2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题05 三角函数与解三角形（讲）（原卷版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题05 三角函数与解三角形（讲）（原卷版）

专题05 三角函数与解三角 ‎1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．【2019年高考天津卷理数】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则( )‎ ‎． B． C． D．‎ ‎3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则 的面积为_________．‎ ‎4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ‎．‎ ‎(1)求A； (2)若，求sinC．‎ 一、考向分析： ‎ ‎ 三角函数与解三角形 三角函数求值 三角恒等变形 三角函数图象与性质 三角函数与解三角形 解三角形 ‎ 二、考向讲解 考查内容 ‎ 解 题 技 巧 ‎ 三角函数求值的3类求法 三角函 数求值 ‎1．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。‎ ‎2．“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解。‎ ‎3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角。‎ 三角恒 等变形 三角恒等变形时，要注意三看：角、名、形 ‎1．角：观察角之间的关系，如α＝(α＋β)－β，＝2等，通过观察角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分与组合，从而正确使用公式。‎ ‎2．名：观察三角函数的名称之间的关系，如sinα，cosα，tanα的关系，常常要用到同角关系、诱导公式。通过观察函数名称之间的关系，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”等。‎ ‎3．形：观察已知与未知的表达式之间的关系，主要是公式的变形应用。分析表达式的结构特征，寻求变形的方向，迅速准确地使用公式。‎ 三角函数图象与性质 ‎1．已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解。但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错。‎ ‎2.三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路 ‎(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式。‎ ‎(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解。‎ ‎(3)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断。‎ ‎3.图象变换注意事项：‎ ‎(1)由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度。‎ ‎(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值。‎ ‎4. 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤 ‎(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝。‎ ‎(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝。‎ ‎(3)求φ，常用方法有：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入。‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口。‎ 解三角形 ‎1. 解三角形即求三角形中的一些基本量，主要指求三角形的三边、三角等，它的实质是将几何问题转化为代数问题，解题关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题步骤，利用三角形内角和定理、正弦定理及余弦定理等工具进行边角关系的互化。‎ ‎2．判断三角形形状主要有以下两种途径 ‎(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。‎ ‎(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断。‎ ‎3.三角形面积公式的应用原则 ‎(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式。‎ ‎(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化。‎ 三角函数与解三角形 ‎1、利用正、余弦定理解决平面几何问题的一般思路 ‎(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解。‎ ‎(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。‎ 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题。‎ ‎2、解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：‎ 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大。‎ 考查三角函数求值：‎ ‎【例1】已知α∈，且sinα＝－，则cosα＝(　　)‎ A．－ B． C．± D． ‎【例2】　已知＝－1，求下列各式的值：(1)； (2)sin2α＋sinαcosα＋2。‎ ‎【例3】已知x∈(－π，0)，sinx＋cosx＝。‎ ‎(1)求sinx－cosx的值。 (2)求的值。‎ ‎【例4】设f(α)＝(1＋2sinα≠0)，则f＝_________。‎ 考查三角恒等变形：‎ ‎【例1】【2019年高考江苏卷】已知，则的值是 .‎ 考查三角函数图像与性质：‎ ‎【例1】【广东省韶关市2019届高考模拟测试(4月)数学文试题】已知函数的相邻对称轴之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数的图象，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【例2】【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学试题】已知函数，的部分图象如图所示，则使成立的的最小正值为( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ 考查解三角形：‎ ‎【例1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ （1） 求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．‎ ‎【例2】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD(C、D为垂足)，测得AB=10，AC=6，BD=12(单位：百米)．‎ ‎(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；‎ ‎(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；‎ 考查解三角形与三角函数 ‎【例1】【广东省韶关市2019届高考模拟测试(4月)数学试题】在中，、、分别是内角、、的对边，且.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若，的面积为，求的周长．‎ 三角函数中有关参数ω的求解问题 三角函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或g(x)＝Acos(ωx＋φ))的参数有好几个，但其中ω的求解最为复杂。‎ 一、三角函数的周期T与ω的关系 ‎【例1】为了使函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)‎ A．98π B．π C．π D．100π 二、三角函数的单调性与ω的关系 ‎【例2】　若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D． 三、三角函数最值与ω的关系 ‎【例3】　已知函数f(x)＝2sinωx在区间上的最小值为－2，求ω的取值范围。‎