上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题

上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期 高三数学月考一试卷 2019.3‎ 一、填空题（第1题至第6题，每题4分；第7题至第12题，每题5分，共54分）只要求直接填写结果，否则一律得零分．‎ ‎1、二项式的展开式中，项的系数为 ．‎ ‎2、若，，用列举法表示 ．‎ ‎3、已知、是实系数一元二次方程的两个根，则 ．‎ ‎4、某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有 篇．‎ ‎5、设，行列式中第3行第2列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则 ．‎ ‎6、国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如右图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方 的“ ”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，‎ 也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，‎ 则 （其中为虚数单位）．‎ ‎7、在三棱锥中，，，‎ 平面，．若其主视图、俯视图 如图所示，则其左视图的面积为 ．‎ ‎8、某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共 ‎10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）‎ 各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人 为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为 ．‎ ‎9、已知是周期为的函数，且，则方程的 解集为 ．‎ ‎10、若函数的图像与轴交于点，过点的直线与函教的图像交于另外两点、，是坐标原点，则 ．‎ ‎11、已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是 ．‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④．‎ ‎12、对任意，函数满足：，，数列的前15项和，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则 ．‎ 二、选择题（每题5分，共20分）‎ ‎13、，则角所在的象限是：（ ）‎ A．第二或第三象限 B．第一或第四象限 C．第三或第四象限 D．第一或第二象限 ‎14、如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（ ）‎ A． B．‎ C． D．不能确定 ‎15、已知，，则函数的大致图像是（ ）‎ ‎16、已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 函数（，，）‎ 部分图像如图所示．‎ ‎（1）求的最小正周期及解析式；‎ ‎（2）设，求函数在区间 上的最大值和最小值．‎ ‎18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径．‎ ‎（1）若圆柱的体积为，，，‎ 求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）；‎ ‎（2）若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，四面体 的外接球为球，求两点在球上的球面距离．‎ ‎19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形 足球运动场地，如图所示，其中是足球场地边线所在的 直线，球门处于所在直线的正中间位置，足球运动员 ‎（将其看做点）在运动场上观察球门的角称为视角．‎ ‎（1）当运动员带球沿着边线奔跑时，设到底线的距离 为码，试求当为何值时最大；‎ ‎（2）理论研究和实践经验表明：张角越大，射门 命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线 的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门 点，以的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求 在球场区域内射门到球门的最佳射门点的轨迹．‎ ‎20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．‎ 已知曲线的方程为．‎ ‎（1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；‎ ‎（2）若直线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称？‎ ‎（3）当为大于1的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值．‎ ‎21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ 数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且．‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）数列满足，其中．‎ ‎①证明：数列为等比数列；‎ ‎②求集合．‎ 参考答案 一、填空题 ‎1、 2、 3、5 4、18 5、2 6、 7、 8、‎ ‎9、 10、2 11、②③ 12、‎ 二、选择题 ‎13、D 14、C 15、B 16、D 三、解答题 ‎17、（1）；‎ ‎（2）在区间上的最大值为，最小值为．‎ ‎18、（1）异面直线与所成的角为；‎ ‎（2）两点在球上的球面距离为．‎ ‎19、（1）‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，取得最大值，‎ 又在上单调递增，∴当取得最大值时，最大，‎ ‎∴，取得最大值；‎ ‎（2）过点作于，设点，其中，，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，取得最大值，‎ 此时轨迹方程为，‎ 其表示焦点为，实轴长为8的等轴双曲线在的一部分．‎ ‎20、（1）当时，，两边平方并化简得，‎ ‎∴曲线是焦点在轴上的椭圆，其长半轴长为1，短半轴长为，焦点坐标为；‎ ‎（2）将代入，消去，‎ 得，由题意，，‎ 即，解得或（舍），此时，，，‎ 设，，，‎ 将代入，得，则，‎ 的中点坐标为在对称轴上，∴，解得，‎ 不满足，∴曲线上不存在不同的两点、关于直线对称；‎ ‎（3），两焦点坐标为、，，‎ ‎，即，‎ ‎∴，‎ 用替换中的，‎ 可得，∴，‎ ‎∴．‎ ‎21、（1）设等差数列的公差为，因为等差数列满足，前8项和 ‎，解得 所以数列的通项公式为 ‎（2）①设数列的前项和为，由（1）及 得 ‎ ‎ 上两式相减，得到 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 又，所以，满足上式 所以 ‎ 当时， ‎ 两式相减，得， ‎ 所以 所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．‎ ②由，得，即，∴．‎ 令，显然，此时变为，即，‎ 当时，，不符题意；‎ 当时，，符合题意，此时；‎ 当时，，不符题意；‎ 当时，，不符题意；‎ 当时，，不符题意；‎ 下证当，时，方程：‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴，显然，从而 当，时，方程没有正整数解．‎ 综上所述：．‎