2012年北京高考试题（文数解析版）

2012年北京高考试题（文数解析版）

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数学（文科）‎ ‎【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合，，则= ( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.在复平面内，复数对应的点坐标为（ ）‎ A． （1,3） B． （3,1） C． D．‎ k=0,S=1‎ k<3‎ 开始 结束 是 否 k=k+1‎ 输出S S=S· ‎ ‎（第4题图）‎ ‎3.设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）‎ A．2 B．‎4 ‎‎ C．8 D．16‎ ‎5.函数的零点个数为（ ）‎ A． 0 B． ‎1 C． 2 D． 3 ‎ ‎6. 已知为等比数列.下面结论中正确的是（ ）‎ A． B．‎ C．若，则 D．若，则 ‎7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 某棵果树前年得总产量与之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，的值为（ ）‎ A．5 B． C． 9 D．11 ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9.直线被圆截得的弦长为 .‎ ‎10.已知为等差数列，为其前项和.若，，则 ；= .‎ ‎11. 在△ABC中，若，，，则的大小为 .‎ ‎12.已知函数，若，则 .‎ ‎13.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为 .‎ ‎14.已知，.若或，则的取值范围是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎15.（本小题13分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求的定义域及最小正周期；‎ ‎（2）求的单调递减区间. ‎ ‎16. （本小题14分）‎ 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D,E分别是AC，AB上的中点，‎ 点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2. ‎ ‎（1）求证：DE∥平面A1CB;‎ ‎（2）求证：A1F⊥BE;‎ ‎（3）线段A1B上是否存在点Q,使A‎1C⊥平面DEQ？说明理由. ‎ ‎17.（本小题13分）‎ 近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；‎ ‎（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，.当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值.‎ ‎（注：方差，其中为的平均数）‎ ‎18.（本小题13分）‎ 已知函数（），.‎ ‎（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，）处具有公共切线，求的值；‎ ‎（2）当时，求函数在区间上的最大值为28，求的取值范围.‎ ‎19.（本小题14分）‎ 已知椭圆:的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点M,N.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当△AMN得面积为时，求的值.‎ ‎20.（本小题13分）‎ 设A是如下形式的2行3列的数表，‎ 满足：性质P：，且.‎ 记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和；‎ 记为，，，，中的最小值.‎ ‎（1）对如下数表A,求的值；‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-0.8‎ ‎0.1‎ ‎-0.3‎ ‎-1‎ ‎（2）设数表A形如 ‎1‎ ‎1‎ ‎-1-2‎ ‎-1‎ 其中.求的最大值；‎ ‎（3）对所以满足性质P的2行3列的数表A,求的最大值。‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．【答案】D ‎【解析】，利用二次不等式的解法可得，画出数轴易得。‎ ‎【考点定位】本小题考查的是集合（交集）运算和一次和二次不等式的解法。‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为，故选A ‎【考点定位】本小题主要考查复数除法的化简运算以及复平面、实部虚部的概念。‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】题目中表示的区域表示正方形区域，而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此，故选D ‎【考点定位】 本小题是一道综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式、概率。‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】，循环结束，输出的为8，故选C ‎【考点定位】 本小题主要考查程序框图，涉及到判断循环结束的时刻，以及简单整数指数幂的计算。‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】函数的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B。‎ ‎【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图像问题，该题涉及到图像幂函数和指数函数。‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】当时，可知，所以A选项错误；当时，C选项错误；当时，，与D选项矛盾。因此根据均值定理可知B选项正确。‎ ‎【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念，其中还涉及了均值不等式的知识，如果对于等比数列的基本概念（公比的符号问题）理解不清，也容易错选，当然最好选择题用排除法来做。‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，因此该几何体表面积，故选B。‎ ‎【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题，原来考查的是棱锥或棱柱的体积而今年者的是表面积，因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力。‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。‎ ‎【考点定位】 本小题知识点考查很灵活，要根据图像识别看出变化趋势，判断变化速度可以用导数来解，当然此题若利用数学估计过于复杂，最好从感觉出发，由于目的是使平均产量最高，就需要随着的增大，变化超过平均值的加入，随着增大，变化不足平均值，故舍去。‎ ‎9．【答案】‎ ‎【解析】将题目所给的直线与圆的图形画出，半弦长为，圆心到直线的距离，以及圆半径构成了一个直角三角形，因此。‎ ‎【考点定位】本小题涉及到的是直线与圆的知识，由于北京的考卷多年没有涉及直线和圆，对于二生来说，可能能些陌生，直线与圆相交求弦长，利用直角三角形解题，也并非难题。‎ ‎10．【答案】1，‎ ‎【解析】，所以，。‎ ‎【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算，考查通项公式和前项和公式的计算。‎ ‎11．【答案】‎ ‎【解析】，而，故。‎ ‎【考点定位】本小题主要考查的是解三角形，所用方法并不唯一，对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案。‎ ‎12．【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎【考点定位】本小题考查的是对数函数，要求学生会利用对数的运算公式进行化简，同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉。‎ ‎13．【答案】；‎ ‎【解析】根据平面向量的点乘公式，可知，因此；，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时点与点重合，射影为，所以长度为1‎ ‎【考点定位】 本题是平面向量问题，考查学生对于平面向量点乘知识的理解，其中包含动点问题，考查学生最值的求法。‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】首先看没有参数，从入手，显然时，，时，，而对或成立即可，故只要时，（*）恒成立即可。当时，，不符合（*），所以舍去；当时，由得，并不对成立，舍去；当时，由，注意，故，所以，即，又，故，所以，又，故，综上，的取值范围是。‎ ‎【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像的开口，根的大小，涉及到指数函数，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论的思想，对进行讨论。‎ ‎15．【考点定位】本题考查三角函数，三角函数难度较低，此类型题平时的练习中练习得较多，考生应该觉得非常容易入手。 ‎ 解：（1）由得，故的定义域为.‎ 因为===,‎ 所以的最小正周期.‎ ‎（2）函数的单调递减区间为.‎ 由得 所以的单调递减区间为.‎ ‎16．【考点定位】本题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决。第三问的创新式问法，难度比较大。‎ 解：（1）因为D,E分别为AC,AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.‎ ‎（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A‎1F 平面A1DC,‎ 所以DE⊥A‎1F.又因为A‎1F⊥CD,所以A‎1F⊥平面BCDE.所以A‎1F⊥BE ‎（3）线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，‎ 分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.‎ 又因为DE∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.‎ 由（2）知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.‎ 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C 的中点，‎ 所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ.‎ 故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.‎ ‎17．【考点定位】此题的难度集中在第三问，基他两问难度不大，第三问是对能力的考查，不要求证明，即不要求说明理由，但是要求学生对方差意义的理解非常深刻。‎ ‎（1）厨余垃圾投放正确的概率约为 ‎=‎ ‎（2）设生活垃圾投放错误为事件A,则事件表示生活垃圾投放正确。‎ 事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(),约为。所以P(A)约为1－0.7=0,3。‎ ‎（3）当，时，取得最大值.因为，‎ 所以．‎ ‎18．【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目，考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容。也是学生掌握比较好的知识点，在题目占能够发现和分析出区间包含极大值点，比较重要。‎ 解：（1），.因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，．即且．解得 ‎（2）记 当时，，‎ 令，解得：，；‎ 与在上的情况如下：‎ ‎1‎ ‎（1,2）‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎28‎ ‎-4‎ ‎3‎ 由此可知：‎ 当时，函数在区间上的最大值为；‎ 当时，函数在区间上的最大值小于28.‎ 因此，的取值范围是 ‎19. 【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。‎ 解：（1）由题意得解得.所以椭圆C的方程为.‎ ‎（2）由得.‎ 设点M,N的坐标分别为，，则，，，.‎ 所以|MN|===.‎ 由因为点A(2,0)到直线的距离，‎ 所以△AMN的面积为. 由，解得.‎ ‎20【考点定位】此题作为压轴题难度较大，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生严谨的逻辑思维能力。‎ ‎（1）因为=1.2，，，，，所以 ‎（2），，，.‎ 因为，所以=，.所以.‎ 当时，取得最大值1.‎ ‎（3）任给满足性质的数表（如图所示）‎ 任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表仍满足性质，并且，因此，不妨设，由的定义知，，从而 因此，由（2）知，存在满足性质的数表，使，故的最大值为1。‎