数学理·重庆市第八中学2017届高三上学期第一次适应性考试理数试题 Word版含解析

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全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，所以，故选B．‎ 考点：集合的运算．‎ ‎2.已知向量，且，则（ ）‎ ‎ A． B． C．-8 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，又，所以，解得，故选A．‎ 考点：向量的坐标运算．‎ ‎3.设命题，则为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎4.已知等差数列的前项为，且，则使得取最小值时的为（ ）‎ ‎ A．1 B．6 C．7 D．6或7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由等差数列的性质，可得，又 ‎，所以，所以数列的通项公式为 ‎，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B．‎ 考点：等差数列的性质．‎ ‎5.已知实数，则的大小关系为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：指数函数与对数函数的性质．‎ ‎6.若，则的值为（ ）‎ ‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由，则，所以 ‎，故选D．‎ 考点：三角函数的化简求值．‎ ‎7.中，角的对边分别是，已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由，由余弦定理得 ‎，即，所以，故选C．‎ 考点：余弦定理．‎ ‎8.已知数列的前项和为，且满足，若，则的前2017项的积为 ‎（ ）‎ A．1 B．2 C．-6 D．-586‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点：数列的性质．‎ ‎9.记表示不超过的最大整数，如．设函数，若方程 有且仅有3个实数根，则正实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ‎ 考点：方程的根的个数的判断与函数的应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了方程的根的个数以及的应用，其中解答中涉及到取整函数的性质和对数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了数形结合思想和学生的分析问题和解答问题的能力，其中解答中把方程有且仅有个实数根，转化为函数和函数 的图象有三个不同的交点，正确作出函数的图象是解答的关键，属于中档试题．‎ ‎10.如图1，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边 为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离与到的距离之和表 示成的函数，则在上的图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：在直角三角形中，，则，所以点到直线的距离与到的距离之和表示成的函数为 ‎，当时，；当时，，且最小正周期为，故选B．‎ 考点：函数的实际应用．‎ ‎11.设函数且，则实数的取值范围 为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：函数的单调性与奇偶性的应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数的单调性及其应用、函数的奇偶性及其应用、不等式的求解和函数值的计算，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中，把转化为是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．‎ ‎12.设函数（其中为自然对数的底数）恰有两个极值点，则 下列说法不正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ‎ 考点：利用导数函数的单调性与极值的应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值的应用问题，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质以及一次函数的图象与性质的应用、不等式组的求解等知识点的综合应用，着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用，本题的解答中把问题转化为方程的两个不等实数根，利用函数和的图象有两个交点是解答的关键，属于中档试题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.已知为等比数列，且成等比数列，则的值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，设等比数列的公比为，因为成等比数列，则 ‎，解得，所以．‎ 考点：等比数列．‎ ‎14.已知为单位向量，其夹角为60°，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，所以．‎ 考点：向量的运算．‎ ‎15.设点为函数图象上任一点，且在点处的切线的倾斜角为，则 的取值范围为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线的方程，其中解答中涉及到函数的导数的运算、直线的斜率与倾斜角，以及倾斜角的范围和基本不等式的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答的能力，本题的解答中利用导数，转化为是解答的关键，属于中档试题．‎ ‎16.已知函数，且在上单调递减，则 ‎___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，因为在上单调递减，所以周期，解得，因为的减区间满足，取，解得，又因为，即时，函数取得最值，即，所以．‎ 考点：三角函数的图象与性质．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答中涉及到三角函数的周期、三角函数的单调区间、三角函数的最值等知识点综合考查，着重考查了三角函数的图象单调性和最值，以及学生的分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把在上单调递减，解得，再根据时，函数取得最值，即可求解的值，属于中档试题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，且数列的前项和为，求证：．‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　5分 ‎（2）证明：由（1）知，．．．．．．7分 ‎∴．．．．．．．．．．　10分 ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。‎ 考点：数列的通项公式；数列的求和．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图2，在四棱锥中，底面是直角梯形，‎ 底面，是上的点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设，若是的中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角 的余弦值．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）证明：∵平面平面，‎ ‎∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由题意知，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）解：以为原点，建立空间直角坐标系如图3所示，‎ 则或（舍），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由（1）知，‎ ‎∴平面，∴为平面的法向量，‎ 当时，，‎ 易得二面角为锐角，所以其余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果 当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理 了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图3所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率 作为每天各需求量发生的概率．‎ ‎（1）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，‎ ‎①求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；‎ ‎②在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率．　‎ ‎（2）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决定依据，判断 应该制作16个是17个？‎ ‎【答案】(1)①；②；(2)一天应该制作个生日蛋糕．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）①当时，；‎ 当时，．‎ 得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎②设当天的利润不低于750元为事件，设当天需求量不低于18个为事件，‎ 由①得“利润不低于元”等价于“需求量不低于16个”，则，‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分。‎ ‎（2）蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕，理由如下：‎ 若蛋糕店一天制作17个，表示当天的利润（单位：元），的分布列为 ‎550‎ ‎650‎ ‎750‎ ‎850‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.16‎ ‎0.54‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 若蛋糕店一天制作16个，表示当天的利润（单位：元），的分布列为 ‎600‎ ‎700‎ ‎800‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 设椭圆的方程为，为坐标原点，直线与椭圆交于点为线段的中 点．‎ ‎（1）若分别为的左顶点和上顶点，且的斜率为，求的标准方程；‎ ‎（2）若，且，求面积的最大值．‎ ‎【答案】(1) ；(2)的面积取得最大值．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1) 设，代入椭圆的方程，利用点差法，求解斜率，即可求解的值，得到椭圆的方程；(2)设直线 ‎，代入椭圆的方程，利用根与系数的关系，得出点的坐标，根据得出三角形的面积，利用不等式即可求解最值．‎ ‎（2）设直线，‎ 由方程组 ①‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎，‎ ‎②，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 设直线与轴的交点为，‎ 则，‎ 令，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设，‎ 则，‎ 当时，即时，的面积取得最大值1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何性质的应用、基本不等式求最值、三角形的面积等知识点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力以及转化与化归思想的应用，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，转化为方程的根与系数的关系、判别式和韦达定理的应用是解答的关键，试题运算量大，有一定的难度，属于难题．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设函数．‎ ‎（1）若函数在定义域内单调递减，求的取值范围；‎ ‎（2）设，证明：（为自然对数的底数）．‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）解：函数的定义域为，‎ 且，则 ‎，‎ 由于在内单调递减，则对恒成立，‎ 即对恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 从而，则，‎ 故的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 从而，‎ ‎，‎ 故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。‎ 考点：利用导数研究函数的单调性；不等关系的证明．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值及不等式的证明，其中解答中涉及到到导数的运算、恒成立问题的求解、不等关系的转化等知识点的综合考查，着重考查了恒成立的分类参数法的应用，转化与化归思想的应用，以及学生的推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，平时注意总结和积累．‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图4，在中，，以为直径的圆交于点，过点作圆的切线交于 点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的大小．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）证明：由题意可知，均为圆的切线，‎ 所以，连接，易知，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，所以，‎ 所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）解：不妨设，则，‎ 在中，由射影定理可知，，，‎ 所以，∴，所以，‎ 所以，由（1）可知，，∴．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：与圆有关的比例线段；三角形的射影定理．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 将圆上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线．‎ ‎（1）写出曲线的参数方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴坐标建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为 ‎，若分别为曲线和直线上的一点，求的最近距离．‎ ‎【答案】(1)（为参数）；(2)．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)设为圆上一点，在已知变换下上的点，得出椭圆的标准方程，进而得出椭圆的参数方程；(2)得出直线的方程，设，利用点到直线的距离公式，求得，利用三角函数的性质，即可求解最小值．‎ ‎（2）将的极坐标方程化为直角坐标方程：，‎ 设，设点到的距离为，‎ ‎，‎ 其中，取等时．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：参数方程与直角方程的互化；极坐标方程的应用．‎ ‎24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式，在上恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2)．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）∵，‎ ‎，‎ ‎∴解集为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）在上恒成立在上恒成立 在上恒成立，‎ ‎∴的范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：绝对值不等式；不等式恒成立．‎ ‎ ‎