专题13+选讲部分-备战2019年高考数学（理）之衡水中学各类考试分项汇编

专题13+选讲部分-备战2019年高考数学（理）之衡水中学各类考试分项汇编

一、解答题 ‎1. 【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数，）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是.‎ ‎（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎（2）因为直线的倾斜角为，且过点，‎ 所以直线的参数方程为（为参数），①‎ 圆的方程为，②‎ 联立①②，得，‎ 设两点对应的参数分别为，‎ 则，， ‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎3. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】设函数．‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)当的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎4. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】在直角坐标系中，直线l的参数方程为 (t为参数，)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎(1)当时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎（2）由直线的参数方程为（为参数，）可知直线是过点P（-1，1）且倾斜角为的直线，又由（1）知曲线C为椭圆，所以易知点P（-1，1）在椭圆C内，‎ 将代入中并整理得 ‎， ‎ ‎5. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为： （为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；‎ ‎（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若， 分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为 .‎ 当时，有最小值，所以的最小值为. ‎ ‎9. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】在极坐标系中，曲线，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线 的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值.‎ ‎【答案】（1）,（2） ‎ ‎（Ⅱ）如图，四点在直线上的排列顺序从下到上依次为， ， ， ，它们对应的参数分别为， ， ， .‎ 连接，则为正三角形，所以.‎ ‎，‎ 将代入，得： , ‎ 即，故，所以.‎ ‎10. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知为任意实数.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求函数的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）1‎ ‎（2） .‎ 即.‎ ‎11. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数，).‎ ‎（1）当时，若曲线上存在两点关于点成中心对称，求直线的斜率；‎ ‎（2）在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为的直线与曲线 相交于两点,若，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）. ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，曲线的参数方程为 (为参数)，‎ 消去参数得，‎ ‎∴圆心的坐标为．‎ ‎∵曲线上存在两点关于点成中心对称，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴直线的斜率．‎ ‎12. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】已知函数，.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得原不等式为，等价于 或或，‎ 解得或或，‎ 综上可得．‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ ‎13. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；‎ ‎（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】（1）由得，所以，所以圆的直角坐标方程为.将直线的参数方程代入圆，并整理得，解得，.所以直线被圆截得的弦长为.‎ ‎（2）直线的普通方程为.圆的参数方程为（为参数），‎ 可设曲线上的动点，则点到直线的距离，当时，取最大值，且的最大值为.‎ 所以，即的面积的最大值为.‎ ‎14. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知函数.‎ ‎（1）求函数的值域；‎ ‎（2）若，试比较，，的大小.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎（2）因为，所以，所以.‎ 又，‎ 所以，知，，‎ 所以，所以，‎ 所以.‎ ‎15. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎16. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知，.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2），即.‎ 作出函数的图像如图所示，‎ 当直线与函数的图像有三个公共点时，方程有三个解，所以.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎17. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.‎ ‎（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；‎ ‎（2）当时，两曲线相交于，两点，求.‎ ‎【答案】（1）的取值范围为；（2）.‎ ‎（2）当时，曲线：，‎ 两曲线交点，所在直线方程为.‎ 曲线的圆心到直线的距离为，‎ 所以.‎ ‎18. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】已知函数.‎ ‎（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.‎ ‎【答案】（1）解集为；（2）见解析见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：由图可知函数的最小值为，即.‎ 所以，从而，‎ 从而 .‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 即，时，有最小值，‎ 所以得证.‎ ‎19. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若点的极坐标为，，求的值.‎ ‎【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.‎ ‎(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，‎ 得. ‎ 因为直线与曲线交于，两点。‎ 所以，解得.‎ 由根与系数的关系，得，. ‎ 因为点的直角坐标为，在直线上.‎ 所以， ‎ 解得，此时满足.且，‎ 故.‎ ‎20. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 解集为;(2) 实数的取值范围是.‎ ‎（2）设，则.‎ 因为当且仅当时取等号，‎ 所以. ‎ 因为函数的值域为，‎ 所以有解，即.‎ 因为，所以，即.‎ 所以实数的取值范围是 ‎21. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】在极坐标系中，已知三点，，.‎ ‎（1）求经过，，三点的圆的极坐标方程；‎ ‎（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为，（是参数），若圆与圆外切，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）对应的直角坐标分别为，则过的圆的普通方程为，又因为，代入可求得经过的圆的极坐标方程为。‎ ‎（2）圆（是参数）对应的普通方程为，因为圆与圆外切，所以，解得。‎ ‎22. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】已知函数.‎ ‎（1）当时，求的解集；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎