2017-2018学年湖南省郴州市嘉禾一中、临武一中高二上学期期中联考数学（文）试题
2017-2018学年湖南省郴州市嘉禾一中、临武一中高二上学期期中联考
文科数学试题
一．选择题（共12题，每题5分，共计60分）
1．已知存在性命题，则命题的否定是（ ）
A． B．对
C． D．对
2.中,,,则 ( )
A． B． C． D．
3.设等差数列的前项和为，若，则的值为( )
A．27 B．36 C．45 D．54
4.“2
0，b>0）的离心率为，则椭圆＋＝1的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11.有下列四个命题
①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；
④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
12． 若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意
一点，则· 的最大值为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．8
二． 填空题（共4题，每题5分，共计20分）
13．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是________．
14． 若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
15． 在△ABC中，已知 则△ABC的形状为_______.
16. 已知数列满足，定义：使乘积为正整数的叫做“简易数”，则在内所有的“简易数”的和为________．
三、解答题（第17题10分，其余每道各题12分，共70分）
17、(本小题满分10分)
已知在中，内角所对边的边长分别是，若满足．
（1）求角B；http://www.zk5u.com/（2）若，，求的面积。
18．（12分）已知，命题：，命题．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（3）若命题“”为真命题，且命题“”为假命题，求实数的取值范围．
19.（12分)已知双曲线的离心率为，实轴长为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为 ,求实数m的值.
20.(12分)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
①写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
21.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝4n，数列{bn}满足b1＝－3，
bn＋1＝bn＋(2n－3)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)若cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
22. (12分) 已知椭圆C：的离心率为
，短轴的一个端点到右焦点的距离为．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值，并求此时直线l的方程．
期中考试答案
一． 选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
A
D
B
B
D
C
B
C
C
A
B
二．填空题
13： 2 14： 15： 等边三角形 16： 4082
三．解答题
17由题目可知∴ ----2分，
故 --------------3分
（2）∵，
∴，即，解得----------6分
当a=2时，S=
当a=4时, S=
18．（1）（2）（3）
19 (1)由题意，解得，∴
∴所求双曲线的方程为. …………… 5分
(2)
由弦长公式得 …………… 12分
20.解 ①当0＜x＜80时，L(x)＝1 000x×0.05－(x2＋10x)－250＝－x2＋40x－250.
当x≥80时，L(x)＝1 000x×0.05－(51x＋－1 450)－250＝1 200－(x＋)．
∴L(x)＝
②当0＜x＜80时，L(x)＝－x2＋40x－250.
对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)最大＝950(万元)．
当x≥80时，L(x)＝1 200－(x＋)≤1 200－2 ＝1 000(万元)，
当且仅当x＝100时，L(x)最大＝1 000(万元)，综上所述，当x＝100时，年获利最大
21．解：(1)∵Sn＝4n，∴Sn－1＝4n－1(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝4n－4n－1＝3×4n－1(n≥2)．
当n＝1时，3×41－1＝3≠S1＝a1＝4，
∴当n＝1时an＝4， 当 n≥2时，an＝3×4n-1.
(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－3)，
∴b2－b1＝-1，b3－b2＝1，b4－b3＝3，…，bn－bn－1＝2n－5(n≥2)．
以上各式相加得
bn－b1＝-1+1＋3＋5＋…＋(2n－5)＝（n-1）(n-3)(n≥2)．
∵b1＝－3，∴bn＝n2－4n(n≥2)．
又上式对于n＝1也成立，
∴bn＝n2－4n(n∈N*)．
(3)由题意得当n=1时，cn＝-12， 当n≥2时，cn＝3(n－4)×4n-1.
①当n=1时, Tn＝-12
②当n≥2时，Tn＝－12＋3×（-2）×41＋3×（-1）×42＋3×1×43＋…＋3(2n－3)×4n－1，
∴4Tn＝－48＋3×（-2）×42＋3×（-1）×43＋3×1×44＋…＋3(2n－3)×4n.
相减得－3Tn＝12＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－1－3(2n－3)×4n.
∴Tn＝(n-4)×4n－ (4＋42＋43＋…＋4n－1)＝［4+(3n-13)×4n］/3
又上式对于n＝1也成立，
∴综上Tn＝［4+(3n-13)×4n］/3
22．解：(1) 由题意得 ∴ ∴
∴ 椭圆C的方程为 3分
(2) 当AB⊥x轴时，，
当AB与x轴不垂直时，设直线l的方程为
∵ O到l的距离为
∴ ∴ 4分
联立，消去y得 5分
∵ 直线l与椭圆相交
∴ 即 6分
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 7分
∴
8分
∴ 9分
10分
当且仅当
当k = 0时，求得
综上可知，，此时△AOB的面积最大，为，
直线l的方程为 …………………. 12
