专题4-5+新题原创强化训练+05-2017年高考数学备考优生百日闯关系列

专题4-5+新题原创强化训练+05-2017年高考数学备考优生百日闯关系列

专题四 新题原创强化训练 第五关 一、 选择题 ‎1．已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C 设 ，当时，方程 有 个解，当 时，方程 有 个解，当 时，方程有3个解，当 时，方程有1个解，当 时，方程 有0个解，则方程 等价为 ，等价为方程 有两个不同的根 ，或 ，‎ 当 时，方程有1个解，要使关于 的方程 恰好有4个不相等的实数根，则，即，解得，则 的取值范围是 ‎ 故选C.‎ ‎2．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】‎ 函数的图象如图：‎ 关于 的方有 个不等的实数根, 必须有两个不相等的实数根,由函数图象 可知 ,.令，‎ 方程化为： ，‎ ,开口向下,对称轴为： ，‎ 可知： 的最大值为： ,‎ 的最小值为： , .故选：D.‎ ‎3．已知定义在上的函数满足，当时，，其中，若方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由，所以，故的周期为，时，，时，，时，，时，，恰有个不同的实数根，，故选B.‎ ‎4．三棱锥的四个顶点都在球面上，SA是球的直径，，，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：N为等边三角形SBC的外心，连结SN，并延长交BC于M，则M是BC中点，∴平面，‎ 平面ABC，，则，，‎ 在中，，在中，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴.‎ ‎5．在平行四边形中，点分别在边上，且满足， ，若 ，，则( )‎ A. B. 0 C. D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ， ‎ ,那么 ,故选B.‎ ‎6．已知点为内部一点，且满足，则，，的面积之比依次为（ ）‎ A．4:2:3 B．2:3:4 ‎ C．4:3:2 D．3:4:5‎ ‎【答案】A ‎7．已知数列满足（），且对任意都有，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】‎ 数列满足， 时， ，‎ 当 时，,可得： ， ，数列 为等比数列，首项为 ，公比为 ， ，因为对任意都有，则 的取值范围为，故选D.‎ ‎8．三棱柱中，为等边三角形，平面，，，分别是，的中点，则与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎9．、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】如图，设等边三角形边长为，设，根据双曲线的定义有，解得.在三角形中，由余弦定理得，化简得.‎ ‎10. 已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎11. 已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：关于直线的对称点为，连接交直线于点，则椭圆的长轴长的最小值为，所以椭圆的离心率的最大值为,故选A.‎ ‎12. 已知是球的球面上三点，，，，且棱锥 的体积为，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 二、填空题 ‎13．在中，分别为角的对边，且角，若，且 ‎ ，则的周长等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三角形的面积公式，，‎ 由正弦定理得，，由余弦定理得，，得，的周长等于．‎ ‎14．设向量．若对任意恒成立，则的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴，即 对任意恒成立．当，∴，∵‎ ‎，∴，∴，∴．‎ ‎15．已知数列的通项公式为 （其中），若第项是数列中的最小项，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，得，，当时，，当时，，所以当时，取得最小值．‎ ‎16．已知三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎17．已知是正项数列的前项和，且，等比数列的公比，，且，，成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，记，求．‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，由题意得 ，，‎ ，，‎ ‎∵，∴，‎ 又当时，，∵，∴，‎ ‎∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴．‎ 由，，得，解得或（舍），‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ ‎∴，‎ 记，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎18．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择.‎ 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元.‎ 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元.‎ ‎(Ⅰ)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列；‎ ‎(Ⅱ)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（Ⅰ）, , ,‎ 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列为 ‎ ‎0‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金的均值,‎ 若选择方案乙进行抽奖中奖次数 ，则 ,‎ 抽奖所获奖金的均值 ,‎ 故选择方案甲较划算.‎ ‎19. 已知正三棱柱中，，点为的中点，点在线段 上.‎ ‎（Ⅰ）当时，求证；‎ ‎（Ⅱ）是否存在点，使二面角等于60°？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎（Ⅱ）假设存在点满足条件，设.‎ 取的中点，连接，则丄平面，‎ 所以， ‎ 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 所以，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，令，得，‎ 同理，平面的一个法向量为，‎ 则，取，‎ ‎∴.‎ ‎∴，解得，‎ 故存在点,当时，二面角等于.‎ ‎20．已知分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若且，已知直线与椭圆交于两点，过点且平行于直线的直线交椭圆于另一点，问：四边形能否程成为平行四边形？若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意可知，,‎ 点在椭圆上，，即 ，且 最小值1.‎ ‎（Ⅱ） 设.‎ 由得，，‎ ，‎ ，‎ 直线的方程为.‎ 由得，，‎ ，‎ ，‎ 若四边形能成为平行四边形，则，‎ ，解得.‎ 符合条件的直线的方程为，即.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求函数在上的最值；‎ ‎（2）令，若时，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当且时，证明.‎ ‎（i）当即时，恒成立，即，∴在上单增，‎ ‎∴，所以．‎ ‎（ii）当即时，∵在上单增，且，‎ 当时，，‎ ‎∴，使，即．‎ 当时，，即单减；‎ 当时，，即单增．‎ ‎∴，‎ ‎∴，由，∴，记，‎ ‎∴，∴在上单调递增，‎ ‎∴，∴，‎ 综上，． ‎ ‎（Ⅲ）等价于，‎ 即．‎ ‎∵，∴等价于．‎ 令，‎ 则．‎ ‎∵，∴．‎ 当时，，单减；‎ 当时，，单增．‎ ‎∴在处有极小值，即最小值，‎ ‎∴，‎ ‎∴且时，不等式成立．‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，曲线（为参数，实数，曲线（为参数，实数）．在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与交于两点，与交于两点．当时，；当时，． ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎【解析】（1）的普通方程为：，其极坐标方程为，‎ 由题可得当时，，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 的普通方程为：，其极坐标方程为，‎ 由题可得当时，，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）由①可得的方程分别为，‎ ‎，‎ ‎∵，∴的最大值为，‎ 当时取到．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分．‎