2015届高三一轮理科数学《三年经典双基测验》22
一．单项选择题。（本部分共5道选择题）
1．已知p：x2－2x－3≥0，q：x∈Z.若p且q，非q同时为假命题，则满足条件的x的集合为( )
A．{x|x≤－1或x≥3，x∉Z}
B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}
C．{x|x＜－1或x>3，x∉Z}
D．{x|－1＜x＜3，x∈Z}
解析 p：x≥3或x≤－1，q：x∈Z，则由p且q，非q同时为假命题知，p假q真，所以x满足－1
0，即8x－>0，解得x>，[来源:学,科,网]
∴函数y＝4x2＋在上递增．[来源:学_科_网]
答案 B
4．将函数y＝f(x)·sin x的图像向右平移个单位后，再作关于x轴对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图像，则f(x)可以是( )．
A．sin x B．cos x C．2sin x D．2cos x[来源:Z&xx&k.Com]
解析 运用逆变换方法：作y＝1－2sin2x＝cos 2x的图像关于x轴的对称图像得y＝－cos 2x＝－sin 2的图像，再向左平移个单位得y＝f(x)·sin x＝－sin 2＝sin 2x＝2sin xcos x的图像．∴f(x)＝2cos x.
答案 D
5．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是( )．
A．0 B．1 C．2 D．4
解析 由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0，则＝≥＝4，当且仅当x＝y时取等号．
答案 D网]
二．填空题。（本部分共2道填空题）
1．已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值是________．
解析 (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，[来源:学科网ZXXK]
又∵＜α＜，sin α＞cos α.∴cos α－sin α＝－.
答案 －
12．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)()n，则当an取得最大值时，n等于________．
解析：由题意知
∴∴∴n＝5或6.
答案：5或6
三．解答题。（本部分共1道解答题）
是否存在常数a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．
解析 假设存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立．
当n＝1时，a(b＋c)＝1；
当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；[来源:学科网]
当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.
解方程组解得
证明如下：
①当n＝1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)；
当n＝k＋1时，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12
＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2
＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2
＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2
＝(k＋1)(2k2＋4k＋3)
＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]．
即n＝k＋1时，等式成立．
因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N*都成立．
