浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测九平面解析几何

浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测九平面解析几何

单元检测九　平面解析几何 ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 第Ⅰ卷(选择题　共40分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．直线l经过点(，－2)和(0,1)，则它的倾斜角是(　　)‎ A．30°B．60°C．150°D．120°‎ 答案　D 解析　由斜率公式k＝＝＝－，再由倾斜角的范围[0°，180°)知，tan120°＝－，故选D.‎ ‎2．直线kx－y－3k＋3＝0过定点(　　)‎ A．(3,0) B．(3,3) C．(1,3) D．(0,3)‎ 答案　B 解析　kx－y－3k＋3＝0可化为y－3＝k(x－3)，所以过定点(3,3)．故选B.‎ ‎3．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)‎ A.B．2C．1D．3‎ 答案　A 解析　圆的圆心为(3,0)，r＝1，圆心到直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝2，所以由勾股定理可知切线长的最小值为＝.‎ ‎4．一束光线从点A(－1,1)发出，并经过x轴反射，到达圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是(　　)‎ A．4B．5C．3－1D．2 答案　A 解析　依题意可得，点A关于x轴的对称点A1(－1，－1)，圆心C(2,3)，A1C的距离为＝5，所以到圆上的最短距离为5－1＝4，故选A.‎ ‎5．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|－|，其中O为原点，则实数a的值为(　　)‎ A．2B．－2C．2或－2D.或－ 答案　C 解析　由|＋|＝|－|得|＋|2＝|－|2，化简得·＝0，即⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即＝，a＝±2.‎ ‎6．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 答案　B 解析　由已知条件得直线l的斜率为k＝kFN＝1，‎ 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 两式相减并结合x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30‎ 得，＝，从而＝1，即4b2＝5a2，‎ 又a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故选B.‎ ‎7．(2018·绍兴市、诸暨市模拟)如图，已知点P是抛物线C：y2＝4x上一点，以P为圆心，r为半径的圆与抛物线的准线相切，且与x轴的两个交点的横坐标之积为5，则此圆的半径r为(　　)‎ A．2 B．5‎ C．4 D．4‎ 答案　D 解析　设圆与x轴的两个交点分别为A，B，由抛物线的定义知xP＝r－1，则P(r－1,2)，又由中垂线定理，知|OA|＋|OB|＝2(r－1)，且|OA|·|OB|＝5，故由圆的切割线定理，得(2)2＝(1＋|OA|)(1＋|OB|)，展开整理得r＝4，故选D.‎ ‎8．(2018·绍兴市、诸暨市模拟)已知双曲线的标准方程为－＝1，F1，F2为其左、右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2＝，tan∠PF2F1＝2，则此双曲线的离心率为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　A 解析　由tan∠PF1F2＝，tan∠PF2F1＝2知，‎ PF1⊥PF2，作PQ⊥x轴于点Q，‎ 则由△PF1Q∽△F2PQ，得|F1Q|＝4|F2Q|＝c，‎ 故P，‎ 代入双曲线的方程，有b22－a2·2＝a2b2，‎ 又a2＋b2＝c2，则(9c2－5a2)(c2－5a2)＝0，‎ 解得＝或＝(舍)，即离心率e＝，故选A.‎ ‎9．(2019·宁波模拟)设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(5,0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，若|BF|＝5，则△BCF与△ACF的面积之比等于(　　)‎ A.B.C.D. 答案　D 解析　由题意知直线AB的斜率存在，‎ 则由抛物线的对称性不妨设其方程为y＝k(x－5)，k>0，‎ 与抛物线的准线x＝－1联立，得点C的坐标为(－1，－6k)，‎ 与抛物线的方程y2＝4x联立，消去y得 k2x2－(10k2＋4)x＋25k2＝0，‎ 则xA＋xB＝，xAxB＝25，‎ 又因为|BF|＝xB＋1＝5，所以xB＝4，‎ 代入解得xA＝，k＝4，‎ 则yA＝5，yB＝－4，yC＝－24，‎ 则S△ACF＝|PF|·|yA－yC|＝58，‎ S△ABF＝|PF||yA－yB|＝18，‎ 则＝1－＝，故选D.‎ ‎10．已知直线l：kx－y－2k＋1＝0与椭圆C1：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，与圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于C，D两点．若存在k∈[－2，－1]，使得＝，则椭圆C1的离心率的取值范围是(　　)‎ A.B.C.D. 答案　C 解析　直线l过圆C2的圆心，∵＝，‎ ‎∴||＝||，∴C2的圆心为线段AB的中点．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减得，‎ ＝－，‎ 化简可得－2·＝k，‎ 又∵a>b，∴＝－∈，‎ 所以e＝∈.‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共110分)‎ 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)‎ ‎11．(2018·台州质检)已知直线l1：mx＋3y＝2－m，l2：x＋(m＋2)y＝1，若l1∥l2，则实数m＝________；若l1⊥l2，则实数m＝________.‎ 答案　－3　－ 解析　l1∥l2等价于解得m＝－3.‎ l1⊥l2等价于m＋3(m＋2)＝0，解得m＝－.‎ ‎12．(2018·浙江十校联盟考试)抛物线y＝4x2的焦点坐标是________，焦点到准线的距离是________．‎ 答案　　 解析　由y＝4x2，得x2＝，可得2p＝，所以p＝，即焦点的坐标为，焦点到准线的距离为.‎ ‎13．(2018·衢州模拟)已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，|AB|＝2，圆C的半径为________；圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．‎ 答案　　－1－ 解析　设圆心C(1，b)，则半径r＝b.‎ 由垂径定理得，1＋2＝b2，‎ 即b＝，且B(0,1＋)．‎ 又由∠ABC＝45°，切线与BC垂直，‎ 知切线的倾斜角为45°，‎ 故切线在x轴上的截距为－1－.‎ ‎14．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为________，如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为________．‎ 答案　2　4 解析　由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，‎ 可知双曲线渐近线y＝x的倾斜角为，‎ 即＝，所以e＝＝＝2，‎ 因为a＝2，从而b＝＝2，‎ 所以虚轴长为4.‎ ‎15．已知点A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点为F，线段FA与抛物线C相交于点M，FA的延长线与抛物线的准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶3，则实数a的值为________．‎ 答案　 解析　依题意得焦点F的坐标为，‎ 设点M在抛物线的准线上的射影为K，连接KM(图略)，‎ 由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，‎ 因为|FM|∶|MN|＝1∶3，‎ 所以|KN|∶|KM|＝2∶1，‎ 又kFN＝＝，kFN＝－＝－2，‎ 所以＝2，解得a＝.‎ ‎16．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A(2,1)，B是E上不同的两点，且四边形AF1BF2是平行四边形，若∠AF2B＝，＝，则双曲线E的标准方程为________．‎ 答案　－y2＝1‎ 解析　如图，‎ 因为四边形AF1BF2是平行四边形，‎ 所以＝，‎ ‎∠F1AF2＝，‎ 所以|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos，‎ 即4c2＝|AF1|2＋|AF2|2－|AF1||AF2|，①‎ 又4a2＝(|AF1|－|AF2|)2，‎ 所以4a2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|，②‎ 由①②可得|AF1||AF2|＝4b2，‎ 又＝×4b2×＝，‎ 所以b2＝1，将点A(2,1)代入－y2＝1，可得a2＝2，‎ 故双曲线E的标准方程为－y2＝1.‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，A(3,0)，P(3，t)，t∈R，若存在C，D两点满足＝＝2，且＝2，则t的取值范围是________．‎ 答案　[－2，2]‎ 解析　设C(x，y)，因为A(3,0)，＝2，‎ 所以＝2，‎ 整理得(x＋1)2＋y2＝4，‎ 即点C在圆M：(x＋1)2＋y2＝4上．‎ 同理由＝2可得点D也在圆M上．‎ 因为＝2，所以C是PD的中点，‎ 过点M作MN⊥CD，垂足为N，连接CM，PM.‎ 设|MN|＝d，|PC|＝|CD|＝2k，分别在Rt△CMN，Rt△PMN中，由勾股定理，得 消去k2得，t2＝20－8d2.‎ 因为0≤d2<4，所以t2≤20，解得－2≤t≤2，‎ 所以t的取值范围是[－2，2]．‎ 三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎18．(14分)已知过点A(0,1)，且斜率为k的直线l与圆C：‎ ‎(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N两点．‎ ‎(1)求实数k的取值范围；‎ ‎(2)求证：·为定值．‎ ‎(1)解　由题意过点A(0,1)且斜率为k的直线的方程为y＝kx＋1，‎ 代入圆C的方程得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，‎ 因为直线与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N两点，‎ 所以Δ＝[－4(1＋k)]2－4×7×(1＋k2)>0，‎ 解得1)，设直线PM的斜率为k.‎ ‎(1)试用a，k表示弦长|MN|；‎ ‎(2)若这样的△PMN存在3个，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)不妨设直线PM所在的直线方程为y＝kx－1(k<0)，代入椭圆方程＋y2＝1，‎ 整理得(1＋a2k2)x2－2ka2x＝0，‎ 解得x1＝0，x2＝，‎ 则|PM|＝|x1－x2|＝－，‎ 所以|MN|＝|PM|＝－.‎ ‎(2)因为△PMN是等腰直角三角形，‎ 所以直线PN所在的直线方程为y＝－x－1(k<0)，‎ 同理可得|PN|＝－＝.‎ 令|PM|＝|PN|，整理得k3＋a2k2＋a2k＋1＝0，‎ k3＋1＋a2k(k＋1)＝0，‎ ‎(k＋1)(k2－k＋1)＋a2k(k＋1)＝0，‎ 即(k＋1)[k2＋(a2－1)k＋1]＝0.‎ 若这样的等腰直角三角形PMN存在3个，则方程k2＋(a2－1)k＋1＝0有两个不等于－1的负根k1，k2，‎ 则 因为a>1，所以a>.‎ ‎20．(15分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，其上顶点到直线3x＋4y－1＝0的距离等于.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，交x轴的负半轴于点E，交y轴于点F(点E，F都不在椭圆上)，且＝λ1，＝λ2，λ1＋λ2＝－8，证明：直线l恒过定点，并求出该定点．‎ 解　(1)由椭圆C的长轴长为4知2a＝4，故a＝2，‎ 椭圆的上顶点为(0，b)，则由＝得b＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，E(m,0)(m<0，m≠－2)，F(0，n)，‎ 由＝λ1，得(x1，y1－n)＝λ1(m－x1，－y1)，‎ 所以A.‎ 同理由＝λ2，得B，‎ 把A，B分别代入＋y2＝1‎ 得： 即λ1，λ2是关于x的方程(4－m2)x2＋8x＋4－4n2＝0的两个根，∴λ1＋λ2＝＝－8，‎ ‎∴m＝－，所以直线l恒过定点(－，0)．‎ ‎21．(15分)已知抛物线C：y2＝2px(p>1)上的点A到其焦点的距离为，且点A在曲线x＋y2－＝0上．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线C上异于原点的两点，Q(x0，y0)是线段MN的中点，点P是抛物线C在点M，N处切线的交点，若|y1－y2|＝4p，证明：△PMN的面积为定值．‎ ‎(1)解　设点A(xA，yA)，‎ ‎∵点A到抛物线焦点的距离为，‎ ‎∴xA＝－，y＝2pxA＝2p，‎ 又点A在曲线x＋y2－＝0上，‎ ‎∴－＋2p－＝0，‎ 即p2－p＋1＝0，解得p＝2或p＝(舍去)，‎ ‎∴抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)证明　由(1)知M，N，|y1－y2|＝8，‎ 设抛物线C在点M处的切线的斜率为k(k≠0)，‎ 则该切线的方程为y－y1＝k，‎ 联立方程得消去x，整理得 ky2－4y＋4y1－ky＝0，‎ ‎∵M是切点，∴Δ＝16－4k(4y1－ky)＝0，‎ 即4－4ky1＋k2y＝0，解得k＝，‎ ‎∴直线PM的方程为y－y1＝(x－)，即y＝x＋，‎ 同理得直线PN的方程为y＝x＋，‎ 联立方程得解得 ‎∴P，‎ ‎∵Q是线段MN的中点，∴y0＝，‎ ‎∴PQ∥x轴，且x0＝＝，‎ ‎∴△PMN的面积S＝|PQ|·|y1－y2|‎ ‎＝·|y1－y2|‎ ‎＝·|y1－y2|‎ ‎＝|y1－y2|3＝32，‎ 即△PMN的面积为定值．‎ ‎22．(15分)(2018·嘉兴测试)如图，已知抛物线x2＝y，过直线l：y＝－上任一点M作抛物线的两条切线MA，MB，切点分别为A，B.‎ ‎(1)求证：MA⊥MB；‎ ‎(2)求△MAB面积的最小值．‎ ‎(1)证明　方法一　设M，‎ 易知直线MA，MB的斜率都存在，分别设为k1，k2，‎ 设过点M的抛物线的切线方程为y＋＝k(x－x0)，‎ 由得x2－kx＋kx0＋＝0，‎ Δ＝k2－4kx0－1＝0，‎ 由题意知，k1，k2是方程k2－4x0k－1＝0的两个根，‎ 所以k1k2＝－1，所以MA⊥MB.‎ 方法二　设M，A(x1，x)，B(x2，x)，‎ 易知直线MA，MB的斜率都存在，分别设为k1，k2.‎ 由y＝x2，得y′＝2x，‎ 则MA，MB的斜率分别为k1＝2x1，k2＝2x2，‎ 所以2x1＝，整理得x＝2x1x0＋，‎ 同理可得，x＝2x2x0＋，‎ 两式相减得，x－x＝2x0(x1－x2)，‎ 因为x1≠x2，所以x1＋x2＝2x0，‎ 于是x＝x1(x1＋x2)＋，‎ 所以x1x2＝－，即k1k2＝4x1x2＝－1，‎ 所以MA⊥MB.‎ ‎(2)解　由(1)得k1＝2x1，k2＝2x2，‎ 所以A，B，‎ 易知k1k2＝－1，k1＋k2＝4x0，‎ 所以|MA|＝|yA－yM|＝ ‎＝，同理，|MB|＝，‎ 所以S△MAB＝|MA|·|MB|＝· ‎＝＝ ‎＝≥＝.‎ 综上，当x0＝0时，△MAB的面积取得最小值，最小值为.‎