2019-2020学年四川省双流中学高二上学期入学考试数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年四川省双流中学高二上学期入学考试数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省双流中学高二上学期入学考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知a>b, c>d，则下列不等式中恒成立的是（ ）‎ A．a+d>b+c B．ac>bd C． D．d-a< c-b ‎【答案】D ‎【解析】利用不等式的性质判断即可.‎ ‎【详解】‎ 取，，‎ 则，，故A错.‎ 又，故B错.‎ 取，，则，，故C错. ‎ 当时，，故即，故D正确，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考察不等式的性质，属于基础题.‎ ‎2．直线的倾斜角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3．已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先利用韦达定理得到关于a,b的方程组，解方程组即得a,b的值，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以a+b=7.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．等比数列的前项和为，已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等比数列的公比为，根据条件求出的值，再利用可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 设等比数列的公比为，由，得，，‎ 所以，，因此，，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列中的相关计算，对于等比数列的问题，一般建立首项和公比的方程组，利用方程思想进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎5．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）‎ A．20＋3π B．24＋3π C．20＋4π D．24＋4π ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，‎ 下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体，‎ 故该几何体的表面积是20＋3π，‎ 故选A.‎ ‎【考点】1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.‎ ‎6．已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用诱导公式得出，再将该等式平方并结合二倍角的正弦公式可求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，由诱导公式得，‎ 将该等式两边平方得，即，因此，，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式和二倍角公式的应用，在涉及的求值问题，一般将等式平方进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎7．已知直线，直线，若，则直线与的距离为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用直线平行的性质解得，再由两平行线间的距离求解即可 ‎【详解】‎ ‎∵直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：8x+ay+2﹣a＝0，l1∥l2，‎ ‎∴，且 解得a＝﹣4．‎ 所以直线l1：4x-2y+1＝0，直线l2：4x-2y+3＝0，‎ 故与的距离为 ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用．‎ ‎8．在中，角对应的边分别是，已知，的面积为，则外接圆的直径为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三角形面积公式求得；利用余弦定理求得；根据正弦定理求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：，解得：‎ 由余弦定理得： ‎ 由正弦定理得外接圆的直径为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用问题，考查学生对于基础公式和定理的掌握情况.‎ ‎9．若变量，满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由， 由 ，当最大时， 最小，此时 最小，，故选C. ‎ ‎【点睛】本题除了做约束条件的可行域再平移 求得正解这种常规解法之外，也可以采用构造法解题，这就要求考生要有较强的观察能力，或者采用设元求出构造所学的系数.‎ ‎10．设是等差数列.下列结论中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 先分析四个答案，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，‎ D选项，故D错，‎ 下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，‎ 故选C.‎ ‎【考点】本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.‎ ‎11．在中，角的对边分别为，且面积为.若，，则角等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先利用正弦定理进行边角互化，得到A，再根据三角形的面积公式和余弦定理，结合特殊角的三角函数值可求得B的值；‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，即.‎ 又，，∴，即.‎ ‎∵，由余弦定理知，‎ ‎∴，∴，又，∴，‎ ‎∴.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦、余弦定理的应用，考查了三角形的面积公式的应用，是中档题．‎ ‎12．如图，正方体的棱长为1，动点E在线段上, F，M分别是AD，CD的中点, 则下列结论中错误的是( )‎ A．‎ B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．存在点E，使得平面BEF//平面 ‎【答案】D ‎【解析】根据空间中的平行与垂直关系，和三棱锥的体积公式，对选项中的命题判断其真假性即可．‎ ‎【详解】‎ 对于A，连接AC，易知：故，正确；‎ 对于B，易知： ，‎ ‎,故平面，正确；‎ 对于C，三棱锥的体积等于三棱锥的体积,此时E点到平面BCF的距离为1，底面积为，故体积为定值，正确；‎ 对于D,BF与CD相交，即平面BEF与平面始终有公共点，故二者相交，错误；‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了空间中的线面位置关系的判断和棱锥的体积计算问题，涉及到三棱锥的体积为定值问题，要考虑到动点（棱锥的顶点）在直线上，而直线与平面（棱锥的底面）平行，这样不论动点怎样移动，棱锥的高都不变，底面积为定值，高为定值，体积就是定值，考查学生的空间想象能力，是综合题．‎ 二、填空题 ‎13．经过直线，的交点且垂直于直线的直线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出直线与的交点坐标，并设所求直线方程为，将交点坐标代入直线方程得出的值，即可得出所求直线的方程.‎ ‎【详解】‎ 联立直线与的方程，解得，所以，直线与的交点坐标为，‎ 设所求直线的方程为，‎ 将点的坐标代入直线方程得，解得.‎ 因此，所求直线的方程为，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的求解，同时也考查了两直线交点坐标的计算，在求直线方程时，要确定直线的斜率和所过的点是关键，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎14．已知，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将角表示为，然后利用两角差的正切公式可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角差的正切公式计算正切值，解题时要将所求角利用已知角进行表示，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎15．已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先证明出平面，计算出、的长度，求出的外接圆直径，再利用公式求出四棱锥的外接球半径，然后利用球体表面积公式可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 如下图所示：‎ 四边形是正方形，，‎ 平面平面，平面平面，平面，‎ 平面，所以，四棱锥的外接球与三棱锥的外接球是同一个球，所以外接球的球心在BD的中点处，‎ 是等腰直角三角形，则该三角形的外接圆直径为，‎ 由于四边形为正方形，则，‎ 设四棱锥的外接球半径为，则，则.‎ 因此，四棱锥的外接球表面积为，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四棱锥外接球表面积的计算，解题的关键就是从题中得出线面垂直关系，找到球心位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎16．已知、、是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数、满足，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，利用、、三点共线得出，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 由于、、是直线上三个相异的点，所以，‎ 又，，由基本不等式得 ‎，当且仅当时，等号成立，‎ 因此，的最小值为，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了三点共线等价条件的应用，解题时要对代数式进行合理配凑，并充分利用定值条件进行求解，考查计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题 ‎17．正方体的棱长为1，E为线段上的一点, ‎ ‎（Ⅰ）求正方体的内切球的半径与外接球的半径；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线，由此能求出正方体的内切球的半径与外接球的半径；（2）由，利用棱锥的体积公式能求出三棱锥的体积.‎ 详解：正方体的内切球的直径为正方体的棱长，‎ 外接球的直径为正方体的对角线，‎ 正方体的内切球的半径为，‎ 外接球的半径为.‎ ‎（2）正方体的棱长为，为线段上一点，‎ ‎，‎ 到平面的距离，‎ 三棱锥的体积：‎ ‎. ‎ 点睛：本题主要考查正方体的内切球和外接球的半径的求法，考查利用“等积变换”求三棱锥的体积，是中档题，解题时要认真审题，注意空间想象能力的培养.‎ ‎18．设直线的方程为．‎ ‎（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；‎ ‎（2）若不经过第二象限，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】（1）分别求出横截距与纵截距，令其相等即可解出a的值，代入方程即可得到直线方程；‎ ‎（2）由于不过第二象限所以斜率大于等于0，纵截距小于等于0，由题意列不等式组即可求得参数范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令方程横截距与纵截距相等：，解得：或0，‎ 代入直线方程即可求得方程：，；‎ ‎（2）由l的方程为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，‎ 当且仅当解得a≤－1，故所求的a的取值范围为(－∞，－1]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的系数与直线的位置关系，纵截距决定直线与y轴的交点，斜率决定直线的倾斜程度，解题时注意斜率与截距等于0的特殊情况，需要分别讨论，避免漏解.‎ ‎19．已知数列的前n项和为，且，记.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）由，得，两式 相减得，即，经验证时也成立；（2）‎ ‎，利用裂项相消法求和即可得结果.‎ 试题解析：（1）当时，，则，‎ 当时，由，得，‎ 相减得，即，经验证时也成立，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2），‎ 所以数列的前项和为：‎ ‎.‎ ‎【方法点晴】‎ 本题主要考查等差数列的通项与求和公式之间的关系，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：‎ ‎(1)；（2） ； ‎ ‎（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎20．已知在图1所示的梯形中，，于点，且.将梯形沿对折，使平面平面，如图2所示，连接，取的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，试确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）存在，且当点为的中点时，平面；（3）.‎ ‎【解析】（1）取的中点，根据等腰三角形性质得.再根据面面垂直性质定理得平面，即得，利用线面垂直判定定理得平面.由平几知识得四边形是平行四边形.即.从而可得平面.最后根据面面垂直判定定理得结论.（2）先判断点位置，再利用线面平行判定定理证明，(3)先根据面面垂直性质定理得线面垂直，即得锥体的高，再根据等积法以及锥体体积公式求结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）取的中点，连接，.‎ 因为，所以.‎ 因为平面平面，，平面平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以.‎ 又，所以平面.①‎ 因为，，‎ 所以，.‎ 因为，，所以，所以四边形是平行四边形.‎ 所以.②‎ 由①②，得平面.‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）当点为的中点时，平面.‎ 证明：连接，.‎ 由为线段的中点，为线段的中点，‎ 得.‎ 又平面，平面.‎ 所以平面.‎ ‎（3）因为，所以到平面的距离等于点到平面的距离.‎ 取的中点，连接，‎ 则，且.‎ 因为平面平面，，平面平面，‎ 所以平面，所以平面.‎ 所以 .‎ ‎【点睛】‎ 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎21．在中，角所对的边为，且满足 ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若且，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）利用升幂公式及两角和与差的余弦公式化简已知等式，可得，从而得，注意两解；‎ ‎（2）由，得，利用正弦定理得，从而可变为，利用三角形的内角和把此式化为一个角的函数，再由两角和与差的正弦公式化为一个三角函数形式，由的范围（）结合正弦函数性质可得取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知，‎ 得，化简得，故或；‎ ‎（2）∵，∴，由正弦定理，得，‎ 故 ，‎ ‎∵，所以，， ∴．‎ ‎22．已知数列中，，前项的和为，且满足数列是公差为的等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据题意求出数列的通项公式，可解出，从而得出数列的通项公式；‎ ‎（2）将数列的通项公式裂项，利用裂项法求出，由得出，然后利用定义法判断出数列的单调性，求出数列的最小项，从而得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，又因为数列是公差为的等差数列，‎ 所以，即；‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ 于是，即为，‎ 整理可得.‎ 设，则.‎ 令，解得，，‎ 所以，，‎ 故数列的最大项的值为，故，‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法以及数列不等式恒成立求参数，解题时利用参变量分离法转化为新数列的最值问题求解，同时也考查利用定义法判断数列的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎