数学文卷·2018届安徽省六安市舒城中学高三仿真模拟（二）（2018

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舒城中学2018届高三仿真试题（二）‎ 文科数学 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则 （ ）‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　 D．‎ ‎2.若复数满足，则下列说法不正确的是 （ ）‎ A．复数的虚部为 B．复数为纯虚数 ‎ C．复数在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数的模为1 ‎ ‎3.已知命题：命题“”的否定是“都有”；命题：在中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件，则下列命题为真命题的是 （ ）‎ ‎ A． B． C． 　D．‎ ‎4.道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯 秒，红灯 秒，黄灯 秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.定义在上的奇函数满足，且在上，则 ‎ （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知下列四个关系：①；②；③，；④，．其中正确的有 （ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎7.已知点是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，若，则点的横坐标为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8.如图，小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ x y O x y O x y O x y O ‎9．的部分图像大致为（ ） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎10．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法不正确的是 （ ）‎ A．函数的图像关于直线对称 B．函数的一个零点为 ‎ C．函数在区间上单调递增 D．函数的最小正周期为 ‎ ‎11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点为 双曲线上一点，若△的内切圆半径为，则该双曲线的方程为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题 ‎13.已知数列满足，，则 ．‎ ‎14.已知平行四边形中， 为的中点，在上且 ，若舒中高三仿真文数 第1页 (共4页)‎ ,均为实数，则 ．‎ ‎15.满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎16.在四棱锥中，平面平面，且是边长为的正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为__________．‎ 三、解答题 ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知等差数列的前项和为，且满足，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 尺寸误差 频数 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.7‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ ‎30‎ 甲、乙两陶瓷厂生产规格为的矩形瓷砖（长和宽都约为），根据产品出厂检测结果，每片瓷砖质量（单位：）在之间的称为正品，其余的作为废品直接回炉处理.正品瓷砖按行业生产标准分为“优等”、“一级”、“合格”三个标准，主要按照每片瓷砖的“尺寸误差”加以划分，每片价格分别为 元、元、元. 若规定每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为a,b(单位：mm)，则“尺寸误差”为， “优等”瓷砖的“尺寸误差” 范围是，“一级”瓷砖的“尺寸误差”范围是，“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围是. 现分别从甲、乙两厂生产的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：‎ 尺寸误差 频数 ‎0‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎30‎ ‎0.2‎ ‎30‎ ‎0.3‎ ‎5‎ ‎0.4‎ ‎10‎ ‎0.5‎ ‎5‎ ‎0.6‎ ‎10‎ ‎ （甲厂产品的“尺寸误差”频数表） （乙厂产品的“尺寸误差”柱状图）‎ ‎（Ⅰ）根据样本数据分别计算甲、乙两厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值；‎ ‎（Ⅱ）若用这个样本的频率分布估计总体分布，求乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅲ）现用分层抽样的方法从甲厂生产的100片样本瓷砖中随机抽取20片，再从抽取的20片瓷砖中的“一级”瓷砖与“合格”瓷砖中随机选取2片进一步分析其“平整度”，求这2片瓷砖的价格之和大于12元的概率.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在五面体中，四边形为矩形，平面平面，∥，，为的中点，且∥平面.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面;‎ ‎（Ⅱ）若，，求与平面所成的角的正弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆所得的弦长为.‎ ‎（错误！未找到引用源。）求椭圆的方程；‎ ‎（错误！未找到引用源。）设是椭圆上的点，直线与（为坐标原点）的斜率之积为.若动点满足,是探究是否存在两个定点,使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由 21. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，.‎ 选考部分:共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ 22． ‎（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），线段（为坐标原点）的中点在曲线上，设动点的轨迹为曲线．在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程.‎ ‎（Ⅱ）若直线与轴交于点，与曲线交于点，求.‎ ‎23.（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）‎ 已知，函数 ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若函数的最小值为2，求的最大值.‎ 数学文科答案 ‎1.已知集合，，则（　　　）‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ ‎2.若复数满足，则下列说法不正确的是 ‎ A．复数的虚部为 B．复数为纯虚数 ‎ C．复数在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数的模为1 ‎ ‎3.已知命题：命题“”的否定是“都有”；命题：在中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件，则下列命题为真命题的是 ‎ A．B．C．　D．‎ ‎4.道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯 秒，红灯 秒，黄灯 秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】由题意得小张路过该路口不等待的概率为，选D.‎ ‎5.定义在上的奇函数满足，且在上，则（ ）‎ A．B． C． D．‎ ‎6.已知下列四个关系：①；②；③，；④，．其中正确的有（ ）‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解析】①③正确.‎ ‎7.已知点是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，若，则点的横坐标为（ ）‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8. 如图所示，小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图，它可以看做由一个长方体截得，且长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，所以该几何体的体积为，故选A．‎ x y O x y O x y O x y O ‎9．的部分图像大致为 A B C D ‎10．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法不正确的是 ‎ A．函数的图像关于直线对称 B．函数的一个零点为 ‎ C．函数在区间上单调递增 D．函数的最小正周期为 ‎11.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点为双曲线上一点，若△的内切圆半径为，则该双曲线的方程为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，（），则，又，所以，即.由双曲线的定义，得，所以，.由得，代入①，得，则，故所求双曲线的方程为，选A.‎ ‎12.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 依题意，或，‎ ‎ 令，‎ 则，‎ 所以当时，，当时，，‎ 当时，，当时，，‎ 所以或，即或，故选A.‎ ‎13.已知数列满足，，则．‎ ‎14.已知平行四边形中， 为的中点，在上且，若,则．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎15.满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎16.已知在四棱锥中，平面平面，且是边长为的正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎17.已知等差数列的前项和为，且满足，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎18.甲、乙两陶瓷厂生产规格为的矩形瓷砖（长和宽都约为），根据产品出厂检测结果，每片瓷砖质量（单位：）在之间的称为正品，其余的作为废品直接回炉处理.正品瓷砖按行业生产标准分为“优等”、“一级”、“合格”三个标准，主要按照每片瓷砖的“尺寸误差”加以划分，每片价格分别为 元、元、元. ‎ 若规定每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为a,b(单位：mm)，则“尺寸误差”为， “优等”瓷砖的“尺寸误差” 范围是，“一级”瓷砖的“尺寸误差”范围是，“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围是.现分别从甲、乙两厂生产的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：‎ 尺寸误差 频数 ‎0‎ ‎10‎ ‎0.1‎ ‎30‎ ‎0.2‎ ‎30‎ ‎0.3‎ ‎5‎ ‎0.4‎ ‎10‎ ‎0.5‎ ‎5‎ ‎0.6‎ ‎10‎ 尺寸误差 频数 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.7‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎（甲厂产品的“尺寸误差”频数表） （乙厂产品的“尺寸误差”柱状图）‎ ‎（Ⅰ）根据样本数据分别计算甲、乙两厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值；‎ ‎（Ⅱ）若用这个样本的频率分布估计总体分布，求乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅲ）现用分层抽样的方法从甲厂生产的100片样本瓷砖中随机抽取20片，再从抽取的20片瓷砖中的“一级”瓷砖与“合格”瓷砖中随机选取2片进一步分析其“平整度”，求这2片瓷砖的价格之和大于12元的概率.‎ 解：（Ⅰ）甲厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值为：‎ ‎ （30×0.1+30×0.2+5×0.3+10×0.4+5×0.5+10×0.6）÷100=0.23‎ ‎ 乙厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值为：‎ ‎ （30×0.1+25×0.2+5×0.3+10×0.4+5×0.5+5×0.6+5×0.7）÷100=0.225）‎ ‎（Ⅱ）乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格为：‎ ‎ [(15+30+25)×7.5+(5+10+5)×6.5+(5+5)×5]÷100=7.05 ‎ ‎（Ⅲ）用分层抽样的方法从甲厂生产的100片样本瓷砖中随机抽取20片，‎ ‎ 则“一级”瓷砖抽取=4片，记为A、B、C、D；‎ ‎ “合格”瓷砖瓷砖抽取=2片，记为E、F；‎ 从中选取2片有：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15种选法；其中价格之和大于12元，即选取的2片都为“一级”瓷砖的有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种选法. …………(11分）‎ ‎ 所以选取的2片瓷砖的价格之和大于12元的概率.‎ ‎19.如图，在五面体中，四边形为矩形，平面平面，∥，，为的中点，且∥平面.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面;‎ ‎（Ⅱ）若，，求与平面所成的角的正弦值.‎ 解：（Ⅰ）AB∥CD，ACCD，ACAB ‎ 四边形为矩形，平面，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ PA平面ABCD，AC平面ABCD，PAAC ‎ 又PAAB=A，PA，AB平面ABQP，AC平面ABQP.‎ ‎ （Ⅱ）AC=，BC=2，ACAB，‎ ‎ ，即AB=1 ‎ ‎ 取QC的中点F，连接EF，FB.‎ ‎ E，F分别QD，QC的中点，EF∥CD ‎ 又AB∥CD，EF∥AB ‎ ‎ E，F，B，A确定平面ABFE， ‎ ‎ 又AE∥平面QBC，AE平面ABFE，‎ ‎ 平面QBC平面ABFE=BF，AE∥BF，又EF∥AB ‎ ABFE为平行四边形 ‎ AB=EF=CD=1.CD=2 ‎ ‎ =‎ ‎ 四边形ABQP为矩形,PA平面ABCD,QB平面ABCD，又E为QD的中点 ‎ E到平面ABCD的距离为QB=1‎ ‎ ==. ‎ ‎ ‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆所得的弦长为.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设是椭圆上的点，直线与（为坐标原点）的斜率之积为.若动点满足,是探究是否存在两个定点,使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由 解：（Ⅰ）.‎ ‎（II）设，，，则由得 即，‎ 因为点，在椭圆上，‎ 所以，，‎ 故 设，分别为直线与的斜率，由题意知，‎ ‎，因此 所以，‎ 所以点是椭圆上的点，‎ 所以由椭圆的定义知存在点、，满足为定值 又因为，‎ 所以、坐标分别为、．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，.‎ 解：(Ⅰ)‎ ‎ 若，则，函数在上单调递增；则，不满足恒成立.‎ ‎ 若，由得；由得 函数在上单调递增；在上单调递减. ）‎ ‎，又恒成立 ‎，即，解得：‎ ‎ 综上所述，实数的取值范围为. ‎ ‎（用分离参数的方法也可以）‎ ‎ （Ⅱ）法一:由得 由(Ⅰ)可知，当时，恒成立，即 ‎ ，又，‎ ‎ 所以 ‎ 记，则 ‎ 记,则，由得 ‎ 当时，；当时，‎ ‎ 函数在上单调递减；在上单调递增.‎ ‎ 所以 ‎ ，即，故函数在上单调递增 ‎ 即 ‎ 所以. ‎ ‎ 法二：记，‎ ‎ 记，‎ ‎ ，，且函数在上单调递增 ‎ 存在唯一的使得，即 ‎ ‎ 当时，，当时，‎ ‎ 函数在上单调递减；在上单调递增 ‎ ，又，即 ‎ ，所以，即 ‎ 在上单调递增 ）‎ ‎ （1）当时，‎ ‎ （2）当时，‎ ‎ 又，且，‎ ‎ 所以 ‎ 由（1）（2）可知当时，. ‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），线段（为坐标原点）的中点在曲线上，设动点的轨迹为曲线．在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程.‎ ‎（Ⅱ）若直线与轴交于点，与曲线交于点，求.‎ ‎【解析】（Ⅰ）直线的直角坐标方程为， ‎ ‎ 曲线的普通方程为. ‎ ‎ （Ⅱ）设D(x，y)，则由条件知M在C1上，‎ ‎ 所以:, 即. ‎ ‎ 易知点P，‎ ‎ 设直线的参数方程为(为参数)，代入:‎ ‎ 得到：，设，‎ ‎ 则，，‎ ‎ 故 ）‎ ‎23.已知，函数 ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若函数的最小值为2，求的最大值.‎ 解：（Ⅰ）当时，‎ ‎ 即 ‎ 或或 ‎ 或 ‎ 解得不等式解集为。 ‎ ‎ （Ⅱ）因为 ‎ ‎ ‎ 当且仅当时取等号； ‎ ‎ 所以 又（当且仅当时取等号）；‎ ‎ ，所以的最大值为. ‎