【数学】2014高考专题复习:第2章 函数与基本初等函数 第2节 基本初等函数

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【数学】2014高考专题复习:第2章 函数与基本初等函数 第2节 基本初等函数

‎【数学】2014版《6年高考4年模拟》‎ 第二节 基本初等函数I 第一部分 六年高考荟萃 ‎2013年高考题 一、选择题 .(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))若,则函数的两个零点分别位于区间( )‎ A.和内 B.和内 ‎ C.和内 D.和内 答案:A ‎【命题立意】本题考查二次函数的图像与性质以及函数零点的判断。因为,,,又,所以,即函数的两个零点分别在和内,选A.‎ .(2013年高考四川卷(理))设函数(,为自然对数的底数).若曲线上存在使得,则的取值范围是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 答案:A ‎ 曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则y0∈[﹣1,1]‎ 考查四个选项,B,D两个选项中参数值都可取0,C,D两个选项中参数都可取e+1,A,B,C,D四个选项参数都可取1,由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意,即可得出正确选项 当a=0时,,此是一个增函数,且函数值恒非负,故只研究y0∈[0,1]时f(f(y0))=y0是否成立 由于是一个增函数,可得出f(y0)≥f(0)=1,而f(1)=>1,故a=0不合题意,由此知B,D两个选项不正确 当a=e+1时,此函数是一个增函数,=0,而f(0)没有意义,故a=e+1不合题意,故C,D两个选项不正确 综上讨论知,可确定B,C,D三个选项不正确,故A选项正确 .(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD版含答案))设,则 (  )‎ A. B. C. D.‎ 答案:D 因为a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,‎ 因为y=log2x是增函数,所以log27>log25>log23,‎ 因为,,‎ 所以log32>log52>log72,所以a>b>c,故选D.‎ .(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版))已知为正实数,则 A. B. C. D.‎ 答案:D ‎ ‎:因为as+t=as•at,lg(xy)=lgx+lgy(x,y为正实数),所以2lg(xy)=2lgx+lgy=2lgx•2lgy,满足上述两个公式,故选D.‎ .(2013年高考四川卷(理))函数的图象大致是( )‎ 答案:C ‎ 当x<0时,x3<0,3x﹣1<0,所以,故排除B;‎ 对于C,由于函数值不可能为0,故可以排除C;‎ 因为y=3x﹣1与y=x3相比,指数函数比幂函数,随着x的增大,增长速度越大,‎ 所以x→+∞,→0,所以D不正确,A正确,故选A.‎ .(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))若函数有极值点,,且,则关于的方程的不同实根个数是 ‎(A)3 (B)4 (C) 5 (D)6‎ 答案: A ‎ 使用代值法。‎ 设.‎ ‎.‎ 所以选A .(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))函数的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ 答案:B ‎ 在同一坐标系中作出函数与的图象,由图象可知零点个数为2个,选B.‎ .(2013年高考北京卷(理))函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y=ex关于y轴对称,则f(x)=‎ A. B. C. D. ‎ 答案:D ‎ 函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x,‎ 而函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称,‎ 所以函数f(x)的解析式为y=e﹣(x+1)=e﹣x﹣1.即f(x)=e﹣x﹣1.‎ 故选D.‎ 二、填空题 .(2013年高考上海卷(理))方程的实数解为________‎ 答案:. ‎ ‎【解答】原方程整理后变为.‎ .(2013年高考上海卷(理))设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为________‎ 答案:. ‎ ‎【解答】,故;当时,‎ 即,又,故.‎ 三、解答题 .(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分,第3小题满分6分.‎ 已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”.‎ ‎(1)将函数的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标;‎ ‎(2)求函数 图像对称中心的坐标;‎ ‎(3)已知命题:“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数 ‎ 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).‎ ‎(1)平移后图像对应的函数解析式为, 整理得, 由于函数是奇函数, 由题设真命题知,函数图像对称中心的坐标是. (2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数. 设则,即. 由不等式的解集关于原点对称,得. 此时. 任取,由,得, 所以函数图像对称中心的坐标是. (3)此命题是假命题. 举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数. 修改后的真命题: “函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”. ‎ ‎2012年高考题 ‎1. [2012·福建卷] 设函数D(x)=则下列结论错误的是(  )‎ A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数 答案:C [解析] 考查分段函数的奇偶性、单调性、值域等,解决本题利用定义、图象等解决.若当x为无理数时,x+T也为无理数,则f(x+T)=f(x);故f(x)是周期函数,故C错误;‎ 若x为有理数,则-x也为有理数,则f(-x)=f(x);若x为无理数,则-x也为无理数,则f(-x)=f(x);故f(x)是偶函数,故B正确;结合函数的图象,A选项D(x)的值域为{0,1},正确;且D(x)不是单调函数也正确,所以C错误.‎ ‎2.[2012·重庆卷] 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(  )‎ A.既不充分也不必要的条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.充要条件 答案:D [解析] 由于f(x)是R的上的偶函数,当f(x)在[0,1]上为增函数时,根据对称性知f(x)在[-1,0]上为减函数.根据函数f(x)的周期性将f(x)在[-1,0]上的图象向右平移2个周期即可得到f(x)在[3,4]上的图象,所以f(x)在[3,4]上为减函数;同理当f(x)在[3,4]上为减函数时,根据函数的周期性将f(x)在[3,4]上的图象向左平移2个周期即可得到f(x)在[-1,0]上的图象,此时f(x)为减函数,又根据f(x)为偶函数知f(x)在[0,1]上为增函数(其平移与对称过程可用图表示,如图1-1所示),所以“f(x)为[0,1]上的减函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件,选D.‎ ‎3.[2012·陕西卷] 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(  )‎ A.y=x+1 B.y=-x3C.y= D.y=x|x|‎ 答案:D [解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性,解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系.若函数为单调增函数,其图像为从左向右依次上升;若函数为奇函数,其图像关于原点对称.经分析,A选项函数的图像不关于原点对称,不是奇函数,排除;B选项函数的图像从左向右依次下降,为单调减函数,排除;C选项函数的图像从左向右依次下降,为单调减函数,排除;故选D.其实对于选项D,我们也可利用x>0、x=0、x<0分类讨论其解析式,然后画出图像,经判断符合要求.‎ ‎4.[2012·辽宁卷] 设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(πx)|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ 答案:B [解析] 本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断.解题的突破口为根据函数的性质得到函数f(x)的解析式,结合函数图象求解.‎ f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(2-x)=f(x-2),所以函数f(x)为周期为2的周期函数,且f(0)=0,f(1)=1,而g(x)=为偶函数,且g(0)=g=g=g=0,在同一坐标系下作出两函数在上的图像,发现在内图像共有6个公共点,则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为6.‎ ‎5.[2012·山东卷] 设函数f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若y=f(x)的图象与y=g(x)‎ 的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是(  )‎ A.当a<0时,x1+x2<0,y1+y2>0B.当a<0时,x1+x2>0,y1+y2<0‎ C.当a>0时,x1+x2<0,y1+y2<0D.当a>0时,x1+x2>0,y1+y2>0‎ 答案:B [解析] 本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力,偏难.‎ 当y=f的图象与y=g图象有且仅有两个不同的公共点时,a<0时,其图象为 作出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为(-x1,-y1),由图象知-x1y2,故x1+x2>0,y1+y2<0,同理当a>0时,有x1+x2<0,y1+y2>0,故选B.‎ ‎6.[2012·浙江卷] 设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=________.‎ 答案:. [解析] 本题主要考查不等式的恒成立,不等式与方程的转化与应用问题,考查数形结合和转化化归的数学思想.令y1=x-1,y2=x2-ax-1,则函数y1=x-1,y2=x2-ax-1都过定点P.考查函数y1=x-1,令y=0,得M,同时只有a-1>0即a>1时才有可能满足x∈时,y1·y2≥0;‎ 考查函数y2=x2-ax-1,显然只有过点M时才能满足x∈时,y1·y2≥0,代入得:2--1=0,可得2+a-1=0,2a2-3a=0解得a=或a=0,舍去a=0,得答案:a=.‎ ‎7.[2012·湖北卷] 已知二次函数y=f(x)的图象如图1-1所示,则它与x轴所围图形的面积为(  )‎ 图1-1‎ A. B.C. D. 答案:B [解析] (解法一)设f(x)=ax2+bx+c.因为函数f(x)的图象过(-1,0),(1,0),(0,1),代入得 解得 故f(x)=1-x2.‎ 故S=-1dx==.故选B.‎ ‎(解法二)设f(x)=a,将x=0,y=1代入f(x)=a,得a=-1,所以f(x)=-=1-x2,所以S=-1dx==.故选B.‎ ‎(解法三)观察函数图象可知,二次函数f(x)的顶点坐标为(0,1),故可设f(x)=ax2+1,又函数图象过点(1,0),代入得a=-1,所以f(x)=-x2+1.所以S===.故选B.‎ ‎8.[2012·四川卷] 函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象可能是(  )‎ 图1-2‎ 答案:D [解析] 若a>1,则f(x)为增函数,排除C、D,而0<<1,图象与y轴的交点应该在(0,1)内,A、B也不符合,故a>1不合题意.‎ 若0<a<1,则f(x)为减函数,排除A、B,此时>1,故图象与y轴的交点应该在负半轴,排除C,选D.‎ B7 对数与对数函数 ‎9. [2012·全国卷] 已知x=lnπ,y=log52,z=e-,则(  )‎ A.xlne=1,0e-=>=,∴y0时,g′(x)<0,g(x)=ln(x+1)-x单调递减 ,所以g(x)0,g(x)=ln(x+1)-x单调递增, 所以g(x)0,‎ ‎∵fn(x)在上是单调递增的,∴fn(x)在内存在唯一零点.‎ ‎(2)当n=2时,f2(x)=x2+bx+c.‎ 对任意x1,x2∈[-1,1]都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下:‎ ‎①当>1,即|b|>2时,‎ M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾.‎ ‎②当-1≤-<0,即00时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=________.‎ 答案: [解析] 本题主要考查不等式的恒成立,不等式与方程的转化与应用问题,考查数形结合和转化化归的数学思想.令y1=x-1,y2=x2-ax-1,则函数y1=x-1,y2=x2-ax-1都过定点P.考查函数y1=x-1,令y=0,得M,同时只有a-1>0即a>1时才有可能满足x∈时,y1·y2≥0;‎ 考查函数y2=x2-ax-1,显然只有过点M时才能满足x∈时,y1·y2≥0,代入得:2--1=0,可得2+a-1=0,2a2-3a=0解得a=或a=0,舍去a=0,得答案:a=.‎ ‎2011年高考题 ‎1.(四川理7)若是R上的奇函数,且当时,,则的反函数的图象大致是 ‎【答案】A ‎【解析】当时,函数单调递减,值域为,此时,其反函数单调递减且图象在与之间,故选A.‎ ‎2.(四川文4)函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是 ‎【答案】A ‎【解析】图象过点,且单调递减,故它关于直线y=x对称的图象过点且单调递减,选A.‎ ‎3.(安徽文5)若点(a,b)在 图像上,,则下列点也在此图像上的是 ‎(A)(,b) (B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)‎ ‎【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算,考查对数函数的图像与对应点的关系.‎ ‎【解析】由题意,,即也在函数 图像上.‎ ‎4.(天津文6)设,,,则(   ).‎ ‎  A.       B. ‎ ‎  C.       D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,,,‎ 所以,‎ 所以,故选D.‎ ‎5.(重庆理5)下列区间中,函数=在其上为增函数的是 ‎ ‎(A)(- (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎6. (重庆文6)设,,,则,,的大小关系是 ‎(A)          (B)‎ ‎(C)          (D)‎ ‎【答案】B ‎7. (重庆文15)若实数,,满足,,则的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎8.(四川理13)计算_______.‎ ‎【答案】-20*copoyright:x.k.100.com*‎ ‎【解析】.‎ ‎9.(陕西文11)设,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】由算起,先判断的范围,是大于0,还是不大于0,;再判断作为自变量的值时的范围,最后即可计算出结果.‎ ‎【解析】∵,∴,所以,即.‎ ‎10.(陕西文4) 函数的图像是 ( ) ‎ ‎【答案】B ‎【分析】已知函数解析式和图像,可以用取点验证的方法判断.‎ ‎【解析】 取,,则,,选项B,D符合;取,则,选项B符合题意.‎ ‎2010年高考题 一、选择题 ‎1.(2010全国卷2理)(2).函数的反函数是 (A) ‎ (B)‎ ‎(C) (D)‎ 答案 D ‎【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。‎ ‎【解析】由原函数解得,即,又;‎ ‎∴在反函数中,故选D.‎ ‎2.(2010陕西文)7.下列四类函数中,个有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是 ‎ ‎(A)幂函数 (B)对数函数 (C)指数函数 (D)余弦函数 答案 C ‎【解析】本题考查幂的运算性质 ‎ ‎ ‎ ‎3.(2010辽宁文)(10)设,且,则 ‎(A) (B)10 (C)20 (D)100‎ 答案 A ‎【解析】选A.又 ‎4.(2010全国卷2文)(4)函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 ‎(A)y=-1(x>0) (B) y=+1(x>0) ‎ ‎(C) y=-1(x R) (D)y=+1 (x R)‎ 答案 D ‎【解析】D:本题考查了函数的反函数及指数对数的互化,∵函数Y=1+LN(X-1)(X>1),∴ ‎ ‎5.(2010安徽文)(7)设,则a,b,c的大小关系是 ‎(A)a>c>b (B)a>b>c (C)c>a>b (D)b>c>a 答案 A ‎【解析】在时是增函数,所以,在时是减函数,所以。‎ ‎【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.‎ ‎6.(2010安徽文)(6)设,二次函数的图像可能是 答案 D ‎【解析】当时,、同号,(C)(D)两图中,故,选项(D)符合 ‎【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.‎ ‎7.(2010浙江文)2.已知函数 若 =‎ ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)3‎ 答案 B ‎【解析】+1=2,故=1,选B,本题主要考察了对数函数概念及其运算性质,属容易题 ‎8.(2010山东文)(3)函数的值域为 A. B. C. D. ‎ 答案 A ‎9.(2010北京文)(6)给定函数①,②,③,④,期中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是 ‎(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④‎ 答案 B ‎10.(2010北京文)⑷若a,b是非零向量,且,,则函数是 ‎ (A)一次函数且是奇函数 (B)一次函数但不是奇函数 ‎ (C)二次函数且是偶函数 (D)二次函数但不是偶函数 答案 A ‎11.(2010四川理)(3)2log510+log50.25=‎ ‎(A)0 (B)1 (C) 2 (D)4‎ 解析:2log510+log50.25‎ ‎=log5100+log50.25‎ ‎=log525‎ ‎=2‎ 答案 C ‎12.(2010天津文)(6)设 ‎(A)af(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).‎ ‎【解析2】由0‎ 的是 A.= B. = ‎ C .= D.‎ 答案 A 解析 依题意可得函数应在上单调递减,故由选项可得A正确。‎ ‎9. (2009辽宁卷文)已知函数满足:x≥4,则=;当x<4时=‎ ‎,则=‎ A. B. C. D.‎ 答案 A 解析 ∵3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)且3+log23>4‎ ‎∴=f(3+log23)‎ ‎=‎ ‎10.(2009四川卷文)函数的反函数是 ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 答案 C 解析 由,又因原函数的值域是,‎ ‎∴其反函数是 ‎11.(2009陕西卷文)设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为 A. B. C. D.1‎ 答案 B 解析 对,令得在点(1,1)处的切线的斜率,在点 ‎(1,1)处的切线方程为,不妨设,‎ 则, 故选 B.‎ ‎12.(2009全国卷Ⅰ文)已知函数的反函数为,则 ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)4‎ 答案 C 解析 由题令得,即,又,所以,故选择C。‎ ‎13.(2009湖南卷理)若a<0,>1,则 ( )‎ A.a>1,b>0 B.a>1,b<0 C. 0<a<1, b>0 D. 0<a<1, b<0‎ 答案 D 解析 由得由得,所以选D项。‎ ‎14.(2009四川卷理)已知函数连续,则常数 的值是 ( )‎ A.2   B.3    C.4    D.5 ‎ ‎【考点定位】本小题考查函数的连续性,考查分段函数,基础题。‎ 答案 B 解析 由题得,故选择B。‎ 解析2:本题考查分段函数的连续性.由,,由函数的连续性在一点处的连续性的定义知 ‎,可得.故选B.‎ ‎15.(2009福建卷文)若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25, 则可以是 A. B. ‎ C. D. ‎ 答案 A 解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点,因 为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25,只有的零点适合,故选A。‎ 二、填空题 ‎16.(2009江苏卷)已知集合,若则实数的取值范围是,其中= . ‎ 解析 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。‎ 由得,;由知,所以4。‎ ‎17.(2009山东卷理)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .‎ 答案 ‎ 解析 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是 ‎【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.‎ ‎18.(2009重庆卷文)记的反函数为,则方程的解 .‎ 答案 2‎ 解法1 由,得,即,于是由,解得 解法2因为,所以 ‎2008年高考题 一、选择题 ‎1.(2008年山东文科卷)已知函数的图象如图所示,则满足的关系是 ( )‎ O y x A. B.‎ C. D.‎ 答案 A ‎ 解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。‎ 由图易得取特殊点 ‎ .‎ ‎2. (07山东)设,则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值 为 ( )‎ A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 ‎ 答案 A ‎ ‎3.(07天津)设均为正数,且,,.‎ 则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案 A ‎ 二、填空题 ‎4.(2008年山东文科卷)已知,则 的值等于 .‎ 答案 2008‎ 解析 本小题主要考查对数函数问题。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第二部分 四年联考汇编 ‎2013-2014年联考 一.基础题组 ‎1. 【2014福建三明】已知幂函数的图像过点,若,则实数的值为( )‎ A. B.    C.    D.‎ ‎2.【2014福建南安】下列函数中不能用二分法求零点的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.【2014年“皖西七校”高三年级联合考试】设函数,若对任意给定的,都存在唯一的,满足,则正实数的最小值是( )‎ A. B. C.2 D.4‎ ‎4.【2014安徽涡阳蒙城】函数在上是增函数,则实数的范围是( )‎ A. ≥ B. ≥ C.≤ D.≤‎ ‎5.【2014安徽涡阳蒙城】若,则的表达式为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:令,于是有 ,分别用 、 替换中的 、得: ‎ 最后仍用 作自变量,得 故选D.‎ 考点:1、指数、对数式的互化;2、换元法求函数的解析式.‎ ‎6. 【2014福建三明】函数的定义域为 .‎ ‎7.【2014福建南安】已知函数的零点所在的一个区间是( )‎ A.(-2,-1) B.(-1, 0) C.(0, 1) D.(1, 2)‎ ‎8. 【2014福建三明】(本小题满分6分)计算:.‎ 二.能力题组 ‎9. 【2014福建三明】已知函数的对应关系如下表,函数的图像是如下图的曲线,其中则的值为( )‎ ‎ ‎ A. 3   B.  2  C. 1   D. 0‎ ‎10. 【2014福建三明】我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长,专家预测经过年可能增长到原来的倍,则函数的图像大致为( )‎ ‎11. 【2014福建三明】已知函数。若,则的值( )‎ A.一定是 B.一定是  C.是中较大的数 D.是中较小的数 ‎12. 【2014福建三明】已知函数在时取得最大值,在时取得最小值,则实数的取值范围是( )‎ A. B.   C.     D.‎ ‎13.【2014福建安溪八中12月月考数学理】已知函数是定义在R上的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称,若函数,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:因为函数是定义在R上的奇函数所以可得f(-x)=-f(x).又因为它的图像关于直线x=1对称所以可得f(x)=f(2-x).由上面两式可得f(2-x)=-f(-x).由此可递推得f(2-x)=-f(-x)=f(-2-x).所以函数f(x)周期为4.所以 ‎.故选C.‎ 考点:1.函数的奇偶性以对称性的结合.2.函数的周期性.3.化归转化思想.‎ ‎14.【2014宿州一模】下列函数中,满足“对任意的时,均有”的是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎15.【2014安徽涡阳蒙城】已知函数,那么的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎16.【2014安徽涡阳蒙城】已知 , ,则函数 的图象必定不经过( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎ ‎17.【2014安徽涡阳蒙城】设,则的大小关系是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎18.【2014福建安溪八中12月月考数学理】已知函数,设,若,则的取值范围是 ___ . ‎ 考点:1.分段函数的知识.2.函数的单调性.‎ ‎19.【2014安徽涡阳蒙城】函数的定义域为,且对其内任意实数均有:,则在上是 ‎ ‎20.【2014安徽涡阳蒙城】对于每一个实数 ,取,,三个值中最小的值,则的最大值为_______‎ 考点:1、基本初等函数的图象;2、数形结合.‎ ‎21. 【2014福建三明】(本小题满分12分)学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在40分钟的一节课中,注意力指数与听课时间(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的图像,当时,图像是二次函数图像的一部分,其中顶点,过点;当时,图像是线段,其中,根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.‎ ‎(1)试求的函数关系式;‎ ‎(2)教师在什么时段内安排内核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)老师在时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳.‎ ‎22.【2014宿州一模】(本小题满分13分)已知函数满足,当时;当时.‎ ‎(Ⅰ)求函数在(-1,1)上的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若,求函数在上的零点个数.‎ 三.拔高题组 ‎23.【2014福建南安】已知是函数的一个零点.若,则 ( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎24.【2014福建三明】函数有如下性质:若常数,则函数在上是减函数,在 上是增函数。已知函数(为常数),当时,若对任意,都有,则实数的取值范围是 .‎ ‎25.【“华安、连城、永安、漳平一中,龙海二中,泉港一中”六校联考2013-2014学年上学期第三次月考】对于三次函数(),给出定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心. 给定函数,请你根据上面探究结果,计算+…+‎ ‎+= __________ .‎ ‎26.【2014安徽省六校教育研究会高三2月联考数学理】对于函数,若存在区间,使得,则称区间为函数的一个“好区间”.给出下列4个函数:‎ ‎①;②;③;④.‎ 其中存在“好区间”的函数是   . (填入所有满足条件函数的序号)‎ ‎②对于函数,该函数在上是增函数由幂函数的性质我们易得,时, ,所以为函数的一个“好区间”.‎ ‎27. 【2014福建三明】(本小题满分14分)设函数的定义域是,对于任意的,有,且当时,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)判断函数的奇偶性;‎ ‎(3)用函数单调性的定义证明函数为增函数;‎ ‎(4)若恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)奇函数;(3)详见解析;(4).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)采用附值法,令代入即可求出;(2)先说明函数的定义域关于原点对称,然后令得到,然后可化成,可判断函数为奇函数;(3)设,则,所以,从而利用单调性的定义证出函数在上为增函数;(4)先将不等式转化成,再由函数的单调递增性,又转化为,再分离参数得不等式 ‎,该不等式恒成立等价于,求出的最小值即可求出的取值范围.‎ ‎28.【2014安徽涡阳蒙城】(满分12分)‎ 已知函数f(2x)‎ ‎(I)用定义证明函数在上为减函数。‎ ‎(II)求在上的最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎(I)见解析 ‎(II)-3‎ ‎【解析】‎ ‎29.【2014安徽涡阳蒙城】(满分13分)‎ 若非零函数对任意实数均有,且当时, .‎ ‎(1)求证:; ‎ ‎(2)求证:为减函数;‎ ‎(3)当时,解不等式 ‎【答案】(1)见解析(2)见解析(3)‎ ‎【解析】‎ ‎2012-2013年联考 ‎1【云南省玉溪一中2013届高三第四考次月理】函数 , 则下列结论错误的是 ( )‎ ‎ A. 是偶函数 B.方程的解为 ‎ C. 是周期函数 D.方程的解为 ‎【答案】D ‎【解析】则当为有有理数时,,也为有理数,则,; 则当为有无理数时,,也为无理数,则,所以函数为偶函数且为周期函数,所以A,C正确.当为有有理数时, ,即,所以方程的解为,C正确.方程可等价变形为,此时与方程的解为为有理数,故D错误,故选D ‎2【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】已知对数函数是增函数,则函数的图象大致是( )‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数为增函数,所以,又函数为偶函数。当时,,当时,,选B.‎ ‎3【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)理科】下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 ( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据奇偶性定义知,A、C为偶函数,B为奇函数,D定义域为不关于原点对称,故选D.‎ ‎4【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】若是偶函数,且当 的解集是( )‎ ‎ A.(-1,0) B.(-∞,0)(1,2) C.(1,2) D.(0,2)‎ ‎【答案】D ‎【解析】 根据函数的性质做出函数的图象如图.把函数向右平移1个单位,得到函数,如图,则不等式的解集为,选D. ‎ ‎5【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】已知在函数()的图象上有一点,该函数的图象与 x轴、直线x=-1及 x=t围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则S与t的函数关系图可表示为( )‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知,当时,面积原来越大,但增长的速度越来越慢.当时,S的增长会越来越快,故函数S图象在轴的右侧的切线斜率会逐渐增大,选B.‎ ‎6【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】定义在上的函数满足且时,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可知函数为奇函数,且,所以函数的周期为4,,,即,所以,因为,所以,所以,选C.‎ ‎7【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】函数的零点所在的区间是 ‎ A. B. C.(1,2) D.(2,3)‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数,在定义域上单调递增,,,,由跟的存在定理可知函数的零点在区间上选A.‎ ‎8【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】已知偶函数 ‎=‎ ‎ A.1 B.—1 C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得,所以函数的周期是4,所以,选C.‎ ‎9【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】已知函数,则的大小关系是 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数为偶函数,所以,,当时,,所以函数在递增,所以有,即,选B.‎ ‎10【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】在下列区间中,函数的零点所在的区间为 ‎ A、(,0) B、(0,) C、(,) D、(,)‎ ‎【答案】C ‎【解析】,,所以函数的零点在,选C.‎ ‎11【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学(理)】 已知函数是幂函数且是上的增函数,则的值为 A. 2 B. -1 C. -1或2 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数为幂函数,所以,即,解得或.因为幂函数在,所以,即,所以.选B.‎ ‎12【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学(理)】 已知定义在区间[0,2]上的函数的图象如图所示,则的图象为 ‎【答案】A ‎【解析】当时,,排除B,C,D,选A.‎ ‎13【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学(理)】给定函数①,②,③,④,其中在上单调递减的个数为 A. 0 B. 1 个 C. 2 个 D. 3个 ‎【答案】C ‎【解析】①为幂函数,,所以在上递减.②,在上递减,所以函数在,递减.③,在递增.④的周期,,在上单调递增,所以满足条件的有2个,选C.‎ ‎14【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学(理)】设,,,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,,。因为,所以,即。选C.‎ ‎15【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学(理)】函数的定义域为R,若与都是奇函数,则 A. 是偶函数 B. 是奇函数 ‎ C. D. 是奇函数 ‎【答案】D ‎【解析】函数,都为奇函数,所以,,所以 函数关于点,对称,所以函数的周期,所以,即,所以函数为奇函数,选D.‎ ‎16【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学(理)】设函数,若关于的方程有三个不同的实数根,则等于 A. 13 B. 5 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】做出函数的图象如图,要使方程有三个不同的实数根,结合图象可知,,所以三个不同的实数解为,所以,选B.‎ ‎17【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】函数的图象是 ‎ 【答案】A ‎【解析】函数为偶函数,图象关于轴对称,所以排除B,D.又,所以,排除C,选A.‎ ‎18【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】设, ,,则 A. af(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) ‎ C.f(π)0,且a1,若函数有最大值,则不筹式的解集为 ;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】所以有最小值2,,要使函数有最大值,则指数函数单调递减,则有,由得,即,解得,即不等式的解集为。‎ ‎2011-2012年联考 ‎【2012浙江宁波市期末文】 函数的定义域为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得,解得。‎ ‎【2012安徽省合肥市质检文】若函数为奇函数,当时,,则的值为 ;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】。‎ ‎【2012吉林市期末质检文】下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】因A、B递减,C在(0,1)递增,D在(0,1)上先递减后递增,选C。‎ ‎【2012吉林市期末质检文】设函数是定义在上的奇函数,且对任意都有,当 时,,则的值为( )‎ A. B. C. 2 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题可知函数的周期为4,故。‎ ‎【2012江西南昌市调研文】函数的值域为 ( )‎ A.[1,+∞) B.(0,1] C.(-∞,1] D.(-∞,1)‎ ‎【答案】C ‎【解析】因,所以,即,选C。‎ ‎【2012广东佛山市质检文】下列函数中既是奇函数,又在区间上是增函数的为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题中选项可知,,为偶函数,排除A、C;而在R上递减,故选B。‎ ‎【2012广东佛山市质检文】对任意实数,函数,如果函数,那么函数的最大值等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可知,则在同以坐标系中画出,数形结合可知时,。‎ ‎【2012河南郑州市质检文】函数定义域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题,解不等式得。‎ ‎【2012河南郑州市质检文】定义在 上的函数 ;当若;则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令,则可得,令,则,即为奇函数,令,则,所以,即递减,‎ 又,因,所以,即,故选B。‎ ‎【2012北京海淀区期末文】已知函数,则下列结论正确的是( )‎ ‎(A)是偶函数,递增区间是 (B)是偶函数,递减区间是 ‎(C)是奇函数,递减区间是 (D)是奇函数,递增区间是 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因,所以是奇函数,排除A、B;又时,在上递减,递增,由奇函数性质可得,C对。‎ ‎【2012广东韶关市调研文】下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可知A不是单调函数,B不是奇函数,D是偶函数,只有C满足。‎ ‎【2012年西安市高三年级第一次质检文】已知函数则=._______‎ ‎【答案】-8‎ ‎【解析】本题主要考查分段函数求值问题. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎【2012黄冈市高三上学期期末考试文】函数,则函数的零点个数有 个。‎ ‎【答案】 2‎ ‎【解析】本题主要考查. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎∵分别作出、的图像,知交点数即零点数为2‎ ‎【2012武昌区高三年级元月调研文】函数的图象如图所示,给出以下说法:‎ ‎ ①函数的定义域是[一l,5];‎ ‎ ②函数的值域是(一∞,0]∪[2,4];‎ ‎ ③函数在定义域内是增函数;‎ ‎ ④函数在定义域内的导数 ‎ 其中正确的是 ( )‎ ‎ A.①② B.①③ C.②③ D.②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查函数的图像与性质. 属于基础知识的考查.‎ 的定义域中含有,①②正确;函数在定义域内不是增函数,因而③④错误。‎ ‎【2012武昌区高三年级元月调研文】若 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查对数的基本运算以及指数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ 由,,所以 ‎【2012厦门期末质检理10】已知函数f(x)=则下列结论正确的是 A.f(x)在(-1,0)上恰有一个零点   B. f(x)在(0,1)上恰有一个零点 C.f(x)在(-1,0)上恰有两个零点  D. f(x)在(0,1)上恰有两个零点 ‎【答案】A ‎【解析】因为函数f(x)=在单调增,,选A;‎ ‎【2012厦门期末质检理13】定义区间[x1,x2]( x10时,的大致图象为 ( )‎ 答案 B ‎3.(2009番禺一模)已知函数 若,则( )‎ A. B. C.或 D.1或 答案 C ‎4.(2009临沂一模)已知函数f(x)=,若x0是方程f(x)=0的解,且00时是单调函数,则满足f(2x)=f()的所有x之和为 A、 B、 C、-8 D、8‎ 答案 C ‎7.(2009云南师大附中)若函数 ‎ A. B. C. D. ‎ 答案 B ‎8.(2009青岛一模)设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为 A. B. C. D.‎ 答案 D ‎9.(2009日照一模)(6)函数的零点一定位于区间 ‎ A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)‎ 答案 A ‎10.(2009日照一模)(函数的图象如右图所示,则函数的图象大致是 答案 C ‎11.(2009泰安一模)已知函数y=f(x)与互为反函数,函数y=g(x)的图像与y=f(x)‎ 图像关于x轴对称,若g(a)=1,则实数a值为 ‎ (A)-e (B) (C) (D) e 答案 C ‎12.(2009江门一模)函数的定义域是 A. B. C. D.‎ 答案 C ‎13.(2009枣庄一模)已知则关于右图中函数图象的表述正确的是 ( )‎ ‎ A.是的图象 ‎ ‎ B.是的图象 ‎ C.是的图象 ‎ ‎ D.以上说法都不对 答案 D ‎14.(2009枣庄一模)设函数 ( )‎ ‎ A.3 B.4 C.7 D.9‎ 答案 C ‎15.(2009深圳一模)若函数的图象如右图,其中为常数.则函数的大致图象是 A. B. C. D.‎ 答案 D 二、填空题 ‎1.(2009青岛一模)定义:区间的长度为.已知函数的定义域为,值域为,则区间的长度的最大值与最小值的差为_________.‎ 答案 1‎ ‎2.(2009冠龙高级中学3月月考)已知函数,若,则实数的取值范围是 。‎ 答案 ‎ ‎3.(2009闵行三中模拟)若函数的值域是,则函数的值域是 ‎ 答案 ‎ ‎4.(2009上海普陀区)已知函数,是的反函数,若的图像过点,则 . ‎ 答案 2‎ ‎5.(2009上海十校联考)已知函数的值域是,则实数的取值范围是________________.‎ 答案 ‎ ‎6.(2009上海卢湾区4月模考)(2009上海卢湾区4月模考)设的反函数为,若函数的图像过点,且, 则 .‎ 答案 ‎ ‎7.(2009宣威六中第一次月考)已知函数,则函数f(x)的最小值是 ‎ 答案 0‎ 三、解答题 ‎1、(2009聊城一模)已知函数在区间[-1,1]上最大值为1,最小值为-2。‎ ‎ (1)求的解析式;‎ ‎ (2)若函数在区间[-2,2]上为减函数,求实数m的取值范围。‎ 解:(1)‎ [ ] [ ] ‎.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎,‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎),‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎)‎ ‎0‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎'‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 上为减函数 在 上为增函数 在 得 令 Q Q + - = = - = - = - < - - = - = - = = - > = = = x x x f a a f f f a f a f b f x f a a x x x f ‎ (2)‎ 由,‎ 知 ‎ ‎, 即 ‎ ‎ ‎ ‎2、(2009昆明市期末)已知函数,若x=0,函数f(x)取得极值 ‎ (Ⅰ)求函数f(x)的最小值;‎ ‎ (Ⅱ)已知证明:.‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎ 由 x=0是极值点,故,得 ‎ 故 m=1.‎ ‎ 故 ‎ ‎ 当 -1<x<0时,函数在(-1,0)内是减函数;‎ ‎ 当 x>0时,函数f(x)在(0,+∞)内是增函数。‎ ‎ 所以x=0时,f(0)=0,则函数f(x)取得最小值为0.·························6分 ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x)≥0,故ex-1≥ln(x+1)。‎ ‎ ∵①··············8分 ‎ 又 ‎ ‎ =‎ ‎ 故 ················································10分 ‎ 故 ②‎ ‎ 由①②得 ···········································12分 ‎3、(2009临沂一模)设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.‎ (I) 当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;‎ (II) 当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a的取值范围;‎ (I) 是否存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由。‎ 解:(1)由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 即 记,则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.‎ 求得 ‎ 当时;;当时,‎ 故在x=e处取得极小值,也是最小值,‎ 即,故.‎ ‎(2)函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a,在[1,3]上恰有两个相异实根。‎ 令g(x)=x-2lnx,则 当时,,当时,‎ g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在上是单调递增函数。‎ 故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3‎ ‎∵g(1)>g(3),∴只需g(2)0,解得x>或x<-(舍去)‎ 故时,函数的单调递增区间为(,+∞)‎ 单调递减区间为(0, )而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞)‎ 故只需=,解之得m=即当m=时,函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。‎ ‎4、(2009东莞一模)已知,,.‎ ‎(1)当时,求的单调区间;‎ ‎(2)求在点处的切线与直线及曲线所围成的封闭图形的面积;‎ ‎(3)是否存在实数,使的极大值为3?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.‎ ‎ 解:(1)当.…(1分)‎ ‎ ……(3分)‎ ‎∴的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为:,. ‎ ‎……(4分)‎ ‎(2)切线的斜率为, ‎ ‎∴ 切线方程为.……(6分)‎ ‎ 所求封闭图形面积为 ‎. ‎ ‎……(8分)‎ ‎(3), ……(9分)‎ ‎ 令. ……(10分)‎ 列表如下:‎ x ‎(-∞,0)‎ ‎0‎ ‎(0,2-a)‎ ‎2-a ‎(2-a,+ ∞)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↘‎ 极小 ‎↗‎ 极大 ‎↘‎ 由表可知,. ……(12分)‎ 设,‎ ‎∴上是增函数,……(13分)‎ ‎ ∴ ,即,‎ ‎∴不存在实数a,使极大值为3. ……(14)‎ ‎5、(2009茂名一模)已知,其中是自然常数,‎ ‎(Ⅰ)讨论时, 的单调性、极值;‎ ‎(Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下,;‎ ‎(Ⅲ)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎(Ⅰ), ……1分 ‎∴当时,,此时单调递减 当时,,此时单调递增 ……3分 ∴的极小值为 ……4分 ‎(Ⅱ)的极小值为1,即在上的最小值为1, ∴ ,……5分 令,, ……6分 当时,,在上单调递增 ……7分 ‎∴ ∴在(1)的条件下,……9分 ‎(Ⅲ)假设存在实数,使()有最小值3,‎ ‎ …9分 ‎① 当时,在上单调递减,,(舍去),所以,‎ 此时无最小值. ……10分 ②当时,在上单调递减,在上单调递增 ‎,,满足条件. ……11分 ‎③ 当时,在上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值.综上,存在实数,使得当时有最小值3. ‎ ‎6、(2009昆明一中第三次模拟)已知 (1) 若函数是上的增函数,求的取值范围;‎ (2) 若,求的单调增区间 解:(Ⅰ), ‎ 是上的增函数,故在上恒成立,‎ 即在上恒成立 的最小值为,故知a的取值范围是 ‎(2)由,得,‎ ‎①当时,,即函数在上单调递增;‎ 时,由判别式可知 ‎②当时,有,‎ 即函数在上单调递增;‎ ‎③当时,有或,‎ 即函数在上单调递增 ‎7、 解: (1) ,两边加得: ,‎ ‎ 是以2为公比, 为首项的等比数列. ……①‎ 由两边减得: 是以 为公比, 为首项的等比数列. ……②‎ ‎①-②得: 所以,所求通项为…………5分 ‎(2) 当为偶数时,‎ 当为奇数时,,,又为偶数 由(1)知, ……………………10分 ‎(3)证明:‎ 又 ‎ ‎……12分 ‎…………14分 ‎8、(2009深圳一模)已知函数(,).‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调递增区间;‎ ‎(Ⅱ)若不等式对一切正整数恒成立,求实数的取值范围.‎ 解:(Ⅰ) ………………… 2分 ‎, ‎ 由,得.‎ ‎,,.‎ 又.‎ 函数的单调递增区间为,递减区间为. ………… 6分 ‎ ‎(Ⅱ)【法一】不等式,即为.……………(※)‎ 令,当时,.‎ 则不等式(※)即为. …………………9分 令,, ‎ 在的表达式中,当时,,‎ 又时,,‎ 在单调递增,在单调递减.‎ 在时,取得最大,最大值为. …………………12分 因此,对一切正整数,当时,取得最大值.‎ 实数的取值范围是. ………………………… 14分 ‎【法二】不等式,即为.………………(※)‎ 设,‎ ‎,‎ 令,得或. ………………………… 10分 当时,,当时,.‎ 当时,取得最大值.‎ 因此,实数的取值范围是. ………………………… 14分 ‎9、(2009湛江一模)已知函数.()‎ ‎(Ⅰ)当时,求在区间[1,e]上的最大值和最小值;‎ ‎(Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数的图象恒在直线下方,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)当时,,;………………2分 ‎ 对于[1,e],有,∴在区间[1,e]上为增函数,…………3分 ‎ ∴,.……………………………5分 ‎(Ⅱ)令,则的定义域为(0,+∞).‎ ‎……………………………………………6分 ‎ 在区间(1,+∞)上,函数的图象恒在直线下方等价于在区间(1,+∞)上恒成立. ‎ ‎∵‎ ‎① 若,令,得极值点,,………………8分 当,即时,在(,+∞)上有,‎ 此时在区间(,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 ‎∈(,+∞),不合题意;………………………………………9分 当,即时,同理可知,在区间(1,+∞)上,有 ‎∈(,+∞),也不合题意;………………………………………10分 ‎② 若,则有,此时在区间(1,+∞)上恒有,‎ 从而在区间(1,+∞)上是减函数;……………………………………12分 要使在此区间上恒成立,只须满足,‎ 由此求得的范围是[,].‎ 综合①②可知,当∈[,]时,函数的图象恒在直线下方.‎ ‎ ………………………………………………14分
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