADC的面积S＝×AD×DC·sin∠ADC ‎＝×6×2×＝(1＋)．‎ ‎11．已知函数f(x)＝cos·sin＋cos2－.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)已知在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值．‎ 解　(1)f(x)＝cossin＋cos2－＝sin xcos x＋sin2x－ ‎＝sin 2x－cos 2x＝sin.‎ 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)由(1)知f(A)＝sin＝1，‎ 因为A∈(0，π)，‎ 所以2A－∈，‎ 所以2A－＝，所以A＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 又a＝2，‎ 则4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，‎ 当且仅当b＝c＝2时，等号成立．‎ 所以△ABC面积的最大值为 S△ABC＝bcsin A＝×4×＝.‎ ‎12．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)在△ABC中，sin B，sin A，sin C成等比数列，求此时f(A)的值域．‎ 解　(1)f(x)＝sin 2ωx－(cos 2ωx＋1)‎ ‎＝sin－，‎ 因为函数f(x)的最小正周期为T＝＝，‎ 所以ω＝.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin－，‎ 易得f(A)＝sin－.‎ 因为sin B，sin A，sin C成等比数列，‎ 所以sin2A＝sin Bsin C，‎ 所以a2＝bc，‎ 所以cos A＝＝ ‎≥＝(当且仅当b＝c时取等号)．‎ 因为0

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