数学理卷·2018届福建省三明市第一中学高三下学期开学考试（2018

数学理卷·2018届福建省三明市第一中学高三下学期开学考试（2018

三明一中 2017—2018 学年第二学期入学考试 高三理科数学试题 ‎（考试时间：120 分钟 满分：150 分）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）‎ 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．‎ z1‎ ‎1．若复数 z1 , z2 在复平面内对应的点关于 x 轴对称，且 z1 = 1 + 2i ，则 z2‎ ‎‎ = （ ）‎ A. - 4 + 3 i ‎5 5‎ ‎‎ B. - 3 + 4 i ‎5 5‎ ‎‎ C. - 1 + 3 i ‎2 2‎ ‎‎ D. - 1 - 3 i ‎2 2‎ ‎2．设集合 A = {( x, y ) | x ‎‎ ‎2 y 2‎ + ‎‎ = 1} ，‎ ‎‎ B = {( x, y ) | y = 3x } ，则 A I B 的子集的个数是（ ）‎ ‎4 16‎ A. 2 B. 4 C. 8 D. 16‎ ì x ³ 0‎ í ‎3．若实数 x, y 满足约束条件 ï y ³ 0‎ î ï2x + y £ 2‎ ‎，则 z = x - 2 y 的最大值是（ ）‎ A. 2 B. 1 C. 0 D. 4‎ ‎4．小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时 小王都将笔和笔帽套在一起，但偶尔会将笔和笔帽搭配成不同色.将笔和笔帽随机套在一起，请 问小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是（ ）‎ A. 1‎ ‎6‎ ‎‎ B. 1‎ ‎3‎ ‎‎ C. 1‎ ‎2‎ ‎‎ D. 5‎ ‎6‎ ‎5．已知 O 是 DABC 所在平面内一点， D 为 BC 边中点，且 2OA + OB + OC = 0 ，那么（ ）‎ A. AO = OD ‎B. AO = 2OD ‎C. AO = 3OD ‎D. 2 AO = OD ‎6．已知 f ( x ) = sin (wx +j) (w> 0, -p< j< 0) 的最小正周期是 x ，将 f ( x ) 图象向左平移 p个 ‎3‎ 单位长度后所得的函数图象过点 P (0,1) ，则 f ( x ) = sin (wx +j) （ ）‎ A. 在区间 é- p, pù 上单调递减 ëê 6 3 úû B. 在区间 é- p, pù 上单调递增 ëê 6 3 úû C. 在区间 é- p, pù 上单调递减 ëê 3 6 úû D. 在区间 é- p, pù 上单调递增 ëê 3 6 úû ‎7．按下图所示的程序框图，若输入 a = 110011 ， 则输出的 b = （ ）‎ A. 45 B. 47 C. 49 D. 51‎ ‎8．设 a = 20.3 , b = 0.32 , c = log ‎‎ ( x2 + 0.3) ( x > 1) ，则 a, b, c 的大小关系是（ ）‎ A. a < b < c C. b < a < c ‎B. c < b < a D. b < c < a ‎9．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为 a ，则该三棱锥 的表面积为（ ）‎ A. a 2‎ ‎‎ B. 3a2‎ ‎C. 3 a2‎ ‎6‎ ‎‎ D. 2 3a2‎ ‎10．已知 y2 = 4x 抛物线，焦点记为 F ，过点 F 作直线 l 交抛物线于 A, B 两点，则 AF - 2 的 BF 最小值为（ ）‎ A. 2 2 - 2‎ ‎B. 5‎ ‎6‎ ‎C. 3 - 3 2‎ ‎2‎ ‎‎ D. 2 3 - 2‎ ‎11．2000 多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯((Apollonius)发现：平面截 圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为 PH ， AB 为地面直径，顶角 为 2q，那么不过顶点 P 的平面；与 PH 夹角p > a > q时，截口曲线为椭 ‎2‎ 圆；与 PH 夹角 a =q时，截口曲线为抛物线；与 PH 夹角q> a > 0 时， 截口曲线为双曲线.如图，底面内的直线 AM ^ AB ，过 AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆， 其中与 PB 的交点为 C ，可知 AC 为长轴.那么当 C 在线段 PB 上运动时，截口曲线的短轴顶点 的轨迹为（ ）‎ A. 圆的部分 B. 椭圆的部分 C. 双曲线的部分 D. 抛物线的部分 ‎12．设曲线 ‎f ( x ) = -ex - x （ e 为自然对数的底数）上任意一点的切线为 l ，总存在曲线 g ( x ) = 3ax + 2cosx 上某点处切线 l2 ，使得 l1 ^ l2 ，则实数 a 的取值范围为（ ）‎ A. [-1, 2] ‎B. [3, +¥] ‎C. é- 2 , 1 ù ‎D. é- 1 , 2 ù ëê 3 3 úû ‎ëê 3 3 úû 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）‎ 二、填空题：本大题共 4 小题中，每小题 5 分，共 20 分.请把答案写在答题卷相应位置上．‎ ‎13． æ x2 - 1 + 3 ö ‎‎ 的展开式中常数项是 ．‎ ç x ÷ è ø ‎14．从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一 天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期 不相邻，那么不同的安排种数为 ．（用数字作答）‎ ‎15．下列共用四个命题.‎ ‎（1）命题“ $x0 Î R ，‎ ‎x2 + 1 > 3x ”的否定是“ "x Î R ，‎ ‎x2 + 1 < 3x ”；‎ ‎0 0‎ ‎（2）在回归分析中，相关指数 R2 为 0.96 的模型比 R2 为 0.84 的模型拟合效果好；‎ ‎（3） a, b Î R ，‎ ‎‎ p : a < b ， 1 < 1 < 0 ，则 p 是 q 的充分不必要条件；‎ b a ‎（4）已知幂函数 f ( x ) = (m2 - 3m + 3) xm 为偶函数，则 f (-2) = 4 . 其中正确的序号为 ．（写出所有正确命题的序号）‎ n ‎16．已知 an = ò ‎( 2x + 1) dx ， (n Î N *‎ ‎) ，数列 ì 1 ü 的前 n 项和为 S ，数列{b } 的通项公式为 í ý n n î an þ ‎0‎ bn = n - 8 ，则 bn Sn 的最小值为 ．‎ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分 12 分）‎ 四边形 ABCD 如图所示，已知 AB = BC = CD = 2 ， AD = 2 3 .‎ ‎（Ⅰ）求 3cosA - cosC 的值；‎ ‎2 2‎ ‎（Ⅱ）记 DABD 与 DBCD 的面积分别是 S1 与 S2 ，求 S1‎ ‎+ S2 的最大值.‎ ‎18．为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的 ‎45 名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于 15 小时的有 19 人，余下的人中，‎ 在高三模拟考试中数学平均成绩不足 120 分的占 8‎ ‎13‎ ‎‎ ‎，统计成绩后，得到如下的 2 ´ 2 列联表：‎ 分数大于等于 120 分 分数不足 120 分 合计 周做题时间不少于 15 小时 ‎4‎ ‎19‎ 周做题时间不足 15 小时 合计 ‎45‎ ‎（Ⅰ）请完成上面的 2 ´ 2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“高 中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于 120 分和分数不足 120 分 两组学生中抽取 9 名学生，设抽到的不足 120 分且周做题时间不足 15 小时的人数是 X ，求 X 的 分布列（概率用组合数算式表示）；‎ ‎（ⅱ）若将频率视为概率，从全校大于等于 120 分的学生中随机抽取 20 人，求这些人中周做 题时间不少于 15 小时的人数的期望和方差.‎ P ( K 2 ³ k ) ‎0‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附： K 2 = ‎n (ad - bc )2‎ (a + b ) (c + d ) (a + c ) (b + d ) 如图所示，四棱锥 P - ABCD 的底面是梯形，且 AB / /CD , AB ^ 平面 PAD ， E 是 PB 中 ‎1‎ 点， CD = PD = AD = ‎AB ．‎ ‎2‎ ‎（Ⅰ）求证： CE ^ 平面 PAB ；‎ ‎（Ⅱ）若 CE = 所成角的大小．‎ ‎3 ，AB = 4 ，求直线 CE 与平面 PDC ‎20．（本小题满分 12 分）‎ 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 S 到点 F (1, 0) 的距离与到直线 x = 2 的距离的比值为 2 .‎ ‎2‎ ‎（Ⅰ）求动点 S 的轨迹 E 的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点 F 作与 x 轴不垂直的直线 l 交轨迹 E 于 P ， Q 两点，在线段 OF 上是否存在点 ( ) uuur uuuur uuur M (m, 0) ，使得 MP + MQ × PQ = 0 ？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎21．（本小题满分 12 分）‎ 已知函数 f ( x ) = lnx + a - 1 ， a Î R .‎ x ‎（Ⅰ）若关于 x 的不等式 f ( x ) £ 1 x - 1 在[1, +¥ ) 上恒成立，求 a 的取值范围；‎ ‎2‎ ‎（Ⅱ）设函数 g ( x ) = ‎f ( x ) ‎，若 g ( x ) 在 é1, e2 ù 上存在极值，求 a 的取值范围，并判断极值的 正负.‎ ‎x ë û 注意：请考生在 22、23 题两题中任．选．一．道．题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．（本小题满分 10 分）‎ ‎22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为：‎ ‎ìïx = í ‎5 cosq ‎‎ ‎（其中q为参数）.‎ ïî y = 3 + ‎5 sinq ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程；‎ ìx = t cos a ‎（Ⅱ）直线 l 的参数方程为：‎ ‎í î y = t sin a ‎（其中 t 为参数），直线 l 与曲线 C 分别交于 A, B 两 点，且 AB |= 2 3 ，求直线 l 的斜率.‎ ‎23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f ( x ) = ‎2 x + 1 .‎ ‎3‎ ‎（Ⅰ）若不等式 f ( x ) ³ - x + a 恒成立，求实数 a 的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若对于实数 x, y ，有 x + y + 1 £ 1 ， y - 1‎ ‎£ 2 ，求证： f ( x ) £ 2 .‎ ‎3 3 3 3‎ 三明一中 2017-2018 学年第二学期入学考试 高三理科数学试卷参考答案 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B B C A B D C D A D D 二、填空题：每小题 5 分，共 20 分.‎ ‎13. 117 14. 5040 15._（2）（4）_ 16. -4 .‎ 三、解答题：‎ ‎17.‎ ‎（2）依题意 S 2 = 1 AB 2 × AD2sin 2 A = 12 - 12cos2 A ，‎ ‎S 2 = 1 BC 2 × CD2sin 2C = 4 - 4cos2C ，‎ ‎1 4 2 4‎ 所以 2 2 2 2‎ ‎‎ ( )2 2‎ S1 + S2 = 12 - 12cos ‎A + 4 - 4cos C = 16 - 4 cosC + 1‎ ‎- 4cos C = -8cos2C - 8cosC + 12 = -8 æ cosC + 1 ö ‎‎ + 14 ，‎ ç 2 ÷ è ø 因为 2 3 - 2 < BD < 4 ，所以 8 - 8cosC = BD2 Î (16 - 8 3,16) .‎ 解得 -1 < cosC < ‎1 2‎ ‎1‎ ‎3 -1 ，所以 S 2 + S 2 £ 14 ，‎ 当 cosC = - 时取等号，即 S 2 + S 2 的最大值为 14.‎ ‎2 1 2‎ ‎18.解： （1）‎ ‎∵‎ ‎45 (15 ´16 -10 ´ 4)2‎ K 2 = » 7.287 > 6.635‎ ‎25 ´ 20 ´19 ´ 26‎ ‎∴能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”‎ ‎（ⅱ）设从全校大于等于 120 分的学生中随机抽取 20 人，这些人中周做题时间不少于 15 小时的 人数为随机变量Y ，由题意可知Y ~ B (20, 0.6) 故 E (Y ) = 12 ，‎ ‎D (Y ) = 4.8 .‎ ‎19.‎ 所以四边形 EFDC 为平行四边形，所以 CE / / DF ，所以 CE ^ 平面 PAB ．‎ ‎（Ⅱ）解：设点 O，G 分别为 AD，BC 的中点，连结 OG ，则 OG / / AB ，‎ 因为 AB ^ 平面 PAD ， AD Ì 平面 PAD ，所以 AB ^ AD ，所以 OG ^ AD ．‎ 因为 EC = ‎3 ，由（Ⅰ）知，‎ ‎DF = ‎3, 又因为 AB = 4 ，‎ 所以 AD = 2 ，所以 AP = 2 AF = 2‎ ‎AD2 - DF 2 = 2 22 - 3 = 2,‎ 所以 DAPD 为正三角形，所以 PO ^ AD ，‎ 因为 AB ^ 平面 PAD ， PO Ì 平面 PAD ， 所以 AB ^ PO ．‎ 又因为 AD Ç AB = A ，所以 PO ^ 平面 ABCD ．‎ 故 OA, OG, OP 两两垂直，可以点 O 为原点，分别以 OA, OG, OP 的方向为 x, y, z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系 O - xyz ，如图所示．‎ P (0, 0, 3 ) ，‎ ‎‎ C (-1, 2, 0) , D (-1, 0, 0) ，‎ ‎æ 1 3 ö E , 2, ，‎ ç 2 2 ÷ uuur ‎‎ uuur ‎è ø uuur 所以 PD = (-1, 0, - ‎3 ) ，‎ ‎PC = (-1, 2, - ‎3 ) ，‎ ‎æ 3 3 ö EC = - , 0, - ，‎ ç 2 2 ÷ è ø ‎2 2‎ ( x -1) + y ‎20.解： （1）设 S ( x, y ) ，依题意有： = ‎‎ ‎2 整理得 E 的方程为 x ‎‎ + y 2 = 1 .‎ x - 2 2 2‎ uuur uuuur uuur ‎（2）假设在线段 OF 上是否存在点 M (m, 0) ，使得 (MP + MQ )× PQ = 0 ∵直线 l 与 x 轴不垂直，‎ ‎∴设 l :‎ ‎y = k ( x -1) ，‎ ‎P ( x1 , y1 ) ，‎ ‎Q ( x2 , y2 ) ，‎ ‎x1 ¹ x2 ，‎ y = k ( x - 1) 由{ x2‎ ‎‎ 得 (1 + 2k 2 ) x2 - 4k 2 x + 2k 2 - 2 = 0 ，∴ x + x = ‎‎ ‎4k 2‎ ‎‎ ‎， x x ‎‎ = 2k - 2 .‎ + y 2 = 1‎ ‎2‎ ‎1 2 1 + 2k 2‎ ‎1 2 1 + 2k 2‎ ( ) uuur uuuur uuur 因为 MP + MQ × PQ = 0 ，∴ MP = MQ （说明：此处还可以用 PQ 与 M 与 PQ 的中点连线的 斜率成负倒数关系）‎ ‎2 2‎ ‎∴ ( x ‎- m )2 + y 2 = ( x ‎- m )2 + y 2 ∴ ( x ‎- m )2 + 1 - x1‎ ‎= ( x ‎- m )2 + 1 - x2‎ ‎1 1 2 2 1 2 2 2‎ x + x k 2 1 1‎ ‎∴ m = ‎1 2 = = - ‎4 1 + 2k 2‎ ‎2 2 (1 + 2k 2 ) ‎∴ 0 £ m < 1 ，∴存在点 M (m, 0) ， m 的取值范围为 é0, 1 ö .‎ ‎2‎ ‎2 êë ÷ ‎21.解 ：‎ lnx a 1 2‎ ‎1 - 1nx ‎ 1 2a ‎2 x - xlnx - 2a = ‎（2） g ( x ) = + ‎2 ， x Î éë1, e ‎ùû ，∴ g ¢ ( x ) = ‎2 2 3 3 .‎ x x x ‎x x x x - + = 设 h ( x ) = 2x - xlnx - 2a ，则 h¢ ( x ) = 2 - (1 + lnx ) = 1 - lnx .由 h¢ ( x ) = 0 ，得 x = e .‎ 当1 £ x < e 时，‎ ‎h¢ ( x ) > 0 ；当 e < x £ e2 时，‎ ‎h¢ ( x ) < 0 . ∴ h ( x ) 在[1, e) 上单调递增，在 (e, e2 ùû 上单调递减.且 h (1) = 2 - 2a ，‎ ‎h (e) = e - 2a ，‎ ‎h (e2 ) = -2a .显然 h (1) > h (e2 ) .‎ h (e) > 0‎ 结合函数图像可知，若 g ( x ) 在 éë1, e2 ùû 上存在极值，则{ 或{‎ ‎h (1) ³ 0‎ ‎.‎ h (e) > 0‎ ‎（ⅰ）当{‎ h (1) < 0‎ ‎‎ ‎，即1 < a < e 时，‎ ‎2‎ ‎h (1) < 0‎ ‎h (e2 ) < 0‎ 则必定 $x , x ‎Î éë1, e2 ùû ，使得 h ( x ) = h ( x ‎) = 0 ，且1 < x ‎< e < x ‎< e2 .‎ ‎1 2 1 2 1 2‎ 当 x 变化时，‎ ‎h ( x ) ，‎ ‎g¢ ( x ) ，‎ ‎g ( x ) 的变化情况如下表：‎ ‎∴当1 < a < e 时，‎ ‎g ( x ) 在 é1, e2 ù 上的极值为 g ( x ) , g ( x ‎) ，且 g ( x ) < g ( x ) .‎ ‎2‎ ‎∵ g ( x ) = lnx1 + a - 1‎ ‎ë û 1 2 1 2‎ = x1lnx1 - x1 + a .‎ ‎1 x x2‎ ‎x x2‎ ‎1 1 1 1‎ 设j( x ) = xlnx - x + a ，其中1 < a < e ， 1 £ x < e .‎ ‎2‎ ‎∵j¢ ( x ) = lnx > 0 ，∴j( x ) 在 (1, e ) 上单调递增， j( x ) ³ j(1) = a -1 > 0 ，当且仅当 x = 1 时取 等号.‎ e 2‎ ‎∵1 < x1 < e ，∴ g ( x1 ) > 0 .∴当1 < a < 时，‎ ‎2‎ ‎g ( x ) 在 éë1, e ‎ùû 上的极值 g ( x2 ) > g ( x1 ) > 0 .‎ ‎22.解：试题分析：（１）先将参数方程化为直角坐标方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程；‎ ‎（２）借助参数方程的几何意义直接求解：‎ ‎（1）∵由{‎ ‎x = y = 3 + ‎5cosq ‎5sinq ‎‎ 得 x2 + ( y - 3)2 = 5 ，即 x2 + y 2 - 6 y + 4 = 0‎ 所以曲线 C 的极坐标方程为：‎ ‎p2 - 6 psinq+ 4 = 0‎ ‎23.解：（1）根据题意可得 f ( x ) ³ - x + a 恒成立，即 2 x + 1 + x ³ a ，化简得 x + 3 + 3 x ³ 3 a ，‎ ‎3‎ 而 x + 3 + 3 x ³ 3 是恒成立的，所以 3 ³ 3 a ，解得 a £ 1 ；‎ ‎2 2 2‎ ‎2 2 2 2 2‎ ‎（ 2 ）‎ f ( x ) = ‎2 x + 1 = 2 x + 2‎ ‎= 2 æ x - y + 1 + y - 1 ö £ 2 æ x - y + 1 + y - 1 ö £ 2 æ 1 + 2 ö = 2 ，‎ ‎3 3 3 3 ç ‎3 ÷ 3 ç ‎3 ÷ 3 ç 3 3 ÷ 3‎ 所以 f ( x ) £ 2 .‎ ‎3‎ ‎‎ è ø è ø è ø