2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高二3月月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高二3月月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 甘肃省兰州第一中学2018-2019学年高二3月月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若，则等于（ ）‎ A．－2 B．－1 C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合导函数的定义求解的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由导数的定义可知：‎ ‎，‎ 则 .‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的定义及其应用等知识，属于基础题.‎ ‎2．已知函数f(x)的导函数为，且满足（e为自然对数的底数），则（ ）‎ A． B．e C．- D．- e ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得：，令可得的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，‎ 令可得：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的运算法则，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．等于（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，利用定积分的几何意义，将原问题转化为求解平面图形面积的问题，据此确定定积分的值即可.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，由定积分的几何意义可知表示图中阴影部分的面积，‎ 故： .‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查定积分的几何意义，属于基础题.‎ ‎4．已知函数f (x) = 2x3 – 6x2+ m（m为常数）在[–2，2]上有最大值3，那么f (x)在[–2，2]上最小值为（ ）‎ A．-37 B．-29 C．-5 D．-11‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为由已知，f′（x）=6x2-12x，有6x2-12x≥0得x≥2或x≤0，‎ 因此当x∈[2，+∞），（-∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，‎ 又因为x∈[-2，2]，‎ 所以得当x∈[-2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，‎ 所以f（x）max=f（0）=m=3，故有f（x）=2x3-6x2+3‎ 所以f（-2）=-37，f（2）=-5‎ 因为f（-2）=-37＜f（2）=-5，所以函数f（x）的最小值为f（-2）=-37．‎ 答案为A ‎5．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2019(x)＝（ ）‎ A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意计算的值确定函数的周期性，然后结合周期性确定f2019(x)的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，，，‎ ‎，，‎ 据此可得的解析式周期为，‎ 注意到，故.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的运算法则，周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．内接于半径为R的圆的矩形的周长的最大值为(　　)．‎ A．R B．2R C．R D．4R ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得矩形的边长分别为：，据此得到周长的表达式，最后由三角函数的性质可得周长的最大值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得矩形的边长分别为：，则矩形的周长为：‎ ‎，‎ 结合三角函数的性质可知，当时，周长取得最大值：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的性质及其应用，实际应用题的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7．方程-lnx -2=0的根的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，利用导函数研究函数的单调性可知函数的单调区间，然后结合零点存在定理确定方程根的个数即可.‎ ‎【详解】‎ 令，则，‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增；‎ 且：，，‎ ‎，‎ 结合函数零点存在定理可知函数在上存在一个零点，在区间上存在一个零点，‎ 方程-lnx -2=0的根的个数为2.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数零点存在定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8．由曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为(　　)‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.‎ ‎【详解】‎ 联立方程：可得：，，‎ 结合定积分的几何意义可知曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为：‎ ‎.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.‎ ‎9．设函数在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－∞，2) B．(1，2] C．(0，3] D．(4，＋∞]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数的定义域为，由导函数的解析式可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组可得实数a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，由函数的解析式可得：，‎ 据此可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，‎ 结合题意有：，解得：，‎ 即实数a的取值范围是(1，2].‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数研究函数的单调性，属于中等题.‎ ‎10．以初速40 m/s竖直向上抛一物体，t s时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为（ ）‎ A． m B．m C．m D．m ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由v＝40－10t2＝0⇒t2＝4，t＝2.‎ ‎∴h＝ (40－10t2)dt＝＝80－＝ (m)．选A.‎ ‎11．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是（ ）‎ A．跑步比赛 B．跳远比赛 C．铅球比赛 D．不能判定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论.‎ 详解：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；‎ 再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力.‎ ‎12．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可.‎ ‎【详解】‎ 观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，‎ 对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．曲线在点M(π，0)处的切线方程为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.‎ ‎【详解】‎ 由函数的解析式可得：，‎ 所求切线的斜率为：，‎ 由于切点坐标为，故切线方程为：.‎ ‎【点睛】‎ 导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．‎ 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．‎ 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.‎ ‎14．在用数学归纳法证明不等式的过程中，从n＝k到n＝k+1时，左边需要增加的代数式是.________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别写出和时左侧对应的代数式，然后比较两者的表达形式即可确定左边需要增加的代数式.‎ ‎【详解】‎ 当时，等式左侧为：，‎ 当时，等式左侧为：，‎ 据此可得，左边需要增加的代数式是 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数学归纳法的应用，整体思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15．若函数f(x)＝x3＋x2＋4ax＋c(a>0)在(－∞，＋∞)内无极值点，则a的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 很明显，且，结合题意可知，据此可得实数a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 很明显，‎ 由函数的解析式可得：，‎ 函数在(－∞，＋∞)内无极值点，则：,‎ 整理可得：.‎ 即a的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数研究函数的极值点，二次不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16．定义域为的可导函数的导函数是，且满足，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令，，‎ 可得函数在R上为减函数，‎ 又，‎ 故不等式即.‎ 不等式的解集为 .‎ 点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．求证：．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知x>－1，构造函数f(x)＝ex－(1＋x)，利用函数f(x)的最小值可证明 ex≥1＋x．构造函数g(x)＝1+x－ln(1＋x)，利用函数g(x)的最小值可证明1＋x >ln(1＋x)．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，应有x>－1，‎ 设f(x)＝ex－(1＋x)，则 f′(x)＝ex －1，‎ 由f′(x)=0，得 x=0.‎ 当－1< x < 0时，f′(x)<0；当x > 0时，f′(x)>0．‎ ‎∴f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f(x)min= f(0)=0．‎ ‎∴ 当x>－1，f(x)≥f(0)=0，‎ 即 ex≥1＋x．‎ 设g(x)＝1+x－ln(1＋x)，则，‎ 由g′(x)=0，得 x=0. ‎ 当－1< x < 0时，g′(x)<0；当x > 0时，g′(x)>0．‎ ‎∴g(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，g(x)min=g(0)=1．‎ ‎∴ 当x>－1，g(x)≥g(0)=1>0，‎ 即1＋x >ln(1＋x)．‎ 综上可得：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，利用导函数证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18．已知函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不间断的曲线，且f(x)在区间[a，b]上单调，f(a)>0，f(b)<0.试用反证法证明：函数y=f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知y=f(x)在区间[a，b]上一定存在零点x0，假设y=f(x)在区间[a，b]上还存在一个零点x1（x1≠x0），利用反证法证明假设不成立即可证得题中的结论.‎ ‎【详解】‎ 因为函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像连续不间断，且f(a)>0，f(b)<0，即f(a)·f(b)<0.所以函数y=f(x)在区间[a，b]上一定存在零点x0，‎ 假设y=f(x)在区间[a，b]上还存在一个零点x1（x1≠x0），即f(x1)=0，‎ 由函数f(x)在区间[a，b]上单调且f(a)>0，f(b)<0知f(x)在区间[a，b]上单调递减；‎ 若x1>x0，则f(x1)< f(x0)，即0<0，矛盾，‎ 若x1 f(x0)，即0>0，矛盾，‎ 因此假设不成立，故y=f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点.‎ ‎【点睛】‎ 应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.‎ ‎19．如图所示，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设箱子的底边长为x cm，则箱子高h＝cm.故其体积V(x)＝ (00，单调递增;(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对求导，再对a进行讨论，从而判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论.‎ 试题解析：（Ⅰ）‎ ‎ <0，在内单调递减.‎ 由=0，有.‎ 此时，当 时，<0，单调递减；‎ 当 时，>0，单调递增.‎ ‎（Ⅱ）令=，=.‎ 则=.‎ 而当时，>0，‎ 所以在区间内单调递增.‎ 又由=0，有>0，‎ 从而当时，>0.‎ 当，时，=.‎ 故当>在区间内恒成立时，必有.‎ 当时，>1.‎ 由（Ⅰ）有,从而，‎ 所以此时>在区间内不恒成立.‎ 当时，令，‎ 当时，，‎ 因此，在区间单调递增.‎ 又因为，所以当时，，即恒成立.‎ 综上，.‎ ‎【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题 ‎【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度．‎