数学文卷·2017届辽宁省葫芦岛市普通高中高三上学期期末考试（2017

数学文卷·2017届辽宁省葫芦岛市普通高中高三上学期期末考试（2017

‎2016-2017学年辽宁省葫芦岛市高三（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数z= （i为虚数单位）的虚部为（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．﹣3i D．2‎ ‎2．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（∁UB）∩A=（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3）‎ ‎3．已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎4．在如下程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（　　）‎ A．25 B．20 C．12 D．5‎ ‎6．在圆x2+y2‎ ‎﹣4x﹣4y﹣2=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎7．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为（　　）‎ A．3 B． C． D．3‎ ‎8．将函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，若g（x）≤|g（）|对x∈R恒成立，则函数y=g（x）的单调递减区间是（　　）‎ A．[kπ+，kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）‎ C．[kπ+，kπ+]（k∈Z） D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）‎ ‎9．成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，如“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈． 问日益几何．”意思是：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（　　）（其中1匹=4丈，1丈=10尺，1尺=10寸）‎ A．5寸另寸 B．5寸另寸 C．5寸另寸 D．5寸另寸 ‎10．化简=（　　）‎ A．1 B．2 C． D．﹣1‎ ‎11．设F1，F2分别为双曲线C：的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎12．已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对∀x∈R，总有2f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则（　　）‎ A．f（x）＞0恒成立 B．f（x）＜0恒成立 C．f（x）的最大值为0 D．f（x）与0的大小关系不确定 ‎　‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．如图是函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象，则f（3x0）=　　‎ ‎14．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂β．给出下列命题：‎ ‎①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β； ④l⊥β⇒m∥α．‎ 其中正确的命题是　　． （填写所有正确命题的序号）．‎ ‎15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为　　．‎ ‎16．若二次函数f（x）=x2+1的图象与曲线C：g（x）=aex+1（a＞0）存在公共切线，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题；共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=1，a32=4a2a6．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn+2=3log2，求数列{anbn}的前n项和．‎ ‎18．如图，四边形ABCD为矩形，PB=2，BC=3，PA⊥平面ABCD．‎ ‎（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；‎ ‎（2）当AB的长为多少时，点B到平面ACD的距离为？请说明理由．‎ ‎19．某调查者从调查中获知某公司近年来科研费支出（xi） 用与公司所获得利润（yi）的统计资料如表：‎ 科研费用支出（xi）与利润（yi）统计表 单位：万元 年份 科研费用支出（xi）‎ 利润（yi）‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎5‎ ‎11‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎31‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎34‎ ‎25‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎180‎ ‎（1）由散点图可知，科研费用支出与利润线性相关，试根据以上数据求出y关于x的回归直线方程；‎ ‎（2）当x=xi时，由回归直线方程=x+得到的函数值记为，我们将ε=|﹣yi|称为误差；‎ 在表中6组数据中任取两组数据，求两组数据中至少有一组数据误差小于3的概率；‎ 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：‎ ‎==‎ ‎， =﹣．‎ ‎20．已知椭圆Cn： +=n（a＞b＞0，n∈N*），F1、F2是椭圆C4的焦点，A（2，）是椭圆C4上一点，且•=0；‎ ‎（1）求Cn的离心率并求出C1的方程；‎ ‎（2）P为椭圆C2上任意一点，过P且与椭圆C2相切的直线l与椭圆C4交于M，N两点，点P关于原点的对称点为Q；求证：△QMN的面积为定值，并求出这个定值．‎ ‎21．设函数f（x）=ex﹣ax2+1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=bx+2．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）当x＞0时，求证：f（x）≥（e﹣2）x+2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．已知直线l的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．‎ ‎（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣1|．‎ ‎（1）解不等式：f（x）≤5；‎ ‎（2）若函数g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省葫芦岛市高三（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数z= （i为虚数单位）的虚部为（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．﹣3i D．2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．‎ ‎【解答】解：z==，‎ 复数z= （i为虚数单位）的虚部为：﹣3．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（∁UB）∩A=（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3）‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=（0，4]，‎ B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），‎ ‎∴CUB=（﹣1，3），‎ ‎∴（CUB）∩A=（0，3），‎ 故选：D ‎　‎ ‎3．已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据平面向量数量积的定义，即可求出向量、的夹角θ以及θ的正切值．‎ ‎【解答】解：设、的夹角为θ，则θ∈[0，π]，‎ 又（）=5，||=2，||=1，‎ ‎∴+•=22+2×1×cosθ=5，‎ 解得cosθ=，‎ ‎∴θ=，‎ ‎∴tanθ=，‎ 即向量与夹角的正切值为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．在如下程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据查询框图转化为几何概型进行计算即可．‎ ‎【解答】解：程序框图对应的不等式组为，‎ 则“恭喜中奖！满足条件为y≥x+，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 则正方形的面积S=1×1=1，‎ D（0，），E（，1），‎ 则△ADE的面积S=××=，‎ 则能输出“恭喜中奖！”的概率为，‎ 故选：A ‎　‎ ‎5．某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（　　）‎ A．25 B．20 C．12 D．5‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵初级教师80人，‎ ‎∴抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为，‎ 解得n=20，即初级教师人数应为20人，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．在圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．‎ ‎【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y﹣2）2=10，‎ 则圆心坐标为（2，2），半径为，‎ 根据题意画出图象，如图所示：‎ 由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，‎ 所以BD=2BE=2，‎ 又AC⊥BD，‎ 所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．‎ 故选B ‎　‎ ‎7．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为（　　）‎ A．3 B． C． D．3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥，画出它的直观图，求出各条棱长即可．‎ ‎【解答】解：根据几何体的三视图，得；‎ 该几何体是三棱锥P﹣ABC，如图所示；‎ PA=4，AB=3+2=5，C到AB中点D的距离为CD=3，‎ ‎∴PB===，‎ AC===，‎ BC==，‎ PC===，‎ ‎∴PB最长，长度为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．将函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，若g（x）≤|g（）|对x∈R恒成立，则函数y=g（x）的单调递减区间是（　　）‎ A．[kπ+，kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）‎ C．[kπ+，kπ+]（k∈Z） D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）‎ ‎【考点】三角函数的化简求值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】首先通过三角函数的恒等变换，变换成正弦型函数，进一步利用平移变换，最后根据正弦型函数的单调性求得结果．‎ ‎【解答】解：f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位，得到 g（x）=2sin（2x+2φ﹣）．‎ ‎∵g（x）≤|g（）|对x∈R恒成立，‎ ‎∴g（）=±1，即2sin（2×+2φ﹣）=±1，‎ ‎∴φ=kπ+，（k∈Z）‎ ‎∵0＜φ＜，‎ ‎∴φ=，‎ ‎∴g（x）=2sin（2x+）．‎ 令2x+∈[2kπ+，2kπ+π]，（k∈Z）‎ 则x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z）‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，如“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈． 问日益几何．”意思是：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（　　）（其中1匹=4丈，1丈=10尺，1尺=10寸）‎ A．5寸另寸 B．5寸另寸 C．5寸另寸 D．5寸另寸 ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列前n项和公式能求出d，再把尺换算成寸即可．‎ ‎【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，‎ 由题意知，‎ 解得d=尺．‎ 尺=寸=5寸另寸．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．化简=（　　）‎ A．1 B．2 C． D．﹣1‎ ‎【考点】二倍角的余弦；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】用倍角公式化简后，再用诱导公式即可化简求值．‎ ‎【解答】解： ===2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．设F1，F2分别为双曲线C：‎ 的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），利用△AMN的面积为，建立方程，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），‎ ‎∵△AMN的面积为，‎ ‎∴，‎ ‎∴4a2（c2﹣a2）=c4，‎ ‎∴e4﹣4e2+4=0，‎ ‎∴e=．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对∀x∈R，总有2f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则（　　）‎ A．f（x）＞0恒成立 B．f（x）＜0恒成立 C．f（x）的最大值为0 D．f（x）与0的大小关系不确定 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．‎ ‎【分析】令g（x）=x2f（x），求出函数的导数，得到函数g（x）的单调区间，从而求出函数的最大值，求出答案即可．‎ ‎【解答】解：令g（x）=x2f（x），‎ 则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，‎ 若对∀x∈R，总有2f（x）+xf′（x）＜0成立 则x＞0时，g′（x）＜0，x＜0时，g′（x）＞0，‎ 故g（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，+∞）递减，‎ 故g（x）max=g（0）=0，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．如图是函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象，则f（3x0）=　﹣　‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】由特殊点的坐标求出φ的值，再利用余弦函数的图象特征求得x0的值，可得要求式子的值．‎ ‎【解答】解：根据函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象，可得cosφ=，∴φ=，‎ ‎∴f（x）=cos（πx+）．‎ 再根据πx0+=，可得x0=，∴f（3x0）=cos（5π+）=﹣cos=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎14．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂β．给出下列命题：‎ ‎①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β； ④l⊥β⇒m∥α．‎ 其中正确的命题是　①④　． （填写所有正确命题的序号）．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】在①中，由线面垂直的性质定理得l⊥m；在②中，l与m相交、平行或异面；在③中，l与β相交或平行；在④中，由已知得α∥β，从而m∥α．‎ ‎【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂‎ β，知：‎ 在①中，α∥β⇒l⊥m，由线面垂直的性质定理得l⊥m，故①正确；‎ 在②中，α⊥β⇒l与m相交、平行或异面，故②错误；‎ 在③中，m∥α⇒l与β相交或平行，故③错误；‎ 在④中，l⊥β⇒α∥β⇒m∥α，故④正确．‎ 故答案为：①④．‎ ‎　‎ ‎15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为　　．‎ ‎【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】使用正弦定理将边化角，化简得出tanB和tanC的关系，代入两角差的正切公式使用基本不等式得出最大值．‎ ‎【解答】解：∵2bcosC﹣3ccosB=a，‎ ‎∴2sinBcosC﹣3sinCcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，‎ ‎∴sinBcosC=4cosBsinC，‎ ‎∴tanB=4tanC．‎ ‎∴tan（B﹣C）===≤．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．若二次函数f（x）=x2+1的图象与曲线C：g（x）=aex+1（a＞0）存在公共切线，则实数a的取值范围为　（0，]　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：f（x）=x2+1的导数为f′（x）=2x，g（x）=aex+1的导数为g′（x）=aex，‎ 设公切线与f（x）=x2+1的图象切于点（x1，x12+1），‎ 与曲线C：g（x）=aex+1切于点（x2，aex2+1），‎ ‎∴2x1=aex2==，‎ 化简可得，2x1=，得x1=0或2x2=x1+2，‎ ‎∵2x1=aex2，且a＞0，∴x1＞0，则2x2=x1+2＞2，即x2＞1，‎ 由2x1=aex2，得a==，‎ 设h（x）=（x＞1），则h′（x）=，‎ ‎∴h（x）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，‎ ‎∴h（x）max=h（2）=，‎ ‎∴实数a的取值范围为（0，]，‎ 故答案为：（0，]．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题；共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=1，a32=4a2a6．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn+2=3log2，求数列{anbn}的前n项和．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）设数列{an}的公比为q，通过解方程组可求得a1与q，从而可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）利用错位相减法可求得数列{an•bn}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（1）由a32=4a2a6得：a32=4a42∴q2= 即q=‎ 又由a1+2a2=1得：a1=‎ ‎∴an=（）n…‎ ‎（2）∵bn+2=3log2∴bn+2=3log22n∴bn=3n﹣2‎ ‎∴cn=（3n﹣2）•（）n ‎∴Sn=1×+4×（）2+7×（）3+…+（3n﹣5）•（）n﹣1+（3n﹣2）•（）n …①‎ Sn=1×（）2+4×（）3+7×（）4+…+（3n﹣5）•（）n+（3n﹣2）•（）n+1…②‎ ‎①﹣②得：‎ Sn=1×+3（（）2+（）3+…+（）n）﹣（3n﹣2）•（）n+1‎ ‎=1×+3×﹣（3n﹣2）•（）n+1‎ ‎=+3×（1﹣（）n﹣1）﹣（3n﹣2）•（）n+1‎ Sn=1+3﹣3×（）n﹣1﹣（3n﹣2）•（）n=4﹣（）n（6+3n﹣2）=4﹣（）n（3n+4）‎ 即：Sn=4﹣…‎ ‎　‎ ‎18．如图，四边形ABCD为矩形，PB=2，BC=3，PA⊥平面ABCD．‎ ‎（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；‎ ‎（2）当AB的长为多少时，点B到平面ACD的距离为？请说明理由．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）证明：AB⊥平面PAD，根据四边形ABCD为矩形，AB∥CD，得到CD⊥平面PAD，即可证明平面PCD⊥平面PAD；‎ ‎（2）利用等体积方法，即可求解．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形为矩形，∴AB⊥AD ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB ‎∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD ‎∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD ‎∴CD⊥平面PAD 又因为CD⊂平面PCD ‎∴平面PCD⊥平面PAD…‎ ‎（2）解：设AB=x，则CD=x，PA=，PC=，PD=‎ ‎∴VB﹣PCD=VP﹣BCD ‎∴××CD×PD×=××BC×CD×PA 即×x•×=××3x•，‎ ‎∴=2，解得：x=1‎ 即当AB的长为1时，点B到平面PCD的距离为…‎ ‎　‎ ‎19．某调查者从调查中获知某公司近年来科研费支出（xi） 用与公司所获得利润（yi）的统计资料如表：‎ 科研费用支出（xi）与利润（yi）统计表 单位：万元 年份 科研费用支出（xi）‎ 利润（yi）‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎5‎ ‎11‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎31‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎34‎ ‎25‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎180‎ ‎（1）由散点图可知，科研费用支出与利润线性相关，试根据以上数据求出y关于x的回归直线方程；‎ ‎（2）当x=xi时，由回归直线方程=x+得到的函数值记为，我们将ε=|﹣yi|称为误差；‎ 在表中6组数据中任取两组数据，求两组数据中至少有一组数据误差小于3的概率；‎ 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：‎ ‎==， =﹣．‎ ‎【考点】线性回归方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）根据所给的数据，利用最小二乘法需要的6个数据，横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．‎ ‎（2）列举出所有的基本事件再求出满足条件的事件的个数，作商即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得如下表格 序号 xi yi xi•yi xi2‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎31‎ ‎155‎ ‎25‎ ‎2‎ ‎11‎ ‎40‎ ‎440‎ ‎121‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎30‎ ‎120‎ ‎16‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎34‎ ‎170‎ ‎25‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎25‎ ‎75‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎4‎ ‎=5‎ ‎=30‎ xi•yi=1000‎ xi2=200‎ ‎===2， =﹣=30﹣2×5=20，‎ ‎∴回归方程是： =2x+20…‎ ‎（2）各组数据对应的误差如下表：‎ 序号 xi yi ε ‎1‎ ‎5‎ ‎31‎ ‎30‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎11‎ ‎40‎ ‎42‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎30‎ ‎28‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎34‎ ‎30‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎20‎ ‎24‎ ‎4‎ 基本事件空间Ω为：‎ Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）}‎ 共15个基本事件 事件“至少有一组数据与回归直线方程求得的数据误差小于3”包含的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（5，6），共14个基本事件 ‎∴P=‎ 即在表中6组数据中任取两组数据，两组数据中至少有一组数据与回归直线方程求得的数据误差小于3的概率为；…‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆Cn： +=n（a＞b＞0，n∈N*），F1、F2是椭圆C4的焦点，A（2，）是椭圆C4上一点，且•=0；‎ ‎（1）求Cn的离心率并求出C1的方程；‎ ‎（2）P为椭圆C2上任意一点，过P且与椭圆C2相切的直线l与椭圆C4交于M，N两点，点P关于原点的对称点为Q；求证：△QMN的面积为定值，并求出这个定值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）椭圆C4的方程为： +=1，由•=0．∴⊥，可得b2，a2即可；‎ ‎（2）由距离公式得到点P到直线l的距离d，由弦长公式得到MN，△QMN的面积为s=即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）椭圆C4的方程为：C4： +=4 即： +=1‎ 不妨设c2=a2﹣b2 则F2（2c，0）‎ ‎∵•=0．∴⊥，‎ ‎∴2c=2， ==‎ ‎∴c=1，2b2=a，2b4=a2=b2+1，‎ ‎∴2b4﹣b2﹣1=0，‎ ‎∴（2b2+1）（b2﹣1）=0，‎ ‎∴b2=1，a2=2‎ ‎∴椭圆Cn的方程为： +y2=n ‎∴e2==，∴e=‎ 椭圆C1的方程为： +y2=1；‎ ‎（2）设P （x0，y0），由（1）得C2：为： +y2=2，‎ ‎∴过P且与椭圆C2相切的直线l：．且x02+2y02=4‎ 点P关于原点对称点Q （﹣x0，﹣y0），点P到直线l的距离d=‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2）‎ 由.得4x2﹣8x0x+16﹣16y02=0⇒x2﹣2x0x+4﹣4y02=0；‎ x1+x2=2x0，x1x2=4﹣4y02，‎ MN=，‎ ‎∴△QMN的面积为s==4（定值）‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=ex﹣ax2+1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=bx+2．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）当x＞0时，求证：f（x）≥（e﹣2）x+2．‎ ‎【考点】‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；‎ ‎（2）令ϕ（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣2=ex﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1，则ϕ′（x）=ex﹣2x﹣（e﹣2），令t（x）=ϕ′（x），根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=ex﹣2ax，f′（1）=e﹣2a，f（1）=e﹣a+1，‎ ‎∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：‎ y﹣e+a﹣1=（e﹣2a）x﹣e+2a，‎ 即：y=（e﹣2a）x+a+1，‎ 由题意：e﹣2a=b，a+1=2，‎ ‎∴a=1，b=e﹣2…‎ ‎（2）证明：令ϕ（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣2=ex﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1，‎ 则ϕ′（x）=ex﹣2x﹣（e﹣2），令t（x）=ϕ′（x），‎ 则t′（x）=ex﹣2，‎ 令t′（x）＜0得：0＜x＜ln2 令t′（x）＞0得：x＞ln2，‎ ‎∴t（x）=ϕ′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增 ‎∵t（0）=ϕ′（0）=3﹣e＞0，t（1）=ϕ′（1）=0，0＜ln2＜1，‎ ‎∴t（ln2）=ϕ′（ln2）＜0，‎ ‎∴存在x0∈（0，1）使t（x0）=ϕ′（x0）=0，‎ 且当x∈（0，x0）或x∈（1，+∞）时，t（x）=ϕ′（x）＞0，‎ 当x∈（x0，1）时，t（x）=ϕ′（x）＜0，‎ ‎∴ϕ（x）在（0，x0）上递增，在（x0，1）上递减，在上递增（1，+∞），‎ 又ϕ（0）=ϕ（1）=0，所以有：ϕ（x）≥0，‎ 即f（x）﹣（e﹣2）x﹣2≥0，‎ ‎∴f（x）≥（e﹣2）x+2…‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．已知直线l的参数方程为 ‎ （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．‎ ‎（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）直线l的参数方程为 （t为参数），消去参数t化为普通方程可得，进而得到倾斜角．由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，即可化为直角坐标方程．‎ ‎（2）将|PA|+|PB|转化为求|AB|来解答．‎ ‎【解答】解　（1）直线的斜率为，直线l倾斜角为…‎ 由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，得到曲线C的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1…‎ ‎（2）点P（0，）在直线l上且在圆C内部，所以|PA|+|PB|=|AB|…‎ 直线l的直角坐标方程为y=x+…‎ 所以圆心（，）到直线l的距离d=．所以|AB|=，即|PA|+|PB|=…‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣1|．‎ ‎（1）解不等式：f（x）≤5；‎ ‎（2）若函数g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）由于|x﹣4|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和，而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5，由此求得不等式 ‎|x﹣4|+|x﹣1|≤5的解集．‎ ‎（2）函数g（x）=的定义域为R，可得f（x）+2m≠0恒成立，|x﹣4|+|x﹣1|=﹣2m在R上无解，利用|x﹣4|+|x﹣1|≥3，即可求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由于|x﹣4|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和，‎ 而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5，‎ 故不等式|x﹣4|+|x﹣1|≤5的解集为{x|0≤x≤5}．‎ ‎（2）函数g（x）=的定义域为R，可得f（x）+2m≠0恒成立，‎ ‎∴|x﹣4|+|x﹣1|=﹣2m在R上无解，‎ ‎∵|x﹣4|+|x﹣1|≥3，‎ ‎∴﹣2m＜3，‎ ‎∴m＞﹣．‎ ‎　‎ ‎2017年1月31日