高中数学讲义微专题100 利用同构特点解决问题

高中数学讲义微专题100 利用同构特点解决问题

- 1 - 微专题 100 利用同构特点解决问题 一、基础知识： 1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式 2、同构式的应用： （1）在方程中的应用：如果方程 和 呈现同构特征，则 可视为方程 的两个根 （2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函 数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式 （3）在解析几何中的应用：如果 满足的方程为同构式，则 为方程所 表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线 的方程 （4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于 与 的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解 二、典型例题： 例 1：（2015 天津十二校联考）设 ，满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 思 路 ： 本 题 研 究 对 象 并 非 ， 而 是 ， 进 而 可 变 形 为 ，观察上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构 视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性 质求解 解： 设 ，可得 为奇函数，由题意可得：   0f a    0f b  ,a b   0f x     1 1 2 2, , ,A x y B x y ,A B AB  ,na n  1, 1na n  ,x y R         5 5 1 2 sin 1 3 1 2 sin 1 1 x x x y y y            x y  0 2 4 6 ,x y    1 , 1x y              5 5 1 2 1 sin 1 1 1 2 1 sin 1 1 x x x y y y                       5 5 1 2 sin 1 3 1 2 sin 1 1 x x x y y y                         5 5 1 2 1 sin 1 1 1 2 1 sin 1 1 x x x y y y                 5 2 sinf t t t t    f t     1 1 1 1 f x f y         1 1f x f y     - 2 - 答案：B 例 2：若函数 在区间 上的值域为 ，则实数 的取 值范围是_____________ 思路：注意到 是增函数，从而得到 ，即 ，发现两 个式子为 的同构式，进而将同构式视为一个方程，而 为该方程的两个根， 的取值 只需要保证方程有两根即可 解： 为增函数 为方程 在 上的两个根，即 有两个不同的根 令 所以方程变形为： ，结合图像可得： 答案： 例 3：设 ，则|“ ”是“ ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件　 D. 既不充要又不必要条件 思路：观察 可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数 ，分析其 单调性。 可得 为增函数。所以 ，即  1 1 2x y x y          1f x x m    ,a b  , 12 2 a b b a      m  f x    ,2 2 a bf a f b  1 2 1 2 aa m bb m         ,a b ,a b m  f x    ,2 2 a bf a f b    1 2 1 2 aa m bb m         ,a b 1 2 xx m    1, 12 xm x     21 0 1t x t x t         2 21 11 2 12 2m t t t t      10, 2m     10, 2m     ,a b RÎ a b> a a b b> a a b b>  f x x x   2 2 , 0 , 0 x xf x x x x x       f x ( ) ( )a b f a f b> Û > - 3 - ，所以是充要条件 答案：C 例 4：若 ，则（ ） A. B. C. D. 答案：C 思路：本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将 分居在不等式两侧后都具备 同构的特点， 所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在 的单调性即可 解： A 选项： ，设 ，设 ，则有 恒成立，所以 在 单调递增，所以 ，从而存在 ，使得 ，由单调性可判断出： ，所以 在 不单调，不等式不会恒成立 B 选项： ，设 可知 单调递增。所以应该 ，B 错误 C 选 项 ： ， 构 造 函 数 ， ， 则 在 恒成立。所以 在 单调递减，所以 成立 D 选项： ，同样构造 ，由 C 选项分析可知 D 错误 答案：C 例 5：已知函数 是定义在实数集 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 都有 a b a a b b> Û > 1 20 1x x   2 1 2 1ln lnx xe e x x   1 2 2 1ln lnx xe e x x   1 2 2 1 x xx e x e 1 2 2 1 x xx e x e 1 2,x x  0,1 2 1 2 1 2 1 2 1ln ln ln lnx x x xe e x x e x e x         lnxf x e x   ' 1 1x x xef x e x x       1xg x xe     ' 1 0xg x x e    g x  0,1    0 1 0, 1 1 0g g e       0 0,1x   0 0g x             ' ' ' ' 0 00, , 0 0, ,1 , 0 0x x g x f x x x g x f x         f x  0,1 1 2 1 2 2 1 1 2ln ln ln lnx x x xe e x x e x e x         lnxf x e x   f x    1 2f x f x 1 2 1 2 2 1 1 2 x x x x e ex e x e x x     xef x x    ' 2 1 xx ef x x   ' 0f x   0,1x   f x  0,1    1 2f x f x 1 2 1 2 2 1 1 2 x x x x e ex e x e x x     xef x x  f x R x - 4 - ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 思路：观察条件可变形为： ，从而得到等式左右的结构均为 的形式， 且括号内的数间隔为 1。所以 。因为 为偶函数，所以 ，由 可得 ，进而 答案：A 例 6：如果 ，那么 的取值范围是________ 思路：本题很难直接去解不等式，观察式子特点可发现若将关于 的项分居在不等 号两侧： ，则左右呈现同构的特点，将相同的结构设为函 数 ，能够判断 是奇函数且单调递增。所以不等式 等 价 于 ， 即 ， 所 以 ，结合 ，可得 答案： 例 7：如图，设点 在直线      1 1xf x x f x   2015 2f      0 1 2 1 5 2    1 1 f x f x x x    f t t 2015 2013 1 1 2 2 2 2 2015 2013 1 1 2 2 2 2 f f f f                            f x 1 1 2 2f f           1 1 2 2 1 1 2 2 f f           1 1 02 2f f            2015 20152 0 02015 2 2 f f               5 5 3 3cos sin 7 sin cos , 0,2          sin ,cos  5 3 5 3cos 7cos sin 7sin        5 37f x x x   f x    cos sinf f  cos sin  sin cos 0 2 sin 04            2 24k k k Z         0,2  5 4 4       ， 5 4 4       ，  0 0,P x y - 5 - 上，过点 作双曲线 的两条切线 ， 切点为 ，求证：直线 过某一个定点 解：设 ， 的斜率为 则 ，联立方程 消去 可得： ，整理可得： ，因为 与双曲线相切 所以 代入可得： 即 即 同理，切线 的方程为 在切线 上，所以有 满足直线方程 ，而两点唯一确定一条直线 所以当 时，无论 为何值，等式均成立 点 恒在直线 上，故无论 在何处， 恒过定点 例 8：已知椭圆 中心在原点，焦点在 轴上，它的一个顶点为 ，离心率为  ,0 1,x m y m m m     且 为常数 P 2 2 1x y  ,PA PB ,A B AB    1 1 2 2, , ,A x y B x y PA k  1 1:PA y y k x x    1 1 2 2 1 y y k x x x y      y   22 1 1 1x kx kx y            22 2 1 1 1 11 2 1 0k x k y kx x y kx       PA       2 22 2 2 1 1 1 14 4 1 4 1 0k y kx k y kx k            2 2 1 14 4 1 0y kx k        2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 12 1 0 1 2 1 0k x kx y y k x k kx y y           2 2 1 1 1x y  2 2 2 2 1 1 1 11 , 1x y y x     2 2 2 1 1 1 12 0y k x y k x    2 1 1 0y k x  1 1 xk y  1 1 1 1 1 1 : 1xPA y y x x y y x xy       PB 2 1 1y y x x   0,P m y ,PA PB 0 1 1 0 2 2 1 1 y y mx y y mx      ,A B 0 1y y mx  0: 1AB y y mx   1 0 x m y     0y  1 ,0m      AB P AB 1 ,0m      C x  0,1 2 55 - 6 - （1）求椭圆 的方程 （2）过右焦点 作直线 交椭圆于 ，交 轴于 ，若 ，求 解：（1） 解得 （2）思路：本题肯定从 入手，将向量关系翻译成坐标的方程，但观 察发现两个等式除了 不同，系数 不同，其余字母均相同。且 也 仅是角标不同。所以可推断由 列出的方程是同构的，而 在同一椭 圆上，所以如果用 表示 ，代入椭圆方程中也可能是同构的。通过计算可得： ，所以 为方程 的两个不同根，进而利 用韦达定理即可得到 解：由（1）得 ，设直线 ，可得 ，设 可得： ，由 可得： ① 因为 在椭圆上， ，将①代入可得： 对于 ， ， 同理可得： C F l ,A B y R ,RA AF RB BF        2 5 ce a  1b  2 2 2 1a c b   5, 2a c  2 2: 15 xC y   ,RA AF RB BF      ,A B ,     1 1 2 2, , ,A x y B x y ,RA AF RB BF      ,A B ,  1 2 1 2, , ,x x y y 2 2 2 2 10 5 20 0 10 5 20 0 k k              ,  2 210 5 20 0x x k    10     2,0F  : 2l y k x   0, 2R k    1 1 2 2, , ,A x y B x y    1 1 1 1, 2 , 2 ,RA x y k AF x y      RA AF    1 1 1 1 1 1 2 2 1 22 1 xx x ky k y y                  A 2 2 1 15 5x y     2 2 22 22 2+5 =5 4 20 5 11 1 k k                   2 210 5 20 0k          2 2 2 2, 2 , 2 ,RB x y k BF x y      RB BF  2 210 5 20 0k      - 7 - 为方程 的两个不同根 例 9 ： 已 知 函 数 ， 为 正 常 数 ， 若 ， 且 对 任 意 ，都有 ，求 的取值范围． 思路：观察到已知不等式为轮换对称式，所以考虑定序以便于化简，令 ，则不等式变 形为 ，将相同变量放置一侧，可发现左右具备同构特点，所以将相同 结构视为函数 ，从而由 且 可知只需 为增函数即 可。从而只需不等式 恒成立即可，从而求出 的范围 解： ，不妨设 ，则恒成立不等式转化为： 设 ，则由 恒成立和 可得： 只需 在 单调递增即可 恒成立 即 恒成立 所以只需 令 在 单调递减，在 单调递增 ,  2 210 5 20 0x x k    10       1 ax x   a    lng x x x   1 2 1 2, 0,2 ,x x x x     2 1 2 1 1g x g x x x    a 2 1x x    2 1 1 2g x g x x x      h x g x x  2 1x x    2 1h x h x  h x  ' 0h x  a   ln 1 ag x x x   1 2x x        2 1 1 2 2 2 1 1g x g x x x g x x g x x           ln 1 ah x g x x x xx        2 1h x h x 1 2x x  h x  0,2  ' 0h x      ' 2 1 1 1 ah x x x      2 1 1 0 1 a x x         2 2 11 xa x x       2 2 min 11 xa x x              2 2 11 xp x x x               2 2 ' 2 2 2 1 1 1 2 12 1 x x x x xp x x x x           p x 10, 2      1 ,22       min 1 27 2 2p x p      - 8 - 例 10：已知数列 满足 ，且 求数列 的通项公式 思路：本题递推公式较为复杂，所以考虑先化简分式，观察到分子中含有分母的项，所以想 到分离常数简化分式，即 ，寻求相邻同构的特点，转化为 ，即可设 ，递推公式变为 ，则能够求出 通 项公式，进而求出 解： 设 ，则递推公式变为 ，且 为公差是 的等差数列 270 2a    na 1 2 3a t   , 1t R t      1 1 2 3 2 1 1 2 1 n n n n n n t a t t a a t           na   1 1 2 1 1 1 2 1 n n n n n t a a a t         1 1 121 1 11 21 n nn n n n a a t at t       1 1 n n n ab t   1 2 2 n n n bb b   nb na    1 1 2 3 2 1 1 2 1 n n n n n n t a t t a a t                1 1 12 2 2 2 2 1 2 1 1 12 1 2 1 n n n n n n n n n n n t a t a t t a a t a t                    1 1 2 1 1 1 2 1 n n n n n t a a a t                  1 1 1 1 122 11 1 1 2 12 11 1 1 n nnn n nnn n nn n a aa a t a ta tt t t                 1 1 n n n ab t   1 2 2 n n n bb b   1 1 1 2 1 1 1 2 2 n n n n n b b b b b       1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 t t b a t       1 nb      1 2   1 1 1 1 11 2 2n n nb b      - 9 - ，解得 小炼有话说：同构式在处理数列问题时，通常应用在构造辅助数列求通项公式。当递推公式 比较复杂时，构造出 和 的同构式，其中关于 的表达式构造出 分别与 和 相对应，进而寻找到辅助数列。 1 1 2 n n t n a    2 1 1 n n t a n    na 1na  n    , 1f n f n  na 1na 