【数学】江西省新余市第一中学2019-2020学年高二4月月考试题

【数学】江西省新余市第一中学2019-2020学年高二4月月考试题

参考答案 第I卷（选择题)‎ 一、单选题 ‎1．已知是虚数单位，，，则“”是“”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算性质，分别判断“” “”与“” “”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：当“”时，“”成立，‎ 故“”是“”的充分条件；‎ 当“”时，“”或“”，‎ 故“”是“”的不必要条件；‎ 综上所述，“”是“”的充分不必要条件；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．‎ ‎2．若，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 整理函数为，由三角函数求导公式得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，则 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查对函数求导，属于基础题.‎ ‎3．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.‎ ‎4．要得到函数的导函数的图像，只需将的图像（ ）‎ A．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍 C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍 D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 依题意，所以由向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.‎ ‎5．函数在定义域内的导函数为，若，‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，设，得函数g(x)在R上是增函数，再利用函数的单调性分析得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得 所以 所以，设，‎ 所以函数g(x)在R上是增函数，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的运算和性质，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6．函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据解析式求得导函数，并分离参数后结合定义域内函数的单调性即可求得的取值范围，进而由充分不必要条件的性质即可得解.‎ ‎【详解】‎ 函数，则，‎ 故在上恒成立，‎ 故，‎ 因为在上单调递增，‎ 故，‎ 结合选项可知，反之不成立，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，充分必要关系的判断及参数求法，属于中档题.‎ ‎7．已知函数在上不单调，则m的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，函数不单调，解得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 因为在上不单调，所以，故.‎ 故答案为A ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.‎ ‎8．函数的图象大致为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 函数的定义域为，排除选项A；‎ 当时，，且 ，故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，排除选项C；‎ 当时，函数，排除选项D，选项B正确．选B．‎ 点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；‎ ‎(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；‎ ‎(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．‎ ‎9．过抛物线上的焦点，作直线与抛物线交于，两点，已知，则（ ）‎ A．2 B．‎3 ‎C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，不仿设，由，求出直线的方程与抛物线方程联立可得坐标，结合抛物线定义可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，不仿设，因为，‎ 由抛物线的定义可知，等于到抛物线的准线的距离，‎ 即，‎ 直线：即为，‎ 与可得，，‎ 解得，，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.‎ ‎10．双曲线：的左、右焦点分别为，过作一条直线与两条渐近线分别相交于两点，若，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】‎ 如图所示，连接，又由，且为的中点，‎ 所以，‎ 因为，即，所以A为线段的中点，‎ 又由于为的中点，所以，所以，所以，‎ 又由直线OA与OB是双曲线的两条渐近线，则，‎ 所以，则，‎ 所以双曲线的离心率为，故选C.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答本题的关键在于将问题的几何要素进行合理转化，得到的关系式，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.‎ ‎11．设经过点的等轴双曲线的焦点为，，此双曲线上一点满足，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线方程为,代点入方程即可求出双曲线方程,从而得到,,再结合勾股定理即可求出,从而求出的面积.‎ ‎【详解】‎ 设等轴双曲线方程为,将点代入可得,‎ ‎∴双曲线标准方程为,‎ ‎∴,,‎ 又,所以 ‎∴,‎ 即,‎ ‎∴,‎ ‎∴的面积为,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的标椎方程及其基本性质的应用,需要学生具备一定的计算推理能力.‎ ‎12．在棱长为的正方体中，点在底面内运动，使得△的面积为，则动点的轨迹为（ ）‎ A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．一段圆弧 D．一条线段 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析可知动点到弦的距离为定值,再分析所有动点的轨迹与面的交线形状即可.‎ ‎【详解】‎ 易得,又的面积为,设到弦的距离为,则为定值.故点在以为中轴线,底面半径为的圆柱的侧面上.‎ 故动点的轨迹是平面截该圆柱所得的截痕,因为平面不垂直于,且该平面与圆柱的截痕为封闭图形,故平面与该圆柱的截痕为椭圆,又点在底面内运动,故截痕是椭圆的一部分.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中动点的轨迹问题,需要根据题意求得动点的所有轨迹,再分析与平面的截痕,属于基础题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．点是曲线（）图象上的一个定点，过点的切线方程为，则实数k的值为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得．‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 由题意，∴，，，即，‎ ‎∴，．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值．本题属于基础题．‎ ‎14．下列说法中正确的序号是__________．‎ ‎①若，其中， ，则必有 ‎②‎ ‎③虚数上的点表示的数都是纯虚数 ‎④若一个数是实数，则其虚部不存在 ‎⑤若，则对应的点在复平面内的第一象限．‎ ‎【答案】⑤ ‎ ‎【解析】①若,其中令，则必有 ‎，不是，所以①不正确；②，不正确，复数不能比较大小；③虚数上的点表示的数都是纯虚数，必须除去原点，所以③不正确；④若一个数是实数，则其虚部不存在，不正确，虚部为，不是不存在；⑤若，‎ 则， 对应的点在复平面内的第一象限，⑤正确.故答案为⑤.‎ ‎15．已知函数的极小值点为，则的图像上的点到直线的最短距离为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，可得，当时，，当时，，根据函数的极小值点为，结合已知，即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ 当时，‎ 函数的极小值点为 作直线与函数的图象相切 设切点坐标为 切点到直线的距离为 而图象的最低点到直线的距离为：‎ 的图象上的点到直线的最短距离为切点到直线的距离，等于 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求直线到曲线的最短距离，解题关键是掌握根据导数求极点的方法和求曲线到直线最短距离方法，考查了分析能力和计算能力，属于难题．‎ ‎16．点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图， 是切点， 是的中点，因为，所以，又，所以， ，又，根据双曲线的定义，有，即，两边平方并化简得，所以，因此.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）按进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为在时恒成立，按和分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的的范围，再取交集，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，等价于 或或，‎ 解得或或，‎ 所以不等式的解集为：.‎ ‎（2）依题意即在时恒成立，‎ 当时，，即，‎ 所以对恒成立 ‎∴，得；‎ 当时，，‎ 即，‎ 所以对任意恒成立，‎ ‎∴，得∴，‎ 综上，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.‎ ‎18．如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且.‎ ‎（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的长度.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意可知：M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），则，得，代入，整理得：.‎ ‎（2）设直线方程为：，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=-8，弦长公式：丨AB丨=即可求得直线被C所截线段的长度．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设点的坐标为，点的坐标为，由已知得.‎ ‎∵在圆上，，‎ 即，整理得，即的方程为.‎ ‎（2）过点且斜率为的直线方程为，‎ 设直线与的交点为，，将直线方程代入的方程，‎ 得，即.‎ ‎∴x1+x2=3，x1•x2=-8∴线段的长度为 ‎.‎ ‎∴直线被所截线段的长度为.‎ ‎19．已知函数f（x）＝lnx+ax2+ax．‎ ‎（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y＝4x+1平行，求实数a的值；‎ ‎（2）若时，关于x的方程在（0，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．‎ ‎【答案】（1）a＝1．（2）[ln2﹣5，）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导后，进行求解；（2）分离参数通过画出新函数图象，根据直线和函数图象有两个交点求出实数b的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，f′（x）2ax+a，x＞0．‎ 根据题意，有f′（1）＝‎3a+1＝4，‎ 解得a＝1．‎ ‎（2）由题意，f（x）＝lnxx2x，‎ 则lnxx2xx+b，‎ 即b＝lnxx2x，‎ 令g（x）＝lnxx2x，x＞0．则 g′（x）x．‎ 令g′（x）＝0，解得x＝1，或x＝2；‎ 令g′（x）＞0，解得0＜x＜1，或x＞2；‎ 令g′（x）＜0，解得1＜x＜2．‎ ‎∴函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，‎ 在x＝1处取得极大值g（1），‎ 在x＝2处取得极小值g（2）＝ln2﹣5．‎ 故函数g（x）在（0，2]上大致图象如下：‎ 根据题意及图，可知 实数b的取值范围为：[ln2﹣5，）．‎ ‎【点睛】‎ 曲线在点处的导数值等于此点处切线方程的斜率，分离参数求解参数的取值范围，属于一般性题目.‎ ‎20．过函数的图象上一点作倾斜角互补的两条直线，分别与交与异于的，两点.‎ ‎（1）求证：直线的斜率为定值；‎ ‎（2）如果，两点的横坐标均不大于0，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意易知直线的斜率存在且不为0，则可表示出的直线方程，与联立求得的坐标，同理可得的坐标，进而求得的斜率；‎ ‎（2）设出直线的方程与联立消去，利用判别式大于0求得 的范围，进而表示出三角形的面积为，利用换元法令，利用导数判断单调性确定面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意易知直线的斜率存在且不为0，‎ 可设直线方程为，即，‎ 由于两直线倾斜角互补，故直线的方程为，‎ 设，，‎ 由得，‎ ‎∵，即，则，‎ 即，同理可得，‎ ‎∴的斜率为，‎ 即直线的斜率为定值.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 由得，‎ 由得，‎ 又A、B的横坐标不大于零，‎ ‎∴，，则，‎ ‎，‎ 于是，点到直线的距离，‎ 则的面积，‎ 令，，，‎ ‎∴，‎ 令，，‎ 求导可得在上恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，则最大值为，‎ 故面积的最大值为6.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎21．如图，已知是椭圆的左、右焦点，椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点（不过点 ‎），且的周长的最大值为8.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若过焦点，在椭圆上取两点，连接，与轴的交点分别为，过点作椭圆的切线，当四边形为菱形时，证明：直线.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据短轴长求得，由周长最小值可求得，进而得椭圆的标准方程.‎ ‎（2）设，，，，求得过点的切线的方程，确定其斜率；而当四边形为菱形时，设直线和的方程，联立椭圆后由韦达定理表示出.由斜率公式表示出直线的斜率，即可证明直线.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得，‎ 的周长，‎ 当且仅当经过点时，等号成立，‎ 故，即，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）证明：不妨设，，，，‎ 根据点斜式，可设过Q的切线方程为，‎ 则，化简可得，‎ 因为相切，所以，‎ 化简可得，‎ 解得，‎ 由题意可知，的斜率均存在，‎ 故当四边形为菱形时.‎ 设直线，‎ 联立化简得.‎ 由韦达定理有，则，‎ 同理可得，，‎ 直线的斜率，‎ 代入化简得，‎ 所以，又因为两直线不可能重合，‎ 所以直线.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，韦达定理表示交点坐标关系，利用斜率关系证明两直线平行，属于中档题.‎ ‎22．已知：函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）若是的极值点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由若是的极值点，可得，对求导，‎ ‎，将代入就可求出；（Ⅱ）根据，进行讨论，首先讨论时，．故的单调增区间是；单调减区间是，再讨论时，令，得，或，再比较0与的大小关系，依次分，，，几种情况进行讨论，从而得到函数的单调区间．（Ⅲ）由（Ⅱ）知时，在上单调递增，由，知不合题意．当时，在的最大值是，由，知不合题意．‎ 当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意．本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查分类讨论思想在解题中应用．‎ 试题解析：（Ⅰ）．依题意，令，解得．‎ 经检验，时，符合题意．‎ ‎（Ⅱ）① 当时，．‎ 故的单调增区间是；单调减区间是．‎ ‎② 当时，令，得，或．‎ 当时，与的情况如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎↘ ‎ ‎ ‎ ‎↗ ‎ ‎ ‎ ‎↘ ‎ ‎ ‎ 所以，的单调增区间是；单调减区间是和 当时，的单调减区间是．‎ 当时，，与的情况如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎↘ ‎ ‎ ‎ ‎↗ ‎ ‎ ‎ ‎↘ ‎ ‎ ‎ 所以，的单调增区间是；单调减区间是和．‎ ‎③ 当时，的单调增区间是；单调减区间是．‎ 综上，当时，的增区间是，减区间是；‎ 当时，的增区间是，减区间是和；‎ 当时，的减区间是；‎ 当时，的增区间是；减区间是和．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知时，在上单调递增，由，知不合题意．‎ 当时，在的最大值是，‎ 由，知不合题意．‎ 当时，在单调递减，‎ 可得在上的最大值是，符合题意．‎ 所以，在上的最大值是时，的取值范围是．‎ 考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．利用导数研究函数的极值．‎