数学卷·2018届山东省德州市陵城一中高二上学期期中数学试卷（解析版）

数学卷·2018届山东省德州市陵城一中高二上学期期中数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年山东省德州市陵城一中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．圆（x﹣2）2+y2=4的圆心坐标和半径分别为（　　）‎ A．（0，2），2 B．（2，0），2 C．（﹣2，0），4 D．（2，0），4‎ ‎2．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（　　）‎ A．8cm B．6cm C．2（1+）cm D．2（1+）cm ‎3．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（　　）‎ A．1500 B．1200 C．600 D．300‎ ‎4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ‎ ‎②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ‎③若m∥α，n∥α，则m∥n ‎ ‎④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④‎ ‎5．圆x2+y2+ax+2=0与直线l相切于点A（3，1），则直线l的方程为（　　）‎ A．x+y﹣4=0 B．x﹣2y﹣1=0 C．x﹣y﹣2=0 D．2x﹣y﹣5=0‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（　　）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎7．设a∈R，则“a=﹣1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．（5+）π B．（20+2）π C．（10+）π D．（5+2）π ‎9．圆x2+y2=50与圆x2+y2﹣12x﹣6y+40=0的位置关系为（　　）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 ‎10．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°，有以下四个命题：‎ ‎（1）CD⊥面GEF； ‎ ‎（2）AG=1；‎ ‎（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8；‎ ‎（4）∠EAD=60°．‎ 其中正确命题的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．若直线L：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25交于A，B两点，则弦长|AB|的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣1‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．若直线l1：2x﹣ay﹣1=0与直线l2：x+2y=0垂直，则a=　　．‎ ‎14．圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=9上到直线3x+4y﹣11=0的距离等于1的点的个数是　　．‎ ‎15．正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则这个球的表面积为　　．‎ ‎16．在空间直角坐标系中，设A（m，1，3），B（1，﹣1，1），且|AB|=2，则m=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（17题10分，其余各题12分）‎ ‎17．正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE．‎ ‎（1）求证：AB∥平面CDE；‎ ‎（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．‎ ‎18．根据下列条件，分别求直线方程：‎ ‎（1）经过点A（3，0）且与直线2x+y﹣5=0垂直；‎ ‎（2）求经过直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点，且平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程．‎ ‎19．已知圆C的方程为：x2+y2=4‎ ‎（1）求过点P（2，1）且与圆C相切的直线l的方程；‎ ‎（2）直线l过点D（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2，求直线l的方程；‎ ‎（3）圆C上有一动点M（x0，y0），=（0，y0），若向量=+，求动点Q的轨迹方程．‎ ‎20．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；‎ ‎（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．‎ ‎21．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=，H是BC的中点．‎ ‎（1）求证：FH∥平面BDE；‎ ‎（2）求证：AB⊥平面BCF；‎ ‎（3）求五面体ABCDEF的体积．‎ ‎22．已知圆C的圆心在直线x﹣2y=0上．‎ ‎（1）若圆C与y轴的正半轴相切，且该圆截x轴所得弦的长为2，求圆C的标准方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，直线l：y=﹣2x+b与圆C交于两点A，B，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求实数b的值；‎ ‎（3）已知点N（0，3），圆C的半径为3，且圆心C在第一象限，若圆C上存在点M，使MN=2MO（O为坐标原点），求圆心C的纵坐标的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省德州市陵城一中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．圆（x﹣2）2+y2=4的圆心坐标和半径分别为（　　）‎ A．（0，2），2 B．（2，0），2 C．（﹣2，0），4 D．（2，0），4‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】直接利用圆的标准方程，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：因为圆（x﹣2）2+y2=4，所以圆心坐标和半径分别为（2，0）和2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（　　）‎ A．8cm B．6cm C．2（1+）cm D．2（1+）cm ‎【考点】空间几何体的直观图．‎ ‎【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半．由于y'轴上的线段长度为，故在平面图中，其长度为2，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原图形的周长．‎ ‎【解答】解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，‎ 正方形的对角线在y'轴上，‎ 可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，‎ 且其长度变为原来的2倍，长度为2，其原来的图形如图所示，‎ 则原图形中的平行四边形中，一边长为1，另一边长为3，它的周长是8‎ 观察四个选项，A选项符合题意．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（　　）‎ A．1500 B．1200 C．600 D．300‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，得到选项．‎ ‎【解答】解：由直线可知：直线的斜率，解得α=600，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ‎ ‎②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ‎③若m∥α，n∥α，则m∥n ‎ ‎④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．‎ ‎【解答】解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，‎ 又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；‎ 对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；‎ 对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，‎ 而平面α是正方体下底面所在的平面，‎ 则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；‎ 对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，‎ 则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．‎ 综上所述，其中正确命题的序号是①和②‎ 故选：A ‎　‎ ‎5．圆x2+y2+ax+2=0与直线l相切于点A（3，1），则直线l的方程为（　　）‎ A．x+y﹣4=0 B．x﹣2y﹣1=0 C．x﹣y﹣2=0 D．2x﹣y﹣5=0‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】将圆与直线l的相切的切点A坐标代入圆的方程，求出a的值，确定出圆的方程，化为标准方程后找出圆心坐标和半径r，显然直线l的斜率存在，设斜率为k，由A的坐标表示出直线l的方程，由直线与圆相切时，圆心到切线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出直线l的方程．‎ ‎【解答】解：∵圆x2+y2+ax+2=0与直线l相切于点A（3，1），‎ ‎∴将x=3，y=1代入圆方程得：9+1+3a+2=0，‎ 解得：a=﹣4，‎ ‎∴圆的方程为（x﹣2）2+y2=2，‎ ‎∴圆心坐标为（2，0），半径r=，‎ 显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k=0，‎ ‎∴圆心到直线l的距离d=r，即=，‎ 解得：k=﹣1，‎ 则直线l方程为﹣x﹣y+4=0，即x+y﹣4=0．‎ 故选A ‎　‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（　　）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】首先由三视图得到几何体，然后计算体积即可．‎ ‎【解答】解：由已知得到几何体为组合体，‎ 下面是底面为等腰直角三角形高为1的三棱柱，‎ 上面是：底面是腰长为2的等腰直角三角形，高为1的三棱锥，‎ 所以体积为；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．设a∈R，则“a=﹣1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：当a=﹣1时，两直线方程分别为﹣x+y﹣1=0与直x﹣y+5=0，满足两直线平行．‎ 当a=1时，两直线方程分别为x+y﹣1=0与直x+y+5=0满足平行，但a=﹣1不成立，‎ ‎∴“a=﹣1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．（5+）π B．（20+2）π C．（10+）π D．（5+2）π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知这是一个圆柱，上面挖去一个小圆锥的几何体，由图中所提供的数据进行计算即可得到所求的表面积选出正确选项 ‎【解答】解：由三视图可知这是一个圆柱，上面挖去一个小圆锥的几何体，圆柱的底面积为π，圆柱的侧面积为2π×2=4π，圆锥的母线长为，侧面积为，所以总的侧面积为，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．圆x2+y2=50与圆x2+y2﹣12x﹣6y+40=0的位置关系为（　　）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据MN大于它们的半径之差，小于半径之和，可得两圆相交．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2=50，表示以M（0，0）为圆心、半径等于5的圆．‎ 圆x2+y2﹣12x﹣6y+40=0即（x﹣6）2+（y﹣3）2=5，表示以N（6，3）为圆心、半径等于的圆．‎ 由于两圆的圆心距MN==3，故MN大于它们的半径之差，小于半径之和，故两圆相交，‎ 故选C ‎　‎ ‎10．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°，有以下四个命题：‎ ‎（1）CD⊥面GEF； ‎ ‎（2）AG=1；‎ ‎（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8；‎ ‎（4）∠EAD=60°．‎ 其中正确命题的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】连结EG，通过证明AB⊥平面EFG得出CD⊥平面EFG，在直角三角形AEG中求出AG，EF，求出三角形ACE的面积，根据AG判断出F的位置，利用全都三角形判断∠EAD．‎ ‎【解答】解：连结EG，‎ ‎（1）∵EF⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，‎ ‎∴EF⊥AB，‎ ‎∵FG∥BC，BC⊥AB，‎ ‎∴AB⊥FG，‎ 又EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG=F，‎ ‎∴AB⊥平面EFG，∵AB∥CD，‎ ‎∴CD⊥平面EFG．故（1）正确．‎ ‎（2）∵AB⊥平面EFG，‎ ‎∴AB⊥EG，∵∠EAB=60°，AE=2，‎ ‎∴AG=AE=1，故（2）正确．‎ ‎（3））∵AG=1=，∴F为AC的中点．‎ ‎∵AE=2，AC==2，AF==，‎ ‎∴EF==．‎ ‎∴S△ACE===2，‎ ‎∴以AC，AE作为邻边的平行四边形面积为2S△ACE=4，故（3）错误；‎ ‎（4）过F作FM⊥AD于M，则AM=1，‎ 由（1）的证明可知AD⊥平面EFM，故而AD⊥EM，‎ ‎∴Rt△EAG≌Rt△EAM，‎ ‎∴∠EAM=∠EAG=60°，故（4）正确．‎ 故选：C ‎　‎ ‎11．若直线L：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25交于A，B两点，则弦长|AB|的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点，说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，由勾股定理即可得到最短弦长．‎ ‎【解答】解：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R得：（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，‎ ‎∵m∈R，‎ ‎∴，得x=3，y=1，‎ 故l恒过定点D（3，1）．‎ 因为（3﹣1）2+（1﹣2）2=5＜25，‎ 则点D在圆C的内部，直线l与圆C相交．‎ 圆心C（1，2），半径为5，|CD|=，‎ 当截得的弦长最小时，l⊥CD，最短的弦长是2=4．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣1‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】先画出满足的平面区域，再把|PQ|的最小值转化为点P到（0，﹣2）的最小值减去圆的半径1即可．‎ ‎【解答】解：由题可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P到Q的距离最小为到（0，﹣2）的最小值减去圆的半径1，‎ 点（0，﹣2）到直线x﹣2y+1=0的距离为=；‎ 由图可知：|PQ|min=﹣1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．若直线l1：2x﹣ay﹣1=0与直线l2：x+2y=0垂直，则a=　1　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】利用直线垂直的条件求解．‎ ‎【解答】解：∵两直线l1：2x﹣ay﹣1=0与直线l2：x+2y=0互相垂直，‎ ‎∴2﹣2a=0，‎ 解得a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎14．圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=9上到直线3x+4y﹣11=0的距离等于1的点的个数是　3　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较，数形结合可知共有三个交点．‎ ‎【解答】解：（x﹣3）2+（y﹣3）2=9是一个以（3，3）为圆心，3为半径的圆．‎ 圆心到3x+4y﹣11=0的距离为d=||=2，‎ 所以作与直线3x+4y﹣11=0距离为1的直线，会发现这样的直线有两条（一条在直线的上方，一条在直线的下方），上面的那条直线与圆有两个交点，下面的与圆有一个交点，所以圆上共有三个点与直线距离为1．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎15．正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则这个球的表面积为　9π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】设球半径为R，底面中心为O′且球心为O．正四棱锥P﹣ABCD中根据AB=2且PA=，算出AO′=、PO′=2、OO′=2﹣R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立关于R的等式，解出R=，再利用球的表面积公式即可得到外接球的表面积．‎ ‎【解答】解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，‎ ‎∵正四棱锥P﹣ABCD中AB=2，PA=，‎ ‎∴AO′=AB=，可得PO′==2，OO′=PO′﹣PO=2﹣R．‎ ‎∵在Rt△AOO′中，AO2=AO′2+OO′2，‎ ‎∴R2=（）2+（2﹣R）2，解之得R=，‎ 因此可得外接球的表面积为：4πR2==9π．‎ 故答案为：9π．‎ ‎　‎ ‎16．在空间直角坐标系中，设A（m，1，3），B（1，﹣1，1），且|AB|=2，则m=　1　．‎ ‎【考点】向量在几何中的应用；空间向量的夹角与距离求解公式．‎ ‎【分析】由已知中A（m，1，3），B（1，﹣1，1），且|AB|=2，代入两点之间距离公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：A（m，1，3），B（1，﹣1，1），‎ ‎∴|AB|=2=，‎ 解得：m=1；‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ 三、解答题（17题10分，其余各题12分）‎ ‎17．正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE．‎ ‎（1）求证：AB∥平面CDE；‎ ‎（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）根据正方形对边平行可得AB∥CD，结合线面平行的判定定理可得AB∥平面CDE；‎ ‎（2）由已知AE⊥平面CDE，可得AE⊥CD，结合正方形ABCD邻边垂直及线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADE，进而由面面垂直的判定定理可得平面ABCD⊥平面ADE．‎ ‎【解答】证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，‎ 又AB⊄平面CDE，‎ CD⊂平面CDE，‎ 所以AB∥平面CDE．‎ ‎（2）因为AE⊥平面CDE，‎ 且CD⊂平面CDE，‎ 所以AE⊥CD，‎ 又正方形ABCD中，CD⊥AD 且AE∩AD=A，AE，AD⊂平面ADE，‎ 所以CD⊥平面ADE，‎ 又CD⊂平面ABCD，‎ 所以平面ABCD⊥平面ADE．（14分 ‎　‎ ‎18．根据下列条件，分别求直线方程：‎ ‎（1）经过点A（3，0）且与直线2x+y﹣5=0垂直；‎ ‎（2）求经过直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点，且平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】（1）由条件设所求直线方程为x﹣2y+c=0，直线过点B（3，0），可求得c，从而可得答案．‎ ‎（2）解方程组求得交点坐标，设与直线x+2y﹣3=0平行的直线一般式方程为x+2y+λ=0，把交点代入可得λ的值，从而求得所求的直线方程．‎ ‎【解答】解：（1）由条件设所求直线方程为x﹣2y+c=0‎ 因为所求直线过点B（3，0）‎ 所以3+c=0，即c=﹣3‎ 所以所求直线方程为x﹣2y﹣3=0‎ ‎（2）由 解得 ‎∴直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点为（1，0）‎ 与直线x+2y﹣3=0平行的直线一般式方程为x+2y+λ=0，把点（1，0）代入可得λ=﹣1‎ 故所求的直线方程为x+2y﹣1=0．‎ ‎　‎ ‎19．已知圆C的方程为：x2+y2=4‎ ‎（1）求过点P（2，1）且与圆C相切的直线l的方程；‎ ‎（2）直线l过点D（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2，求直线l的方程；‎ ‎（3）圆C上有一动点M（x0，y0），=（0，y0），若向量=+，求动点Q的轨迹方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；与直线有关的动点轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）分两种情况考虑：当直线l的斜率不存在时，直线x=2满足题意；当k存在时，变形出l方程，利用圆心到l的距离d=r列出方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时l方程，综上，得到满足题意直线l的方程；‎ ‎（2）分两种情况考虑：当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，直线l与圆的两个交点距离为2，满足题意；‎ 当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y﹣2=k（x﹣1），求出圆心到直线l的距离d=1，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线方程，综上，得到满足题意直线l的方程；‎ ‎（3）设Q（x，y），表示出，，代入已知等式中化简得到x=x0，y=2y0，代入圆方程变形即可得到Q轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（1）当k不存在时，x=2满足题意；‎ 当k存在时，设切线方程为y﹣1=k（x﹣2），‎ 由=2得，k=﹣，‎ 则所求的切线方程为x=2或3x+4y﹣10=0；‎ ‎（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为（1，）和（1，﹣），这两点的距离为2，满足题意；‎ 当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0，‎ 设圆心到此直线的距离为d，‎ ‎∴d==1，即=1，‎ 解得：k=，‎ 此时直线方程为3x﹣4y+5=0，‎ 综上所述，所求直线方程为3x﹣4y+5=0或x=1；‎ ‎（3）设Q点的坐标为（x，y），‎ ‎∵M（x0，y0），=（0，y0），=+，‎ ‎∴（x，y）=（x0，2y0），‎ ‎∴x=x0，y=2y0，‎ ‎∵x02+y02=4，‎ ‎∴x2+（）2=4，即+=1．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；‎ ‎（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）翻折后，直线AD与直线DC、DB都垂直，可得直线与平面BDC垂直，再结合AD是平面ADB内的直线，可得平面ADB与平面垂直；‎ ‎（Ⅱ）根据图形特征可得△ADB、△DBC、△ADC是全等的等腰直角三角形，△ABC是等边三角形，利用三角形面积公式可得三棱锥D﹣ABC的表面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，‎ ‎∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，‎ 又DB∩DC=D，‎ ‎∴AD⊥平面BDC，‎ ‎∵AD⊂平面ABD．‎ ‎∴平面ADB⊥平面BDC ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，‎ ‎∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=，‎ 从而 所以三棱锥D﹣ABC的表面积为：‎ ‎　‎ ‎21．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=，H是BC的中点．‎ ‎（1）求证：FH∥平面BDE；‎ ‎（2）求证：AB⊥平面BCF；‎ ‎（3）求五面体ABCDEF的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）设AC与BD交于点O，则点O是AC的中点，连接OH，EO，通过证明四边形EOHF是平行四边形，证明FH∥平面EDB；‎ ‎（2）先证明出四边形EMBF是平行四边形，推断出EM∥FB，EM=FB．进而在Rt△BFC中求得EM，在△AEM中，根据边长推断出AM2+EM2=3=AE2，进而证明出AM⊥EM．然后证明出四边形ABCD是正方形，进而推断出AB⊥BC．最后通过线面垂直的判定定理证明出AB⊥平面BCF；‎ ‎（3）求出四棱锥E﹣ABCD的体积为V1═，三棱锥E﹣BCF的体积为=，即可求出五面体ABCDEF的体积．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，连接OH，EO，‎ ‎∵H是BC的中点，‎ ‎∴OH∥AB，．…‎ ‎∵EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，‎ ‎∴EF∥AB．…‎ ‎∵EF=1，‎ ‎∴OH∥EF，OH=EF．‎ ‎∴四边形EOHF是平行四边形．‎ ‎∴EO∥FH，EO=FH．…‎ ‎∵EO⊂平面BDE，FH⊄平面BDE，‎ ‎∴FH∥平面BDE．…‎ ‎（2）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1，‎ 由（1）知，EF∥MB，且EF=MB，‎ ‎∴四边形EMBF是平行四边形．‎ ‎∴EM∥FB，EM=FB．…‎ 在Rt△BFC中，FB2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得．‎ ‎∴．…‎ 在△AME中，，AM=1，，‎ ‎∴AM2+EM2=3=AE2．‎ ‎∴AM⊥EM．…‎ ‎∴AM⊥FB，即AB⊥FB．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB⊥BC．…‎ ‎∵FB∩BC=B，FB⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，‎ ‎∴AB⊥平面BCF．…‎ ‎（3）解：连接EC，‎ 在Rt△BFC中，，‎ ‎∴EO=FH=1．‎ 由（2）知AB⊥平面BCF，且EF∥AB，‎ ‎∴EF⊥平面BCF．…‎ ‎∵FH⊥平面ABCD，EO∥FH，‎ ‎∴EO⊥平面ABCD．…‎ ‎∴四棱锥E﹣ABCD的体积为V1═．…‎ ‎∴三棱锥E﹣BCF的体积为=．…‎ ‎∴五面体ABCDEF的体积为．…‎ ‎　‎ ‎22．已知圆C的圆心在直线x﹣2y=0上．‎ ‎（1）若圆C与y轴的正半轴相切，且该圆截x轴所得弦的长为2，求圆C的标准方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，直线l：y=﹣2x+b与圆C交于两点A，B，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求实数b的值；‎ ‎（3）已知点N（0，3），圆C的半径为3，且圆心C在第一象限，若圆C上存在点M，使MN=2MO（O为坐标原点），求圆心C的纵坐标的取值范围．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（1）设圆心为（2a，a），通过圆C与y轴的正半轴相切，得到半径r=2a．利用该圆截x轴所得弦的长为2，列出方程求解即可．‎ ‎（2）由，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及判别式，结合直线的斜率关系，即可求出b的值．‎ ‎（3）设圆C的圆心为（2a，a），圆C的方程为（x﹣2a）2+（y﹣a）2=9，设M点的坐标为（x，y），利用|3﹣2|≤，且a＞0，求出圆心C的纵坐标的取值范围是（0，2]．‎ ‎【解答】解：（1）因为圆C的圆心在直线x﹣2y=0上，所以可设圆心为（2a，a）．‎ 因为圆C与y轴的正半轴相切，所以a＞0，半径r=2a．‎ 又因为该圆截x轴所得弦的长为2，‎ 所以a2+（）2=（2a）2，解得a=1．…‎ 因此，圆心为（2，1），半径r=2．‎ 所以圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．…‎ ‎（2）由消去y，得（x﹣2）2+（﹣2x+b﹣1）2=4．‎ 整理得5x2﹣4bx+（b﹣1）2=0．（★）…‎ 由△=（﹣4b）2﹣4×5（b﹣1）2＞0，得b2﹣10b+5＜0（※）…‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2= ‎ 因为以AB为直径的圆过原点O，可知OA，OB的斜率都存在，‎ 且kOA•kOB==﹣1‎ 整理得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（﹣2x1+b）（﹣2x2+b）=0．‎ 化简得5x1x2﹣2b（x1+x2）+b2=0，即（b﹣1）2﹣2b•+b2=0．‎ 整理得2b2﹣10b+5=0．解得b=．…‎ 当b=时，2b2﹣10b+5=0，b2﹣10b+5=﹣b2．③‎ 由③，得b≠0　从而b2﹣10b+5=﹣b2＜0‎ 可见，b=时满足不等式（※）．b=均符合要求．…‎ ‎（3）圆C的半径为3，设圆C的圆心为（2a，a），由题意，a＞0．‎ 则圆C的方程为（x﹣2a）2+（y﹣a）2=9．…‎ 又因为MN=2MD，N（0，3），设M点的坐标为（x，y），‎ 则=，整理得x2+（y+1）2=4．…‎ 它表示以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，记为圆D．‎ 由题意可知，点M既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有公共点．‎ 所以|3﹣2|≤，且a＞0．…‎ 即1，且a＞0．‎ 所以即 解得0＜a≤2．‎ 所以圆心C的纵坐标的取值范围是（0，2]．…‎ ‎　‎