- 2021-06-30 发布 |
- 37.5 KB |
- 15页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
数学理卷·2018届山东省邹平双语学校二区高三上学期第一次月考(2017
邹平双语学校2017—2018第一学期第一次月考试题 (1、2区) 高三 年级 数学(理科)试题 (时间:120分钟,分值:150分) 一.选择题(每题5分,共12小题) 1.设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=( ) A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,3,4} 2.已知cosα=﹣,α是第三象限的角,则sinα=( ) A.﹣ B. C.﹣ D. 3.命题p:“∃x0∈R“,x02﹣1≤0的否定¬p为( ) A.∀x∈R,x2﹣1≤0 B.∀x∈R,x2﹣1>0 C.∃x0∈R,x02﹣1>0 D.∃x0∈R,x02﹣1<0 4.函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为( ) A. B. C.π D.2π 5.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值和最小值的和为6,则a=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(a﹣1)+lg(b﹣1)的值( ) A.等于1 B.等于lg2 C.等于0 D.不是常数 7.已知函数f(x)=3x﹣()x,则f(x)( ) A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数 8.设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是( ) A.f(x)的一个周期为﹣2π B.y=f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在(,π)单调递减 9.已知函数f(x)=sinx﹣cosx,且f′(x)=2f(x),则tan2x的值是( ) A.﹣ B. C.﹣ D. 10.已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是( ) A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 11.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( ) A. B. C. D. 12.函数y=的部分图象大致为( ) A. B. C. D. 二.填空题(每题5分,共4小题) 13.已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为 . 14.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0的值为 . 15.函数f(x)=sin2x+cosx﹣(x∈[0,])的最大值是 . 16.A:x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根;B:x1+x2=﹣,则A是B的 条件. 三.解答题(共6小题,70分) 17.(10分))已知命题p:x∈A,且A={x|a﹣1<x<a+1},命题q:x∈B,且B={x|x2﹣4x+3≥0} (Ⅰ)若A∩B=∅,A∪B=R,求实数a的值; (Ⅱ)若p是q的充分条件,求实数a的取值范围. 18.(12分))已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx(x∈R). (Ⅰ)求f()的值. (Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. 19.(12分)已知直线l是曲线y=x3在点(1,1)处的切线, (1)求l的方程; (2)求直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积. 20.(12分))设函数f(x)=cos2x﹣ (Ⅰ)求f(x)的最小正周期及值域; (Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=,a=,b+c=3,求△ABC的面积. 21.(12分))某厂生产产品x件的总成本c(x)=1200+x3(万元),已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:p2=,生产100件这样的产品单价为50万元. (1)设产量为x件时,总利润为L(x)(万元),求L(x)的解析式; (2)产量x定为多少件时总利润L(x)(万元)最大?并求最大值(精确到1万元). 22.(12分))已知函数. (1)当a=1时,∃x0∈[1,e]使不等式f(x0)≤m,求实数m的取值范围; (2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方,求实数a的取值范围. 邹平双语学校2017—2018第一学期第一次月考试题 (1、2区) 高三 年级 数学(理科)试题答案 一.选择题(共12小题) 1.设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=( ) A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,3,4} 【分析】集合A={1,2,3},B={2,3,4},求A∪B,可并集的定义直接求出两集合的并集. 【解答】解:∵A={1,2,3},B={2,3,4}, ∴A∪B={1,2,3,4} 故选A. 【点评】本题考查并集及其运算,解题的关系是正确理解并集的定义及求并集的运算规则,是集合中的基本概念型题. 2.已知cosα=﹣,α是第三象限的角,则sinα=( ) A.﹣ B. C.﹣ D. 【分析】利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号,求得sinα的值. 【解答】解:∵cosα=﹣,α是第三象限的角,则sinα=﹣=﹣, 故选:C. 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号,属于基础题. 3.命题p:“∃x0∈R“,x02﹣1≤0的否定¬p为( ) A.∀x∈R,x2﹣1≤0 B.∀x∈R,x2﹣1>0 C.∃x0∈R,x02﹣1>0 D.∃x0∈R,x02﹣1<0 【分析】直接写出特称命题的否定得答案. 【解答】解:命题p:“∃x0∈R“,x0﹣1≤0为特称命题,其否定为全称命题, ∴¬p为∀x∈R,x2﹣1>0. 故选:B. 【点评】本题考查特称命题的否定,注意命题的否定的格式是关键,是基础题. 4.函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为( ) A. B. C.π D.2π 【分析】利用辅助角公式,化简函数的解析式,进而根据ω值,可得函数的周期. 【解答】解:∵函数y=sin2x+cos2x=2sin(2x+), ∵ω=2, ∴T=π, 故选:C 【点评】本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法,难度不大,属于基础题. 5.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值和最小值的和为6,则a=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【分析】根据指数函数的单调性在定义域是要么递增,要么递减,即看求解. 【解答】解:根据指数函数的性质: 当x=1时,f(x)取得最大值,那么x=2取得最小值, 或者x=1时,f(x)取得最小值,那么x=2取得最大值. ∴a+a2=6. ∵a>0,a≠1, ∴a=2. 故选:A. 【点评】本题考查了指数函数的性质的运用,属于基础题. 6.若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(a﹣1)+lg(b﹣1)的值( ) A.等于1 B.等于lg2 C.等于0 D.不是常数 【分析】由lg(a+b)=lga+lgb,知lg(a+b)=lg(ab)=lga+lgb,所以a+b=ab,由此能求出lg(a﹣1)+lg(b﹣1)的值. 【解答】解:∵lg(a+b)=lga+lgb, ∴lg(a+b)=lg(ab)=lga+lgb, ∴a+b=ab,∴lg(a﹣1)+lg(b﹣1) =lg[(a﹣1)×(b﹣1)] =lg(ab﹣a﹣b+1) =lg[ab﹣(a+b)+1]=lg(ab﹣ab+1) =lg1 =0. 故选C. 【点评】本题考查对数的运算法则,解题时要认真审题,仔细解答. 7.已知函数f(x)=3x﹣()x,则f(x)( ) A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数 【分析】由已知得f(﹣x)=﹣f(x),即函数f(x)为奇函数,由函数y=3x为增函数,y=()x为减函数,结合“增”﹣“减”=“增”可得答案. 【解答】解:f(x)=3x﹣()x=3x﹣3﹣x, ∴f(﹣x)=3﹣x﹣3x=﹣f(x), 即函数f(x)为奇函数, 又由函数y=3x为增函数,y=()x为减函数, 故函数f(x)=3x﹣()x为增函数, 故选:A. 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数的单调性,是函数图象和性质的综合应用,难度不大,属于基础题. 8.设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是( ) A.f(x)的一个周期为﹣2π B.y=f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在(,π)单调递减 【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可. 【解答】解:A.函数的周期为2kπ,当k=﹣1时,周期T=﹣2π,故A正确, B.当x=时,cos(x+)=cos(+)=cos=cos3π=﹣1为最小值,此时y=f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确, C当x=时,f(+π)=cos(+π+)=cos=0,则f(x+π)的一个零点为x=,故C正确, D.当<x<π时,<x+<,此时函数f(x)不是单调函数,故D错误, 故选:D 【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断,根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键. 9.已知函数f(x)=sinx﹣cosx,且f′(x)=2f(x),则tan2x的值是( ) A.﹣ B. C.﹣ D. 【分析】求出f(x)的导函数,根据f′(x)=2f(x)列出关系式,计算即可求出tan2x的值. 【解答】解:求导得:f′(x)=cosx+sinx, ∵f′(x)=2f(x), ∴cosx+sinx=2(sinx﹣cosx),即3cosx=sinx, ∴tanx=3, 则tan2x===﹣. 故选C 【点评】此题考查了三角函数的化简求值,以及导数的运算,熟练掌握求导公式是解本题的关键. 10.已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是( ) A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可. 【解答】解:把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=cos2x图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y=cos2(x+)=cos(2x+)=sin(2x+)的图象,即曲线C2, 故选:D. 【点评】本题考查三角函数的图象变换,诱导公式的应用,考查计算能力. 11.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( ) A. B. C. D. 【分析】根据导数与函数单调性的关系,当f′(x)<0时,函数f(x)单调递减,当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,根据函数图象,即可判断函数的单调性,然后根据函数极值的判断,即可判断函数极值的位置,即可求得函数y=f(x)的图象可能 【解答】解:由当f′(x)<0时,函数f(x)单调递减,当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增, 则由导函数y=f′(x)的图象可知:f(x)先单调递减,再单调递增,然后单调递减,最后单调递增,排除A,C, 且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧,排除B, 故选D 【点评】本题考查导数的应用,考查导数与函数单调性的关系,考查函数极值的判断,考查数形结合思想,属于基础题. 12.函数y=的部分图象大致为( ) A. B. C D. 【分析】判断函数的奇偶性排除选项,利用特殊值判断即可. 【解答】解:函数y=, 可知函数是奇函数,排除选项B, 当x=时,f()==,排除A, x=π时,f(π)=0,排除D. 故选:C. 【点评】本题考查函数的图形的判断,三角函数化简,函数的奇偶性以及函数的特殊点是判断函数的图象的常用方法. 二.填空题(共4小题) 13.已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为 1 . 【分析】利用交集定义直接求解. 【解答】解:∵集合A={1,2},B={a,a2+3}.A∩B={1}, ∴a=1或a2+3=1, 解得a=1. 故答案为:1. 【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义及性质的合理运用. 14.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0的值为 e . 【分析】先根据乘积函数的导数公式求出函数f(x)的导数,然后将x0代入建立方程,解之即可. 【解答】解:f(x)=xlnx ∴f'(x)=lnx+1 则f′(x0)=lnx0+1=2 解得:x0=e 故答案为:e 【点评】本题主要考查了导数的运算,以及乘积函数的导数公式的运用,属于基础题之列. 15.函数f(x)=sin2x+cosx﹣(x∈[0,])的最大值是 1 . 【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出. 【解答】解:f(x)=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣, 令cosx=t且t∈[0,1], 则y=﹣t2+t+=﹣(t﹣)2+1, 当t=时,f(t)max=1, 即f(x)的最大值为1, 故答案为:1 【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质,属于基础题 16.A:x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根;B:x1+x2=﹣,则A是B的 充分 条件. 【分析】A⇒B验证充分性x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根,可推出x1+x2=﹣,而必要性不一定成立,故得是充分条件 【解答】解:由题意若x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根,由根与系数的关系一定可以得出x1+x2=﹣,故A⇒B成立; 若x1+x2=﹣,成立,不能得出x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根,因为此方程有根与否要用判断式进行判断,须考虑a,b,c三个字母,故B⇒A不一定成立; 故可得,A是B的充分条件 故答案为充分 【点评】 本题考查必要条件充分条件充要条件的判断,求解的关键是正确理解充分条件与必要条件的定义,以及二次方程有根的条件. 三.解答题(共6小题) 17.已知命题p:x∈A,且A={x|a﹣1<x<a+1},命题q:x∈B,且B={x|x2﹣4x+3≥0} (Ⅰ)若A∩B=∅,A∪B=R,求实数a的值; (Ⅱ)若p是q的充分条件,求实数a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)把集合B化简后,由A∩B=∅,A∪B=R,借助于数轴列方程组可解a的值; (Ⅱ)把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系,运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1,或x≥3},A={x|a﹣1<x<a+1}, 由A∩B=∅,A∪B=R,得,得a=2, 所以满足A∩B=∅,A∪B=R的实数a的值为2; (Ⅱ)因p是q的充分条件,所以A⊆B,且A≠∅,所以结合数轴可知, a+1≤1或a﹣1≥3,解得a≤0,或a≥4, 所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是(﹣∞,0]∪[4,+∞). 【点评】本题考查了充分条件,考查了集合关系的参数取值问题,集合关系的参数取值问题要转化为两集合端点值的大小比较,是易错题. 18.已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx(x∈R). (Ⅰ)求f()的值. (Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式, (Ⅰ)代入可得:f()的值. (Ⅱ)根据正弦型函数的图象和性质,可得f(x)的最小正周期及单调递增区间 【解答】解:∵函数f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin(2x+) (Ⅰ)f()=2sin(2×+)=2sin=2, (Ⅱ)∵ω=2,故T=π, 即f(x)的最小正周期为π, 由2x+∈[﹣+2kπ,+2kπ],k∈Z得: x∈[﹣+kπ,﹣+kπ],k∈Z, 故f(x)的单调递增区间为[﹣+kπ,﹣+kπ]或写成[kπ+,kπ+],k∈Z. 【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值,三角函数的周期性,三角函数的单调区间,难度中档. 19.已知直线l是曲线y=x3在点(1,1)处的切线, (1)求l的方程; (2)求直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积. 【分析】(1)求出导数,求出切线的斜率,由点斜式方程,即可得到曲线在点P(1,1)处的切线方程; (2)y=0时,x=;x=2时,y=4,即可求直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积. 【解答】解:(1)y=x3的导数为y′=3x2,则曲线在点P(1,1)处的切线斜率为3,即有曲线在点P(1,1)处的切线方程为y﹣1=3(x﹣1),即3x﹣y﹣2=0; (2)y=0时,x=;x=2时,y=4, ∴直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为=. 【点评】本题考查导数的几何意义:曲线在该点处的切线的斜率,考查直线方程的求法,考查运算能力,属于基础题. 20.设函数f(x)=cos2x﹣ (Ⅰ)求f(x)的最小正周期及值域; (Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=,a=,b+c=3,求△ABC的面积. 【分析】(Ⅰ)化简可得f(x)=,从而可求最小正周期及值域; (Ⅱ)由已知得,又A∈(0,π),得,由余弦定理得a2=(b+c)2﹣3bc,又,b+c=3,可解得bc=2,从而可求△ABC的面积. 【解答】解:(Ⅰ) =,…(3分) 所以f(x)的最小正周期为T=π,…(4分) ∵x∈R∴,故f(x)的值域为[0,2],…(6分) (Ⅱ)由,得,又A∈(0,π),得,…(9分) 在△ABC中,由余弦定理,得=(b+c)2﹣3bc,又,b+c=3,所以3=9﹣3bc,解得bc=2,…(12分) 所以,△ABC的面积…(14分) 【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角函数中的恒等变换应用,属于基本知识的考查. 21.某厂生产产品x件的总成本c(x)=1200+x3(万元),已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:p2=,生产100件这样的产品单价为50万元. (1)设产量为x件时,总利润为L(x)(万元),求L(x)的解析式; (2)产量x定为多少件时总利润L(x)(万元)最大?并求最大值(精确到1万元). 【分析】(1)由题可知生产100件这样的产品单价为50万元,所以把x=100,P=50代入到p2=中求出k的值确定出P的解析式,然后根据总利润=总销售额﹣总成本得出L(x)即可; (2)令L′(x)=0求出x的值,此时总利润最大,最大利润为L(25). 【解答】解:(1)由题意有,解得k=25×104,∴, ∴总利润=; (2)由(1)得,令, 令,得,∴t=5,于是x=t2=25, 则x=25,所以当产量定为25时,总利润最大. 这时L(25)≈﹣416.7+2500﹣1200≈883. 答:产量x定为25件时总利润L(x)最大,约为883万元. 【点评】考查学生根据实际问题选择函数关系的能力,及利用导数求函数最值的方法的能力. 22.已知函数. (1)当a=1时,∃x0∈[1,e]使不等式f(x0)≤m,求实数m的取值范围; (2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方,求实数a的取值范围. 【分析】(I)将a的值代入f(x),求出f(x)的导函数;,将∃x0∈[1,e]使不等式f(x0)≤m转化为f(x)的最小值小于等于m,利用[1,e]上的函数递增,求出f(x)的最小值,令最小值小于等于m即可. (II)将图象的位置关系转化为不等式恒成立;通过构造函数,对新函数求导,对导函数的根与区间的关系进行讨论,求出新函数的最值,求出a的范围. 【解答】解:(I)当a=1时,, 可知当x∈[1,e]时f(x)为增函数, 最小值为, 要使∃x0∈[1,e]使不等式f(x0)≤m,即f(x)的最小值小于等于m, 故实数m的取值范围是 (2)已知函数. 若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方, 等价于对任意x∈(1,+∞),f(x)<2ax, 即恒成立. 设. 即g(x)的最大值小于0. (1)当时,, ∴为减函数. ∴g(1)=﹣a﹣≤0 ∴a≥﹣ ∴ (2)a≥1时,. 为增函数, g(x)无最大值,即最大值可无穷大,故此时不满足条件. (3)当时,g(x)在上为减函数,在上为增函数, 同样最大值可无穷大,不满足题意.综上.实数a的取值范围是. 【点评】解决不等式恒成立及不等式有解问题一般都转化为函数的最值问题,通过导数求函数的最值,进一步求出参数的范围. 查看更多