2020届广州市高三年级调研测试理科数学答案

2020届广州市高三年级调研测试理科数学答案

2020 届广州市高三年级调研测试理科数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C D A C B A D A B C D 13 4 25 14 135 15 6 16 10 6 1．答案：A 解析：阴影部分所表示的集合为{ | } {3,4}x x B x A  且 ． 2．答案：C 解析： 2(1 i) 2i 2i(1 i) 2i(1 i) 1 i1 i 1 i (1 i)(1 i) 2z                ， 其在复平面内对应的点为( 1, 1)  ，位于第三象限． 3．答案：D 解析： 1 031 1 12 2a             ， 2 4 4 4log 3 log 9 log 6 log 4 1b c      ， a c b   ． 4．答案：A 解析：作可行域为如图所示的 ABC△ ， 其中 (1,0), (2,3), (0, 2)A B C ， 则 1, 7, 6A B Cz z z     ， 所以 min 7Bz z   ． 5．答案：C 解析：设该生进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”社团分别为事件 A，B，C，则 1( ) , ( ) 3P A m P B  ， ( )P C n ，则 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ,3 24 8P ABC P A P B P C m n mn       ， 2 31 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 (1 ) (1 )3 4P ABC P A P B P C m n          ， 3(1 )(1 ) 8m n    ， 1 3(1 )(1 ) 1 ( ) 1 ( ) 8 8m n m n mn m n            ， 3 4m n   ． 6．答案：B 解析：打印的点分别为( 3,6), ( 2,5), ( 1,4), (0,3), (1,2), (2,1)   ， 其中位于圆 2 2 25x y  内的有( 1,4), (0,3), (1,2), (2,1) ，共 4 个． 7．答案：A 解析：知识点：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，所以 FD b ，又 OF c ， 由 1 2FD OF ，可知 1 2b c ，不妨设 1b  ，则 2, 3c a  ，离心率 2 2 3 33 ce a   ． 8．答案：D 解析：函数 ( )f x 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除选项 B， ( ) ln 0f    ，排除选 x y O A BC 2 1 1 π 2 πO 项 C，当 (0, )x  时， 1( ) ln sin , ( ) cosf x x x f x xx     ，令 ( ) 0f x  ，得 1 cos xx   ，作出函数 1y x 和 cosy x  在 (0, )x  内的图象，由图可知，有 1 个交点，所以方程 ( ) 0f x  在 (0, )x  有 一个根，所以函数 ( ) ln sinf x x x  在 (0, )x  上有 1 个极值点，排除 A，选 D． 9．答案：A 解析：     2 3 3 3 3AC AD AB BC AD AB AD BD AD AD AB AD AD                          ． 10．答案：B 解析：10 7 3,16 10 3 2, 28 10 3 4, 52 28 3 8,100 52 3 16              ， 以此类推， 8 9 10100 3 32 196, 196 3 64 388, 388 3 128 772a a a            ． 11．答案：C 解析：设 ( , )M x y ，则 M 的半径 1 1,2 2r y AO   ， 由于 MO AO ，所以 2 2 2MO AO AM  ， 即 2 2 2 1 1 4 2x y y       ，整理得： 2x y  ， 因为曲线 2x y  是以 10, 4P    为焦点的抛物线， 而 1 2AM r y   ， 1 4MP y   ，此时 1 4MA MP  为定值． 12．答案：D 解析：函数 ( )f x 有两条对称轴， 0x  和 4x  ，所以函数 ( )f x 是周期函数，最小正周期 8T  ， 区间[ 200, 200] 的长度为50T ，所以原不等式在一个周期上有 6 个整数解， 由对称性可知， 2 ( ) ( ) 0f x af x  在[0, 4] 上有 3 个整数解，当 [0, 4]x 时， 2( ) x f x xe  ， 21( ) 1 2 x f x x e      ，当 (0,2)x 时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递增，当 (2,4)x 时， ( ) 0, ( )f x f x  单 调递减，且 1 3 1 22 2(0) 0, (1) , (2) 2 , (3) 3 , (4) 4f f e f e f e f e       ， 由 2 ( ) ( ) 0f x af x  得 0x  或 x a  ， 3 1 2 3 (3) (4) 163 1, (3) (1), 4 1, (4) (1)(1) (1) f fe f f e f ff f e          ， 1 2 24e a e ≤- ． 所以 1 22 4e a e   ≤ ． P MB O A 13．答案： 4 25 解析： tan tan tan 1 44tan , 3tan 3 4 4 tan4 1 tan 31 tan tan 4                    ，解得 1tan 7  ， 1 7 8 4sin , cos , sin cos 255 2 5 2 5 2           ． 14．答案：135 解析：依题意可得 2 64, 6n n   ， 613x x     展开式中的常数项为 4 4 2 6 1(3 ) 135C x x       ． 15．答案：6 解析：设外接球半径为 R ，则 34 125 3 6R   ，解得 5 2R  ，底面正三角形外接圆的半径 2r  ，设三棱 锥的高为 h ，由 2 2 2( )h R r R   ，解得 4h  ，则其侧视图的面积为 1 3 4 62S    侧视图 ． 16．在 ABC△ 中，设角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，记 ABC△ 的面积为 S ，且 2 2 24 2a b c  ，则 2 S a 的最大值为 ． 16．答案： 10 6 解析：如图，过点 A 作 AD BC ，垂足为 D ，设 ,AD h BD x  ，则CD a x  ， 2 2 2 2 2 2( ) ,b h a x c h x     ， 2 2 2 2 2 2 24 2 ( ) 2 2a b c h a x h x       ， 2 2 2 2 22 10 3 3 9 a ah x ax a x            ， 当 3 ax  时， max 10 3h a ， 2 2 max 1 10 102 3 6 a aS a a       ． 17．解析：（1）设数列{ }na 的公差为 d ，因为数列{ }na 是单调递增的，所以 0d  ，所以 3 4a a ， 由 3 4 2 5 3 4 18 80 a a a a a a        ，得 3 4 8 10 a a    ，所以 4 3 2d a a   ， 1 3 2 4a a d   ， 1 ( 1) 4 2( 1) 2 2na a n d n n         ． （2） 2 3 2 2 1 2 32 2 2 2 2 4n n nb b b b       ① A BC cb h xa x D 当 2n≥ 时， 2 3 1 2 1 2 3 12 2 2 2 2 4n n nb b b b       ② ① ② ，得 2 2 2 2 2 22 2 2 4 2 2 3 2 , 3 2 ( 2)n n n n n n n n nb b n          ≥ ， 当 1n  时， 1 4 1 12 2 4 2 4 12, 6ab b       也满足上式， 3 2 ( )n nb n    N ． 所以数列{ }nb 是首项为 6，公比为 2 的等比数列， 16 (1 2 ) 3 2 61 2 n n nS       ． 18．解析：（1）在菱形 ABCD 中， BD AC ， 又因为平面 AEFC  平面 ABCD ，平面 AEFC  平面 ABCD AC ， BD  平面 ABCD ， BD  平面 AEFC ，又因为 BD  平面 BED ，所以平面 BED  平面 AEFC ． （2）因为平面 AEFC  平面 ABCD ，平面 AEFC  平面 ABCD AC ，AE  平面 AEFC ，AE AC ， AE  平面 ABCD ， 在直角梯形 AEFC 中， 2AC EF ，设 AC BD O ，连接OF ，则 AO EF  ， //OF EA ， OF  平面 ABCD ，在菱形 ABCD 中， 60ABC   ， ABC△ 为正三角形， 以下用两种方法进行计算， 方法一：向量法：已知 , ,OF OB OC 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ( 3,0,0), (0,1,0), (0,0, 2), ( 3,0,0)B C F D  ， ( 3,1,0), ( 3, 1,0), (0, 1,2)BC CD CF           ， 设平面 BCF 的法向量为 1 1 1( , , )m x y z  ， 则 1 1 1 1 3 0 2 0 m BC x y m CF y z                ，得 1 1 1 1 3 2 y x y z    ，取 1 2x  ，则 1 12 3, 3y z  ， (2, 2 3, 3)m   ． 设平面CDF 的法向量为 2 2 2( , , )n x y z ，则 2 2 2 2 2 22 2 3 0 3 22 0 n CD x y y x y zn CF y z                      ，取 2 2x  ，则 2 22 3, 3y z    ， (2, 2 3, 3)n    ． 4 12 3 11cos , 19 19 m nm n m n              ． 由图可知，二面角 B FC D  为钝角，所以二面角 B FC D  的余弦值为 11 19 ． A C B D E F O x y z A CB D E F O G 方法二：几何法： 由（1）知 BD  平面 AEFC ，所以 BD FC ， 设 AC BD O ，过点O 作OG FC ，垂足为G ，连接 ,BG CG ， 由 , ,FC BD FC OG BD OG O   ，得 FC  平面 BDG ， ,FC BG FC DG   ， BGD 即为二面角 B FC D  的平面角， 在 Rt FOC△ 中， 21, 2, 5, 5 OC OFOC OF CF OG CF       ， 在 Rt BOG△ 中， 2 2 4 193 5 5BG OB BG     ，同理， 19 5DG BG  ， 2 2 2 19 19 12 115 5cos 192 192 5 BG DG BDBGD BG DG         ． 故二面角 B FC D  的余弦值为 11 19 ． 19．解析：（1） (300,600]X Y  ， ( ) ( )g Y g X  ， 当 (300,400]X  时， ( ) ( ) ( ) ( ) (1800 4 ) (2100 3 ) 300 0f X g Y f X g X X X X          ， 当 (400,600]X  时， ( ) ( ) ( ) ( ) (1800 4 ) (2100 4 ) 300 0f X g Y f X g X X X          ． 所以当 (300,400]X  时， ( ) ( )f X g Y ，当 (400,600]X  时， ( ) ( )f X g Y ． （2）（i）送餐量 x 的分布列为： x 13 14 16 17 18 20 P 1 15 1 5 2 5 1 5 1 15 1 15 送餐量 y 的分布列为： y 11 13 14 15 16 18 P 2 15 1 6 2 5 1 10 1 6 1 30 则 1 1 2 1 1 1( ) 13 14 16 17 18 20 1615 5 5 5 15 15E x              ， 2 1 2 1 1 1( ) 11 13 14 15 16 18 1415 6 5 10 6 30E y              ． （ii） ( ) 30 ( ) 480 (300,600]E X E x   ， ( ) 30 ( ) 420 (400, )E Y E y    ， 所以 A 公司外卖配送员估计平均月薪为1800 4 ( ) 3720E X  （元）， B 公司外卖配送员估计平均月薪为 2100 4 ( ) 3780E Y  （元）， 所以小王应选择做 B 公司外卖配送员． 20．解析：（1）由题意可得 2 2 3 2 13 a c a ca c         ，所以椭圆方程为： 2 2 14 3 x y  ． （2）设直线 AB 的方程为 1x my  ，联立 2 2 1 14 3 x my x y     ，得： 2 2(3 4) 6 9 0m y my    ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2 1 22 2 6 9,3 4 3 4 my y y ym m      ， 如图， 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 3 18 13 3 ( ) 42 2 3 4AGBE AOB mS S OF y y y y y y m           △ ， 设 2 1, 1t m t  ≥ ，则 2 18 18 13 1 3 AGBE tS t t t    ， 在 [1, )t   上单调递减，所以当 1t  ，即 0m  时， 四边形 AGBE 的面积 AGBES 取得最大值 9 2 ． 21．解析：（1）函数 ( )f x 的定义域为(0, ) ，且 22( ) 2 1 ( 0)k x x kf x x xx x        ， 设 2( ) 2g x x x k   ， 1 8k   ， ①当 0 ≤ ，即 1 8k ≥ 时， ( ) 0f x ≥ 恒成立，此时 ( )f x 在(0, ) 上单调递增． ②当 0  ，即 1 8k  时，令 ( ) 0f x  ，得 1 2 1 1 8 1 1 8,4 4 k kx x     ， （i）当 0k ≤ 时， 1 2 02 kx x  ≤ ，此时 1 20, 0x x ≤ ，当 2(0, )x x 时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递减， 当 2( , )x x  时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递增， （ii）当 10 8k  时， 1 2 1 2 1 2 10, 0, 02 2 kx x x x x x        ， 当 1(0, )x x 时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递增，当 1 2( , )x x x 时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递减， 当 2( , )x x  时， ( ) 0, ( )f x f x  单调递增， 综上，当 0k ≤ 时， ( )f x 在 1 1 80, 4 k      上递减，在 1 1 8 ,4 k       上递增； 当 10 8k  时， ( )f x 在 1 1 8 1 1 80, , ,4 4 k k                 上递增，在 1 1 8 1 1 8,4 4 k k        上递 EG B O F A 减；当 1 8k ≥ 时， ( )f x 在(0, ) 上单调递增． （2）由（1）知 10 8k  ， 1 2,x x 为方程 22 0x x k   的两根，不妨设 1 2x x ，则 1 2( ) ( )f x f x ，故  2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1, ( ) 4 22 2 4 kx x x x x x x x x x k         ， ， 要证 1 2 1( ) ( ) 24f x f x k   ，即证 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x f x x x   ，即证 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x f x x x   ， 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1( ) ( ) ( 1)( ) (ln ln ) ln ( ) 2 ln ( )( )2 x xf x f x x x x x k x x k x x x x x x x xx x              2 21 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ln ( )( ) ( )xf x f x x x x x x x x x x xx         2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ln 1 1x x x xx x x x x                   ，设 1 2 xt x ，则 1t  ， 2 2 2 2 1 2 1 2 2( ) ( ) ( ) 2 ln 1 ( 1)f x f x x x x t t t t           ， 设 2 2( ) 2 ln 1 ( 1) 2 (ln 1), (0,1)g t t t t t t t t t         ， 设 ( ) ln 1, (0,1)h t t t t    ，则 1( ) 1 0h t t     ， ( )h t 在 (0,1) 上单调递增， ( ) (1) 0h t h   ， 即 ( ) 0g t  ， 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0f x f x x x     ，即 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x f x x x   ，命题得证． 22．解析：（1）由 1 1 x m m y m m       ，可得 2 2 2 2 2 2 2 2 1 12, 2, 4x m y m x ym m         ， 所以曲线C 的直角坐标方程为 2 2 14 4 x y  ． 方法二：由 1 1 x m m y m m       ，可得 2 222 , , ( )( ) 4, 4x y m x y x y x y x ym           ， 所以曲线C 的直角坐标方程为 2 2 14 4 x y  ． 由 3 sin cos 3 0      及 cos , sinx y     ， 可得直线l 的直角坐标方程为 3 3 0y x   ． （2）直线 3: 13l y x  ，直线l 过点 (0,1)P ，且倾斜角为30 ，所以直线l 的参数方程为： 3 2 11 2 x t y t      （t 为参数）．将直线l 的参数方程代入 2 2 4x y  ，并整理得 2 2 10 0t t   ， 设 A B、 两点对应的参数分别为 1 2,t t ，则 1 2 1 22, 10t t t t    ， 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 41 1 1 1 44 2 11 11 10 10 5 t t t t t t PA PB t t t t t t            ． 23．解析：（1）当 2a  时， ( ) 2 2 ( 2)f x x x   ， ①当 2x≥ 时， 2( ) 2( 2) 0f x x   ，无解； ②当 2x  时， 2( ) 2( 2) 0f x x    ，恒成立． 所以不等式 ( ) 0f x  的解集为( ,0) ． （2）当 ( ) ( 2) 2 ( ) 0f x x a x x x a       时， 2x  或 x a ， ( , )x a  ． ①当 2a  时， ( ) ( )( 2) (2 )( ) 2( )( 2) 0f x a x x x x a x a x           恒成立，满足题意； ②当 2a  时， 2( ) 2( 2) 0f x x    恒成立，满足题意； ③当 2a  时， （i）当 ( ,2)x  时， ( ) ( )( 2) (2 )( ) 2( )( 2) 0f x a x x x x a x a x           成立，满足题意， （ii）当 [2, )x a 时， ( ) ( )( 2) ( 2)( ) 0f x a x x x x a       ，不满足题意， 综上所述，实数 a 的取值范围是( ,2] ． 解法二：当 ( , )x a  时， ( ) ( )( 2) 2 ( ) ( ) 2 ( 2)f x a x x x x a x a x x              ， 0x a  ，则由 ( ) 0f x  ，可得 2 ( 2) 0, 2 2x x x x       ， 2x  ， 即 2x a x   ，所以实数 a 的取值范围是 ( ,2] ．