数学理·湖南省衡阳市第八中学2017届高三上学期第二次月考理数试题+Word版含解析

数学理·湖南省衡阳市第八中学2017届高三上学期第二次月考理数试题+Word版含解析

（考试内容：集合与逻辑用语、函数、导数、三角函数） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1.设 ,则“ ”是“ ”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分 又非必要条件 【答案】B 【解析】 2.已知 是函数 的极小值点，则 =（ ） (A)-16 (B) -2 (C)16 (D)2 【答案】D 【解析】 试题分析： ,令 得 或 ，易得 在 上单调递减，在 上单调递增，故 的极小值为 ，由已知得 ， 故选 D. 考点：利用导数研究函数的单调性及极值. 【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数 极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数 ；(3)解方程 求出函 数定义域内的所有根；(4)列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正 Rba ∈, 4>+ ba 2,2 >> ba 且 a 3( ) 12f x x x= − a ( ) ( )( )2' 3 12 3 2 2f x x x x= − = + − ( )' 0f x = 2x = − 2x = ( )f x ( )2,2− ( )2,+∞ ( )f x ( )2f 2a = ( )f x ( )f x′ ( ) 0,f x′ = ( )f x′ ( ) 0f x′ = 0x 右负，那么 在 处取极大值，如果左负右正，那么 在 处取极小值. 3.设 ，则 a， b，c 的大小关系是（ ） A 、 a ＞ c ＞ b B 、 a ＞ b ＞ c C 、 c ＞ a ＞ b D、b＞c＞a 【答案】A 考点：指数函数的单调性与幂函数的单调性. 4．函数 y=sin(2x+ π 6 )的图象可看成是把函数 y=sin2x 的图象作以下平移得到 （ ） A. 向右平移 π 6 B. 向左平移 π 6 C. 向右平移 π 12 D. 向左平移 π 12 【答案】D 【解析】 试题分析： ，故把函数 的图象向左平移 个单 位可得函数 的图象，故选 D. 考点：函数 的图象的平移变换. 5．已知函数 的值为（ ） 2 3 2 5 5 53 2 2 5 5 5a b c= = =（ ）, （ ）， （ ） 3 1( ) , 3( ) , (2 log 2)3 ( 1), 3 x xf x f f x x  ≥= +  + < 则 ( )f x 0x ( )f x 0x sin 2 sin 26 12y x x π π   = + = +       sin 2y x= 12 π sin 2 6y x π = +   ( )siny A xω ϕ= + A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析： ，即 ，又 ， ，所以 ，故选 B. 考点：1、分段函数的解析式；2、函数的周期性及指数与对数的性质. 6.已知函数 ，则下列判断正确的是（ ） A．此函数的最小正周期为 ，其图像的一个对称中心是 B．此函数的最小正周期为 ，其图像的一个对称中心是 C．此函数的最小正周期为 ，其图像的一个对称中心是 D．此函数的最小正周期为 ，其图像的一个对称中心是 【答案】B 2 27 − 1 54 2 27 54− sin cos12 12y x x π π   = − −       2π ,012 π     π ,012 π     2π ,06 π     π ,06 π     3 3 32 log 1 2 log 2 2 log 3+ < + < + ( ) ( ) ( )3 3 3 32 2 log 2 3, 2 log 2 2 log 2 1 3 log 2f f f< + < ∴ + = + + = + 33 3 log 2 4< + < ( ) ( )3 3 33 3 3 log 2 3 log 2 1loglog 2 log 21 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 13 log 2 3 3 33 3 3 27 27 27 27 2 54f + −−     ∴ + = = × = × = × = × = × =           ( )3 12 log 2 54f + = 考点：1、三角函数的周期性及对称性；2、二倍角的正弦公式 . 7．若 ，则 =（ ） A ． B ． C ． D． 【答案】A 8.已知函数 （其中 ）的图象如右图所示，则函数 的 图象 是（ ） 【答案】A 【解析】 ( ) ( )( )f x x a x b= − − a b> ( ) xg x a b= + 3 1 6sin =     −απ      + απ 23 2cos 9 7− 3 1− 3 1 9 7 试题分析：由题意得， ， 为 的零点，由图可知， ， ，∴ 的图象可由 向下平移 个单位得到，∵ ，由于 ， ，故可知 A 符合题意，故选 A． 考点：1、二次函数的性质；2、指数函数的图象与性质. 9．设 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D．（1，2） 【答案】C 【解析】 试题分析：令 ,解得 .令 ,解得 为 ，不等式 的解集为 ，故选 C. 考点：1、分段函数的解析式求；2、简单的指数、对数不等式. 10.已知函数 ， ，若至少存在一个 ，使 成立，则实数 a 的范围为（ ） A．[ ，+∞) B．(0，+∞) C．[0，+∞) D．( ，+∞) 【答案】B 考点：1、利用导数求闭区间上函数的最值；2、不等式有解问题. 1 2 3 2 2( ) log ( 1) 2 xe xf x x x − <=  − ≥ ( ) 2f x > (1,2) (3, )∪ +∞ ( 10, )+∞ (1,2) ( 10, )∪ +∞ ( ) 2f x > (1,2) ( 10, )∪ +∞ x a= x b= ( )f x 0 1a< < 1b < - ( )g x xy a= b- 0 1a< < 1−∴b ( )12 2 2xe x− > < 1 2x< < ( ) ( )2 3log 1 2 2x x− > ≥ x ( )10,+∞ 1( ) ( ) 2ln ( )f x a x x a Rx = − − ∈ ( ) ag x x = − 0 [1,e]x ∈ 0 0( ) ( )f x g x> 2 e 2 e 11．已知函数 ，若存在实数 满足 其中 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 考点：1、分段函数的解析式及对数函数的性质；2、韦达定理、不等式的性质及数形结合思 想. 【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及对数函数的性质、韦达定理及不等式的性质、 数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的 相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其 在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键 是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点.本题通过函数的图象，可以清晰的看 出 之间的关系，进而求出 的取值范围. ( ) 2 2 4|log | 0 2 1 5 12 22 x x f x x x x < <=  − + ≥ , , ,a b c d ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d= = = 0d c b a> > > > abcd ( )16,21 ( )16,24 ( )17,21 ( )18,24 , , ,a b c d abcd 12．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的导函数为 ，当 x<0 时，f（x）满足 ，则 f(x)在 R 上的零点个数为（ ） A.1 B.3 C. 5 D .1 或 3 【答案】A 【解析】 试题分析：因为当 时, 满足 , 所以当 时, 满 足 ，令 ， 在 上单调递增, , 即 时, , ，又 仅一个零点.故选 A. 考点：1、函数的求导法则；2、利用导数研究函数的单调性及构造函数解不等式. 【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题 一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构 造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数， 构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择 题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题根据 ，构造函数 然后证明 递增进而得到结论的. 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．） 13．已知集合 则 = ． 【答案】 )(xf ′ ( ) ( )2 ' )(f x xf x xf x+ < 0x < ( )f x ( ) ( ) ( )2 'f x xf x xf x+ < 0x < ( )f x ( ) ( ) ( )2 22 'xf x x f x x f x+ > ( ) ( ) ( ) ( )2 , ' 0F x x f x F x F x= ∴ − > ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 '' 0, x x xx e F x F xF x F x e ee − ∴ = > ∴    ( ),0−∞ ( ) ( ) 0 0 0x F x F e e ∴ < = 0x < ( ) 0, 0f x x< ∴ > ( ) 0f x > ( ) ( )0 0,f f x= ∴ ( ) ( )2 ' )(f x xf x xf x+ < ( ) ( )2 ,F x x f x= ( ) x F x e {1,2,3,4}, { | 3 2 },A B y y x x A= = = − ∈， A B {1,4} 14.以曲线 为曲边的曲边形(如下图阴影部分)面积为 ． 【答案】 【解析】 试题分析：由定积分的几何意义知曲边形)面积为 ,故答案为 . 考点：定积分的几何意义及其应用. 15．函数 f(x)＝2sin( ωx＋φ)(ω>0，－ π 2 <φ< π 2 )的部分图象如图所示，则 的值 是 . 【答案】 【解析】 xy 2cos= 5 4 3 4 4 12 4 cos2 cos2S xdx xdx π π π π= −∫ ∫ 3 4 4 12 4 1 1 5sin 2 | sin 2 |2 2 4x x π π π π= − = 5 4 (0)f − 3 考点：1、已知三角函数的图象求解析式；2、三角函数的周期性. 【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题. 求解析时求参数 是确定函数解析式的关键，由特殊点求 时，一定要分清特殊点是“五点 法”的第几个点， 用五点法求 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第 一点”(即图象上升时与 轴的交点) 时 ；“第二点”(即图象的“峰点”) 时 ；“第三点”(即图象下降时与 轴的交点) 时 ；“第四点”(即图象 的“谷点”) 时 ；“第五点”时 . 16.已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在 处的切线 方 程式为______________. 【答案】 【解析】 考点：1、函数的奇偶性及分段函数的解析式；2、利用导数求曲线的切线方程. 【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及数列的通项问题，属于难题.求曲线切线 的一般步骤是：（1）求出 在 处的导数，即 在点 出的 切线斜率（当曲线 在 处的切线与 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程 为 ）；（2）由点斜式求得切线方程 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分）设函数 图像的一条对称 轴是 直线 . （1）求 并用“五点法”画出函数 在区间 上的图像； ϕ ϕ ϕ x 0xω ϕ+ = 2x πω ϕ+ = x xω ϕ π+ = 3 2x πω ϕ+ = 2xω ϕ π+ = ( )f x 0x ≤ 1( ) xf x e x− −= − ( )y f x= (1,2) 2y x= ( )y f x= 0x x= ( )y f x= P 0 0( , ( ))x f x ( )y f x= P y 0x x= 0x x= ' 0 0( ) ( )y y f x x x− = • − )(),0()2sin()( xfyxxf =<<−+= ϕπϕ 8 π=x ϕ )(xfy = ],0[ π （2）求函数 的单调增区间； 【答案】（1） ，图象见解析；（2） . 【解析】 试题分析：（1）先由称轴是直线 求得 的值，再用“五点法”画出函数 在 一个周期内的简图.( 要求列表、描点、连线)；（2）根据正弦函数的单调性解不等式 即可得函数 的单调增区间 . 试题解析：（1） 的图像的对称轴， 由 0 x 0 y －1 0 1 0 故函数 )(xfy = 3 4 π− 5[ , ],8 8k k k Z π ππ π+ + ∈ 8 π=x ϕ )(xfy = .,224 3222 Zkkxk ∈+≤−≤− πππππ )(xfy = )(8 xfyx == 是函数π  ,1)82sin( ±=+×∴ ϕπ .,24 Zkk ∈+=+∴ ππππ .4 3,0 πϕϕπ −=<<− .4 5,,2,0,2,4 3],4 5,4 3[4 32,],0[ πππππππππ −−=−∈−=∈ txtx 取时 知)4 32sin( π−= xy 4 32 π−x 4 3π− 2 π− 2 π π 4 5π 8 π 8 3π 8 5π 8 7π π 2 2− 2 2− 上图像是在区间 ],0[)( πxfy = 18.（本小题满分 12 分）已知函数 ， （1）求 的定义域与最小正周期； （2）设 ，若 求 的大小. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 试题分析：（1）利用正切函数的性质，由 ，可求得 的定义域， 由其周期公式可求最小正周期；（2）利用同三角函数间的关系式及正弦、余弦的二倍角公式， 可得 ，再由 ，知 ，从而可求得 的大小. 试题解析：解：（1）由 得 所以 的定义域 为 . 的最小正周期为 . ( ) tan(2 ),4f x x π= + ( )f x 0, 4 πα  ∈   ( ) 2cos2 ,2f α α= α , ,8 2 kx k Z π π≠ + ∈ 2 π 12 πα = ( )f x 2 , ,4 2x k k Z π ππ+ ≠ + ∈ , ,8 2 kx k Z π π≠ + ∈ ( )f x | ,8 2 kx R x k Z π π ∈ ≠ + ∈   ( )f x 2 π 2 ,4 2x k k Z π π π+ ≠ + ∈ 1sin 2 2 α = 0, 4 πα  ∈   2 0, 2 πα  ∈   α 考点：1、两角和与差的正切函数；2、二倍角的正切. 19.（本小题满分 12 分）已知函数 （ ）． （1）当 时，求函数 在 上的最大值和最小值； （2）当 时，是否存在正实数 ，当 （ 是自然对数底数）时，函数 的 最小值是 3， 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由； 【答案】（1）最大值是 ，最小值为 ；（2） . 【解析】 试题分析：（1）先求出导函数 ，在求出 的单调区间，进而求 得极大值与极小值，比较端点值可得最大值与最小值；（2）当 时，分三种情况讨论函 数的单调性，进而求出函数 的最小值（用 表示），令其等于 即可求出 的值. ( ) 2 lnf x ax bx x= + − ,a b∈R 1, 3a b= − = ( )f x 1 ,22      0a = b ( ]0,ex∈ e ( )f x b ( )1 2f = ( )2 2 ln 2f = − 2b e= ( ) ( )( )2 1 1x xf x x − −′ = − ( )f x 0a = ( )f x b 3 b 故函数在 最大值是 ， 又 ，故 ， 故函数在 上的最小值为 ． （2） （ ⅰ ） （ⅱ） 考点：1、利用函数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的极值及最值. 20．（本题满分 12 分）公园里有一扇形湖面，管理部门打算在湖中建一三角形观景平台，希 望面积 1 ,22      ( )1 2f = ( ) ( )1 5 3 32 2 ln 2 ln 2 2ln 2 ln 4 02 4 4 4f f    − = − − + = − = − <       ( ) 12 2f f  <    1 ,22      ( )2 2 ln 2f = − 分得时 7 )1(1)(,ln)(0 x bxb xbxfxbxxfa − =−=′−== ( ] min 1 10 , , 0, , ( ) 0 ( ) , ( ) ( ) 1 0b e x e f x f x f x f e bee b ′< ≤ ≥ ∈ < ⇒ ⇒ = = − <时 时 递减 ,10,1 ebeb <<> 时 分存在实数综上所述 分得 递增时递减时 12, 11,3ln1)1()( .)(0)(,],1(;)(0)(,)1,0( 2 2 min   eb ebbbfxf xfxfbxxfxfbx = ==+==∴ ⇒>′∈⇒<′∈ π 与周长都最大．如图所示扇形 ，圆心角 的大小等于 ，半径为 百米，在半径 上取一点 ， 过点 作平行于 的直线交弧 于点 ．设 ． （1）求△ 面积 的函数表达式. （2）求 的最大值及此时 的值． 【答案】（1） ；（2） ， . 【解析】 试题解析：（1）∵ ∥ ，∴ ， 在△ 中，由正弦定理得 ，即 ∴ ,又 ． 于是 AOB AOB 3 π 2 OA C C OB AB P θ=∠COP POC )(θS )(θS θ ( ) 2 3 3sin(2 )3 6 3S πθ θ= + − 3 3 6 π CP OB θπ −=∠=∠ 3POBCPO POC θsinsin CP PCO OP =∠ θπ sin 3 2sin 2 CP= θsin 3 4=CP 3 2sin)3sin( πθπ OPOC = − )3sin( 3 4 θπ −=∴OC 3 2sin2 1)( πθ OCCPS ⋅= 2 3)3sin( 3 4sin 3 4 2 1 ×−⋅⋅= θπθ (2)由（1）知 ∴ 时， 取得最大值为 . 考点：1、正弦定理的应用及三角形面积公式；2、两角和与差的正弦公式及利用三角函数的 求最值. 【方法点晴】本题主要考查正弦定理的应用及三角形面积公式、两角和与差的正弦公式及利 用三角函数的求最值，属于难题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成 的形式利用配方法求最值；②形如 的可化为 的形式利用三角函数有界性求最值；③ 型，可化为 求最值 .本题是利用方法③的思路解答的. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 是偶函数． （1）求 的值； （2）设 ,若函数 与 的图象有且只有一个公共点,求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 4( ) log (4 1)xf x kx= + + ( )k R∈ k 4 4( ) log ( 2 )3 xg x a a= ⋅ − ( )f x ( )g x a )3sin(sin 3 4 θπθ −⋅= )(θS )3sin(sin 3 4 θπθ −⋅= )sin2 1cos2 3(sin 3 4 θθθ −= θθθ 2sin 3 2cossin2 −= 3 32cos3 32sin −+= θθ 3 3)62sin(3 32 −+= πθ 6 πθ = )(θS 3 3 2sin siny a x b x c= + + sin sin a x by c x d += + sin ( )x yφ= sin cosy a x b x= + 2 2 sin( )y a b x φ= + + 1 2k = − { } ( )3 1,− +∞ 试题解析：（1）由函数 是偶函数可知： 即 对一切 恒成立 . （2）函数 与 的图象有且只有一个公共点 即方程 有且只有一个实根 化简得：方程 有且只有一个实根 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的交点、方程根与系数之间的关系. 【方法点睛】 本题主要考查函数的奇偶性、函数的交点、方程根与系数之间的关系，属于难 题.判断函数 与 交点个数的常用方法：①直接法：利用数形结合法画出为 两个函数的图象即可看出交点个数问题，画出两个函数的图象可利用判别式的正负直接判定 一元二次方程根的个数；②转化法：转化为方程 ，利用韦达定理及判别式的 正负直接判定一元二次方程根的个数，就是两函数交点个数. 22．（本小题满分 12 分）设函数 (其中 ). ( )f x ( ) ( )f x f x= − 4 4log (4 1) log (4 1)x xkx kx−∴ + + = + − 4 4 1log 24 1 x x kx− + = −+ 2x kx= − x R∈ 1 2k∴ = − ( )f x ( )g x 4 4 1 4log (4 1) log ( 2 )2 3 x xx a a+ − = ⋅ − 1 42 22 3 x x x a a+ = ⋅ − ( )y f x= ( )y g x= ( ) ( ) 0f x g x− = ( ) ( ) 21 xf x x e kx= − − k ∈R （1）若 对 恒成立，求实数 的取值范围； （2）当 时,求函数 在 上的最大值 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 试题分析：（1） 对 恒成立等价于 恒成立，记 利用导数求单调区间，进而求函数最小值即可；（2）先证明当 时,函数递减，当 时,函数递增，则 ，利用导数证明 即可. 试题解析： (1) ，记 则 在 上是增函数， ， 。 令 , 则 , 令 , 则 0)( >xf ),1( +∞∈x k 1 ,12k  ∈   ( )f x [ ]0,k M 1k ≤ ( ) 31 kM k e k= − − 0)( >xf ),1( +∞∈x 2 ( 1) xx ek x −< 2 )1()( x exxu x−= ( )( )0,ln 2x k∈ ( )( )ln 2 ,x k∈ +∞ ( ) ( ){ } ( ){ }3max 0 , max 1, 1 kM f f k k e k= = − − − )0()( fkf ≥ 2 )1(0)(,),1( x exkxfx x−<⇔>+∞∈ 时 2 )1()( x exxu x−= )(,0]1)1[()( 3 2 xfx exxu x ∴>+−=′ ),0( +∞ 0)1()(,),1( =>+∞∈ fxfx 时 1≤∴k ( ) ( ) 31 1kh k k e k= − − + ( ) ( )3kh k k e k′ = − ( ) 3kk e kϕ = − ( ) 3 3 0kk e eϕ′ = − < − < 所以 在 上递减,而 所 以 存 在 使 得 , 且 当 时 , , 当 时 , , 所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 因为 , ,所以 即 在 上恒成立,当 且仅当 时取得“ ”. 综上,函数 在 上的最大值 . 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求闭区间上函数的最值. 【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值、最值，属于难题.求 函数 极值进而求最值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数 ；(3)解方程 求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查 在 的根 左右两侧值 的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右 增），那么 在 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值； （6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小. ( )kϕ 1 ,12      ( ) ( )1 31 3 02 2e eϕ ϕ   ⋅ = − − <       0 1 ,12x  ∈   ( )0 0xϕ = 0 1 ,2k x ∈   ( ) 0kϕ > ( )0 ,1k x∈ ( ) 0kϕ < ( )h k 0 1 ,2 x     ( )0 ,1x 1 1 7 02 2 8h e  = − + >   ( )1 0h = ( ) 0h k ≥ )0()( fkf ≥ 1 ,12      1k = = ( )f x [ ]0,k ( ) 31 kM k e k= − − ( )f x ( )f x′ ( ) 0,f x′ = ( )f x′ ( ) 0f x′ = 0x ( )f x 0x ( )f x 0x