数学理卷·2018届甘肃省民乐一中高三10月月考（2017

数学理卷·2018届甘肃省民乐一中高三10月月考（2017

民乐一中2017—2018学年第一学期高三年级十月份考试 理科数学试卷 本试卷分必考部分和选考两部分 必考部分 一、 选择题(本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.设集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知（是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 执行如图的程序框图,若输出的值为6,则判断框内可填入的 条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知等比数列，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为(　 　)‎ ‎ A. B. C．4π D.π ‎6.已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ ‎＜π)的部分图象如图所示，且f()＝1，∈，则＝(　　)‎ A．± B． C．－ D. ‎8.已知向量a，b满足a⊥b，|a＋b|＝t|a|，若a＋b与a－b的夹角为，则t的值为(　 　)‎ A．1 B. C．2 D．3‎ ‎9.如图所示，已知二面角的平面角为，PA⊥，PB⊥，A、B为垂足， 且PA=4，PB=5，设A、B到棱的距离分别为x、y，当变化时，点（x，y）的轨迹是下列图形中的（ ） ‎ ‎10.若变量满足约束条件，且，则仅在点处取得最大值的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎12.已知定义在上的函数满足①,②,③在[-1,1]上表达式为,则函数与函数的图象在区间[-3,3]上的交点个数为( )‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.等比数列的公比，已知， ，则的前4项和_____ ‎ ‎14.设，若的最小值为 ‎ ‎15.若随机变量服从正态分布， ， ，设，且则 ‎ ‎16.已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则的取值范围是_______．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 17. 如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为主题游乐区，四边形区域为BCDE为休闲游乐区，AB、BC，CD，DE，EA，BE为游乐园的主要道路（不考虑宽度）．‎ ‎（1）求道路BE的长度；‎ ‎（2）求道路AB，AE长度之和的最大值．‎ 18. 一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球，分别标有不同的数字2，3，4，，现从袋中随机摸出2个球，并计算摸出的这2个球上的数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验。记A事件为“数字之和为7”.试验数据如下表：‎ ‎（Ⅰ）如果试验继续下去，根据上表数据，出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近。试估计“出现数字之和为7”的概率，并求的值； ‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设定一种游戏规则：每次摸2球，若数字和为7，则可获得奖金7元，否则需交5元。某人摸球3次，设其获利金额为随机变量元，求的数学期望和方差.‎ ‎19.如图，在四棱锥中， ‎ ‎， 平面， .‎ ‎(1)设点为的中点，求证： 平面；‎ ‎(2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎20.如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.‎ ‎21．若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数）．‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．‎ 选考部分 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，已知圆： (为参数)，点在直线：上，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）射线交圆于，点在射线上，且满足，求点轨迹的极坐标方程．‎ ‎23.选修4-5不等式选讲 若函数的最小值为2．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若 ，且，证明：．‎ 民乐一中2017—2018学年第一学期高三年级十月份考试 理科数学试卷答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A D A D C C D C D D ‎ 13. 14. 15.2 16.‎ ‎17.（Ⅰ）如图，连接,在中，由余弦定理得：‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 又,,‎ 所以在中，;‎ ‎（Ⅱ）设,,,‎ 在中，由正弦定理，得,‎ ‎, ，，‎ ‎，，‎ 当，即时，取得最大值，‎ 即道路长度之和的最大值为.‎ ‎18.（1）由数据表可知，当试验次数增加时，频率稳定在0.33附近，所以可以估计“出现数字之和为7”的概率为 2分 ‎，A事件包含两种结果，则有， 5分 ‎（2）设表示3次摸球中A事件发生的次数，则,‎ ‎ 8分 则 ‎ 10分 ‎ 12分 ‎(注：（2）问也可以利用分布列去计算数学期望和方差）‎ ‎19.‎ ‎（注：（1）问也可建系来证明）‎ ‎(2)过作，交于，又平面知以为原点， ‎ 分别为轴建系如图： ‎ 则 设平面PAC的法向量，‎ 由有取 ‎ 设，则，‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴,∴． ‎ ‎∴线段上存在一点， 为中点 ‎20.‎ ‎（2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知， 由（1）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，解得或.当时，‎ 重合，此时题设要求的圆不存在.‎ 当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心，设 由得而故 圆的半径 综上，存在满足条件的圆，其方程为：‎ ‎21.21.（1） ， ‎ ‎． ‎ 当时，． ------2分 ‎ 当时，，此时函数递减； ‎ 当时，，此时函数递增；‎ ‎∴当时，取极小值，其极小值为．------4分 ‎ ‎（2）解：由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点． ‎ 设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．‎ 由，可得当时恒成立．‎ ‎， ‎ ‎ 由，得．------8分 下面证明当时恒成立．‎ 令，则 ‎， 当时，．‎ 当时，，此时函数递增；‎ 当时，，此时函数递减；‎ ‎∴当时，取极大值，其极大值为．‎ 从而，即恒成立 ‎ ‎∴函数和存在唯一的隔离直线．------12分 ‎22.解：（Ⅰ）圆的极坐标方程，直线的极坐标方程＝. …………5分 ‎(Ⅱ)设的极坐标分别为，因为 又因为，即 ‎， ………………10分 ‎23.（Ⅰ）解：当时， ‎ 最小值为， ………………2分 当时，‎ 最小值为，（舍） ‎ ‎ 综上所述，. ………………5分 ‎（Ⅱ）证明：∵‎ ‎ ………………8分 ‎∴ ………………10分