辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上）‎ 期中数学试卷（理科）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.是虚数单位，复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：.‎ 考点：复数的四则运算.‎ ‎2.在上可导，则是函数在点处有极值的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求f′（x0）＝0外，还要求在两侧有单调性的改变（或导函数有正负变化），通过反例可知充分性不成立．‎ ‎【详解】若函数在x0取得极值，由定义可知f′（x0）＝0‎ 反之 如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数的极值点．‎ 所以f′（x0）＝0是x0为函数y＝f（x）的极值点的必要不充分条件 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分必要条件，极值的定义，注意函数取得极值的条件：函数在x0处取得极值⇔f′（x0）＝0，且f′（x＜x0）•f′（x＞x0）＜0，是基础题 ‎3. 有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（ ）‎ A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D.‎ ‎ 非以上错误 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵大前提“有些有理数是真分数”与小前提“整数是有理数”都正确，∴该推理形式错误，故选C ‎4.已知曲线，其中，则该曲线与坐标轴围成面积等于（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形对称性,只需求出上的定积分,再乘以3即可得到答案.‎ ‎【详解】解：根据图形的对称性，可得曲线，，与坐标轴围成的面积.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了定积分的计算,属于基础题.‎ ‎5.如果是的共轭复数，则对应的向量的模是（ ）‎ A. 1 B. C. D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出复数对应的向量的坐标后,利用模长公式计算可得答案.‎ ‎【详解】解：由题意，，‎ ‎∴对应的向量的坐标为，其模为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了求复数的共轭复数以及其对应的向量的模长的计算,属于基础题.‎ ‎6.若函数y＝a(x3－x)的递减区间为，则a的取值范围是(　　)‎ A. a＞0 B. －1＜a＜0‎ C. a＞1 D. 0＜a＜1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，由函数的递减区间为，可得y′＜0的范围为，即可得a的范围．‎ ‎【详解】函数y=a（x3﹣x），求导可得，y′=a（3x2﹣1）=3a（x﹣）（x+），‎ 由函数的递减区间为，‎ 可得y′=a（3x2﹣1）=3a（x﹣）（x+）＜0的范围为，所以a＞0，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了有函数的单调性求参数的范围问题，利用了函数的单调性与函数的导数关系，属于基础题．‎ ‎7.定义，，，的运算分别对应右图中的（1），（2），（3），（4），则图中，，对应的运算是（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：不同的运算形式与其对应的图形之间都有共同之处，比如都有运算，而图形都有正方形，故运算对应作正方形，对应作横线，对应作竖线，其余类似处理.‎ 详解：都有运算，而图形都有正方形，故运算对应作正方形，对应作横线，对应作竖线；都有运算，而图形都有圆，故运算对应作圆.所以对应 运算是，对应的运算是，故选A.‎ 点睛：本题考察类比推理，此类问题往往是两类对象在某些方面有相似的特点，所以它们也应该有相似的性质，注意类比推理得到的结果不一定正确.‎ ‎8.函数的定义域为，其导函数在的图象如图所示，则函数在内的极小值点共有( )‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据极小值点存在的条件，可以判断出函数的极小值的个数．‎ ‎【详解】根据极小值点存在的条件，①②在的左侧，在的右侧，可以判断出函数的极小值点共有1个，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的应用以及利用导数判断极值点．‎ ‎9.给出下列四个命题：‎ ‎（1）任意两个复数都不能比较大小；（2）为实数为实数；（3）虚轴上的点对应的复数都是纯虚数；（4）复数集与复平面内的所有点所成的集合是一一对应的.‎ 其中正确命题的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据虚数不能比较大小可知(1)不正确;根据两个共轭虚数的积为实数可知(2)不正确;根据原点在虚轴上可知(3)不正确;(4)正确.‎ ‎【详解】解：（1）因为两个复数都是实数时，可以比较大小.所以（1）不正确；‎ ‎（2）举反例,当，，，所以（2）不正确；‎ ‎（3）坐标原点在虚轴上,但原点对应的复数是实数，所以（3）不正确；‎ ‎（4）复数集与复平面内的所有点所成的集合是一一对应的.正确.‎ 所以正确命题的个数是：1个.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了复数的有关概念,属于基础题.‎ ‎10.已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数，所以．‎ 令f′（x）=0得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（3）=3m-．‎ 不等式f（x）+9≥0恒成立，即f（x）≥-9恒成立，所以3m-≥-9，解得m≥‎ 考点：函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值 ‎11.用数学归纳法证明：，由到，不等式左端变化的是（ ）‎ A. 增加一项 B. 增加和两项 C. 增加和两项，同时减少一项 D. 增加一项，同时减少一项 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出和时,不等式左端的式子,比较可知,选项正确.‎ ‎【详解】解：当时，左端，‎ 那么当时，左端，‎ 故第二步由到时不等式左端的变化是增加了增加和两项，同时减少一项，‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了数学归纳法,属于基础题.‎ ‎12.已知函数f(x)=,下列结论中错误的是 A. , f()=0‎ B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形 C. 若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,）单调递减 D. 若是f（x）的极值点，则()=0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.‎ 考点：函数的零点、对称性、单调性、极值．‎ 二、填空题（共4道题，每题5分共20分，把正确答案填在答题纸的横线上）‎ ‎13.设复数满足(为虚数单位)，则等于___ _____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由复数满足，故可知答案为1+3i 考点：复数的代数乘除法运算 点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．‎ ‎14.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可通过函数的解析式得出函数的导函数，然后对、以及三种情况进行分类讨论，通过函数的单调性即可判断出函数的极值，最后得出结果．‎ ‎【详解】因为，所以，‎ ‎①当时，，函数恒为增函数，无极值点；‎ ‎②当时，，函数恒为增函数，无极值点；‎ ‎③当时，，解得或，为增函数；‎ ‎，解得，为减函数，此时函数有两个极值点，‎ 综上所述，实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的相关性质，通过函数的单调性确定函数的极值是解决本题的关键，考查通过导数确定函数单调性，考查推理能力，是简单题．‎ ‎15.已知函数是定义在上的奇函数，，，则不等式的解集是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，因为，所以，所以h（x）在区间，因为，所以h（1）=0.令h（x）>0，因为x>0,所以，得x>1．等价于，因为函数是定义在上的奇函数，所以-11.‎ 考点：奇函数、导函数与单调性、不等式与函数图像的关系 ‎16.一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）‎ ‎○●○○●○○○●○○○○●……,若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中有实心圆的个数为______.‎ ‎【答案】61‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将这些圆分段处理, 第一段2个圆，第二段3个圆，第三段4个圆,……,然后利用等差数列的前项和公式计算前段和前段的和,可知答案.‎ ‎【详解】解：将这些圆分段处理，第一段2个圆，第二段3个圆，第三段4个圆，……，‎ 可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2006个圆中实心圆的个数，‎ 因此找到第2006个圆所在的段数很重要，‎ 因为，‎ 而，‎ 因此,前2006个圆中共有61个实心圆，‎ 故答案为:61.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的前项和的公式,属于基础题.‎ 三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题须写出演算步骤.）‎ ‎17.已知复数，则当实数为何值时，复数是：‎ ‎（1）实数；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）对应的点在第三象限.‎ ‎【答案】（1）或（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)令虚部为0,可解得答案;(2)令实部为4,虚部为6,解方程组可得答案;(3)令实部,虚部都小于0,解不等式组可得答案.‎ ‎【详解】解：因为复数,‎ ‎(1)令,解得或，‎ 即或时，为实数；‎ ‎(2)令,解得；‎ 所以时,.‎ ‎(3)若所对应点在第三象限,则,‎ 解得,‎ 所以当时,复数对应的点在第三象限.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的有关概念,一元二次不等式的解法,属于基础题.‎ ‎18.已知函数，当时,取得极值5，且,求的单调区间和极小值.‎ ‎【答案】函数的单调增区间为和；单调减区间为，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后,根据,三个方程解方程组可得,可得和解析式,根据导数的符号得单调区间,从而可得极小值.‎ ‎【详解】解：∵函数,‎ 所以，‎ 因为当时,取得极值5，则有且，‎ 即有①且②，‎ 又因为，‎ 所以可得：③‎ 由①②③解得，，‎ 即，，‎ ‎∴由,得或；由,得.‎ ‎∴所以函数的单调增区间为和；单调减区间为.‎ 故函数在处取得极小值，且.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值,属于基础题.‎ ‎19.已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线平行于直线 ‎4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,‎ ‎⑴求P0的坐标;‎ ‎⑵若直线, 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用．以及直线方程的求解的综合运用．‎ 首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论．‎ 解：（1）由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，‎ 由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．‎ 当x=1时，y=0；‎ 当x=-1时，y=-4．‎ 又∵点P0在第三象限，‎ ‎∴切点P0的坐标为（-1，-4）；‎ ‎（2）∵直线 l⊥l1，l1的斜率为4，‎ ‎∴直线l的斜率为-1/ 4 ，‎ ‎∵l过切点P0，点P0的坐标为（-1，-4）‎ ‎∴直线l的方程为y+4=（x+1）即x+4y+17=0．‎ ‎20.已知x＝1是函数f（x）＝mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．‎ ‎（1）求m与n的关系表达式；‎ ‎（2）求f（x）的单调区间；‎ ‎（3）当x∈[﹣1，1]时，函数y＝f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）n＝3m+6．（2）f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（3）m＜0．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出f′（x），因为x＝1是函数的极值点，所以得到f'（1）＝0求出m与n的关系式；‎ ‎（2）令f′（x）＝0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；‎ ‎（3）由题意知f′（x）＞3m，分x＝1和x≠1，当x≠1时g（t）＝t，求出g（t ‎）的最小值．要使（x﹣1）恒成立即要g（t）的最小值，解出不等式的解集求出m的范围．‎ ‎【详解】（1）f′（x）＝3mx2﹣6（m+1）x+n．‎ 因为x＝1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）＝0，即3m﹣6（m+1）+n＝0．‎ 所以n＝3m+6．‎ ‎（2）由（1）知f′（x）＝3mx2﹣6（m+1）x+3m+6＝3m（x﹣1）[x﹣（1）]‎ 当m＜0时，有1＞1，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：‎ x ‎（﹣∞，1）‎ ‎1‎ ‎（1，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f′（x）‎ ‎＜0‎ ‎0‎ ‎＞0‎ ‎0‎ ‎＜0‎ f（x）‎ 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．‎ ‎（3）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1）]＞3m，‎ ‎∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1）]＜1．（*）‎ ‎①x＝1时．（*）式化为0＜1恒成立．‎ ‎∴m＜0．‎ ‎②x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．‎ ‎（*）式化为（x﹣1）．‎ 令t＝x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）＝t，‎ 则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min＝g（﹣2）＝﹣2．‎ 由（*）式恒成立，必有⇒m，又m＜0．∴m＜0．‎ 综上①②知m＜0．‎ ‎【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式的方法及导数的几何意义，利用导数研究函数极值和单调性的方法，考查了利用导数研究不等式恒成立的条件，属于中档题．‎ ‎21.求由抛物线与它在点A（0，－3）和点B(3，0)的切线所围成的区域的面积。‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】先求切线斜率，再由切线方程求交点，积分.‎ 解：因为 ‎22.已知函数f(x)=-ln(x+m).‎ ‎(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；‎ ‎（2）当m≤2时，证明f(x)>0.‎ ‎【答案】(1)在上是减函数；在上是增函数（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)．‎ 由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1．‎ 于是f(x)=ex－ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．‎ 函数在(－1，+∞)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x∈(－1，0)时， f '(x)<0;当x∈(0，+∞)时， f '(x)>0．‎ 所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．‎ ‎(2)当m≤2，x∈(－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>0．‎ 当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增．‎ 又f '(－1)<0， f '(0)>0，故f '(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根，且．‎ 当时， f '(x)<0;当时， f '(x)>0，从而当时，f(x)取得最小值．‎ 由f '(x0)=0得=，，‎ 故．‎ 综上，当m≤2时， f(x)>0．‎ ‎ ‎