数学理卷·2017届江西省南昌市十所省重点中学命制高三第二次模拟突破冲刺（五）（2017

数学理卷·2017届江西省南昌市十所省重点中学命制高三第二次模拟突破冲刺（五）（2017

‎ 2017届高三数学（理）试卷（5）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知全集U＝R，集合，，则∩=‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数z与复数在复平面内对应的点关于实轴对称，则复数z的虚部为 A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知在平面直角坐标系中，A，B，若，则 A． B．3 C． D．65‎ ‎4．某大学为了了解大一新生对舞蹈社团的关注程度，在大一年级的学生中，随机抽取了30名学生进行一次调查，列出了如下列联表：‎ 希望参加舞蹈社团 不想参加舞蹈社团 合计 男 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ 女 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 合计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 则可以说大一年级学生参加舞蹈社团与性别有关的把握为 A．1% B．95% C．99% D．99.9%‎ 附：参考公式和临界值表 ‎(其中n=a+b+c+d为样本总量).‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎5．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为，每次输入的值均为，输出的值为，则输入的值为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3‎ ‎6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎7. 已知抛物线上一点P(－4，4)，直线交抛物线于点，设直线 的斜率分别为，则的最小值为 A.4 B.3 C.2 D.1 ‎ ‎8.在△ABC中，，，△ABC的面积为4，则AC边上的高为 A. B. C. D. ‎ ‎9．已知实数x，y满足若的最大值是2，则实数a＝‎ A．－1 B．1 C．－3 D．2‎ ‎10．将函数的图象向右平移个单位长度，得到相应函数的图象关于点对称，则的值不可能是 A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线Γ：的焦距为2c，直线．若，则l与Γ的左、右两支各有一个交点；若，则l与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数在区间（0，1）上有且只有一个极值点，则实数a的取值范围为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．为了调查观众对央视某节目的关注度，现从某社区随机抽取20名青年人进行调查，再从中挑选4名做进一步调查，则20名青年人中的小张、小李至少有1人被选中，而小汤没有被选中做进 一步调查的不同选法为 .（用数字作答）‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，角α为直线y＝3x＋1的倾斜角，则的值是 .‎ ‎15．已知正三棱柱，，则该正三棱柱的外接球的表面积与其内切球的表面积比为 ．‎ ‎16．已知函数，若方程有四个不同的实根，满足，则的取值范围为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}的首项为2，且点在一指数函数的图象上.‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）设数列{an}的前n项和为，且，求数列的前n项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 某大学的学生随机调查了20到70岁之间的600位上网购物者的年龄情况，并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图）.‎ ‎（I）求频率分布直方图中实数的值及样本中年龄在内的人数；‎ ‎（II）现将年龄在内的人群定义为“高消费人群”，年龄在内的人群定义为“低消费人群”，其他年龄段的人群定义为“中消费人群”， 现采用分层抽样的方法从参与调查的上网购物者中“高消费人群”及“低消费人群”共随机抽取7人，再从这7人中任选2人，设这2人来自“高消费人群”的人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图所示，在多面体中，与均为边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面．‎ ‎（I）求证：平面平面；‎ ‎（II）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知点在椭圆上，设分别为椭圆的左顶点、上顶点、下顶点，且点到直线的距离为．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设为椭圆上的两点，且满足，求证：的面积为定值，并求出这个定值．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)＝xln x－ax2(a∈R)的图象过点（1，－1）.‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）若函数，，证明：函数图象在函数的图象的上方.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线C1是以C1(3，1)为圆心，为半径的圆．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2：.‎ ‎（1）求曲线C1的参数方程与直线C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线C2与曲线C1相交于A，B两点，求△ABC1的周长.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若对任意的x＞0恒成立，求实数的最小值；‎ ‎（2）若函数求函数的值域．‎ ‎2017届高三 数学（理）参评试卷参考答案 ‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 【答案】C ‎【解析】 由得，，则.又B＝{x|x≤3}，故∩={x|0＜x≤3}．故选C.‎ ‎2. 【答案】 A ‎【解析】 因为，又复数与对应的点关于实轴对称，所以复数，所以复数z的虚部为，故选A.‎ ‎3. 【答案】C ‎【解析】 ，得，∴， ，∴，故选C.‎ ‎4．【答案】 C ‎ ‎【解析】 假设参加舞蹈社团与性别无关，则的观测值，所以有的把握认为参加舞蹈社团与性别有关，故选C．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】‎ 由程序框图，得；‎ ‎，结束循环，即输入n的值为4.故选C.‎ ‎6. 【答案】D ‎【解析】 由三视图可知，该几何体是一个正方体（棱长为2）挖去一个半圆锥（高为2，半径为1）组合而成的简单组合体，所以其体积为，故选D．‎ ‎7. 【答案】D ‎【解析】设点，联立方程得消去y，得，由根与系数的关系，得.又， 所以 ‎，所以的最小值为1. 故选D.‎ ‎8. 【答案】A ‎【解析】 ‎ 因为△ABC的面积为4，所以，所以，解得．由余弦定理可得，设AC边上的高为，则，即，得．故选A.‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】 不等式组表示的平面区域是以点（0，0）、（0，1）和为顶点的三角形（包括边界），当a=0时，，最大值不是2，舍去；当a≠0时，即，当，即a＜－1时，经过点，z取得最大值，解得a=－3；当，即a＞0或－1≤ a＜0时，经过点(0，1)时，z取得最大值1，不符合题意.故a=－3.‎ 故选C.‎ ‎10．【答案】C ‎ ‎【解析】为，所以，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为，因为该函数的图象关于点对称，可得即，所以，‎ 若，则，所以的值不可能是，故选C.‎ ‎11．【答案】C ‎【解析】 因为，所以直线．由得， ①.‎ 因为，则l与Γ的左、右两支各有一个交点，所以方程①有两个不相等的异号实根，所以，得；‎ 因为，则l与Γ的右支有两个不同的交点，所以方程①有两个不相等的正实根，所以得.综上，，所以，所以，，所以Γ的离心率的取值范围为．故选C.‎ ‎12．【答案】D ‎【解析】 因为，所以，设，.‎ ‎①当，即时，在上恒成立，即函数在上为增函数，而，，则函数在区间上有且只有一个零点，使，且在上，，在上故为函数在上唯一的极小值点；‎ ‎②当，即时，在上恒成立，即函数在上为增函数，又此时，所以在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值；‎ ‎③当，即时，，因为，所以总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以函数在区间上无极值.综上，，故选D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】1 496 ‎ ‎【解析】 可分两类:小张、小李只有人入选， 小汤没有入选，则有 种不同的选法；小张、小李都入选， 小汤没有入选，有种.根据加法计数原理，共有种不同的选法.‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】 通解 因为角为直线的倾斜角，所以，所以， .所以.‎ ‎15．【答案】5∶1‎ ‎【解析】 设正三棱柱的外接球与其内切球的半径分别为，，则，则，，所以该正三棱柱的外接球的表面积与其内切球的表面积的比为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】作出函数图象如图所示.‎ 由可得，.又，所以，解得.‎ 显然，，又时，，因为方程有四个不同的实根，所以.‎ 因为函数的对称轴为，故由可得.故.记 ‎，由，即，解得或，所以，故在上单调递增，所以，即.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.【解析】 （1）设指数函数的解析式为(m＞0，且m≠1)，（1分）‎ 因为，所以点在指数函数的图象上， ‎ 所以，得，所以．（3分）‎ 又点在指数函数的图象上，所以，（4分）‎ 所以.（5分）‎ ‎（2）由（1）知，，所以．（6分）‎ 故.（7分）‎ 所以 ①，‎ 所以 ②，（8分）‎ 由①－②得，，‎ 所以，‎ 所以.（12分）‎ ‎18. 【解析】 （1）由频率分布直方图，可得， 得.‎ 则样本中年龄在内的频率为(0.018＋0.014)×10＝0.32，‎ 故样本中年龄在内的人数为600×0.32＝192.（5分）‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，“高消费人群”与“低消费人群”的人数比为， ‎ 由分层抽样的性质知，抽出的7人中为“高消费人群”的人数为5，“低消费人群”的人数为2.（6分）‎ 所以的可能取值为0，1，2. （7分）‎ ‎，，， ‎ 所以所求的X的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（10分）‎ ‎．（12分）‎ ‎19.【解析】（1）∵平面平面，且，∴平面． ‎ ‎∵平面，∴． (2分 )‎ 又为等腰直角三角形，，∴． ‎ ‎∵，∴平面． (4分 )‎ 又平面，∴平面平面． (5分 )‎ ‎（2）∵平面平面，，∴平面，‎ ‎∴，‎ 又，∴以为原点，以分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意，知，，，，，‎ ‎ ‎ ‎∴，，，． (7分 )‎ 设平面的法向量为，‎ 则即取，则为平面的一个法向量．‎ 设平面的法向量为，则 即取，则为平面的一个法向量. (10分 )‎ ‎∴，‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为． (12分 )‎ ‎20．【解析】 （1）由题意，得直线的方程为，点，‎ ‎∴点到直线的距离，整理，得．　① (2分 )‎ 又点在椭圆上，所以．　② ‎ 联立①②解得，‎ 所以椭圆的的方程为． (4分 )‎ ‎（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理得．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴． (6分 )‎ 又，则由题意，得，‎ 整理，得，则，‎ 整理，得（满足）．‎ ‎∵＝‎ ‎． （8分）‎ 又点到直线的距离， (10分 )‎ ‎∴（定值）． (12分 )‎ ‎21. 【解析】 （1）因为函数的图象过点（1，－1），‎ 所以，所以，得．（2分） ‎ 所以，则，， ‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ 所以函数g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. （6分）‎ ‎（2）要证函数的图象在函数图象的上方，‎ 需证恒成立，‎ 即证恒成立，‎ 即证恒成立．（8分）‎ 由（1）可得，所以.（9分）‎ 要证恒成立，需证恒成立，即证恒成立. （10分）‎ 令，则，‎ 当时，，所以单调递增，（11分）‎ 所以，即恒成立．‎ 所以函数图象在函数的图象的上方. （12分）‎ ‎22. 【解析】 （1）因为曲线C1是以C1(3，1)为圆心，以为半径的圆，‎ 所以曲线C1的参数方程为 (为参数).（3分）‎ 由直线C2的极坐标方程化为直角坐标方程得，即．（5分）‎ ‎（2）因为圆心C1(3，1)到直线的距离为，（7分）‎ 所以直线C2被曲线C1截得的弦长｜AB|= . （9分）‎ 所以△ABC1的周长为．（10分）‎ ‎23. 【解析】 （1）对任意的x＞0恒成立，等价于对任意的x＞0恒成立，等价于对任意的x＞0.（2分）‎ 因为，当且仅当时取等号，所以，得．‎ 所以实数的最小值为－1. （5分）‎ ‎（2）因为，‎ 所以（7分）‎ 当时，， ‎ 当时，.‎ 综上，.‎ 所以函数的值域为．（10分）‎