高二数学人教A版选修4-5 1-1-3三个正数的算术几何平均数导学案x

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高二数学人教A版选修4-5 1-1-3三个正数的算术几何平均数导学案x

‎1.1.3 三个正数的算术几何平均数 预习案 一、预习目标及范围 ‎1.探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程.‎ ‎2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值.‎ ‎3.会建立函数不等式模型,利用其解决实际生活中的最值问题.‎ 二、预习要点 教材整理1 三个正数的算术几何平均不等式 ‎1.如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c3 3abc,当且仅当 时,等号成立.‎ ‎2.定理3:如果a,b,c∈R+,那么 ,当且仅当 时,等号成立.‎ 即三个正数的算术平均 它们的几何平均.‎ 教材整理2 基本不等式的推广 对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均 它们的几何平均,即 ,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.‎ 教材整理3 利用基本不等式求最值 若a,b,c均为正数,①如果a+b+c是定值S,那么 时,积abc有 值;②如果积abc是定值P,那么当a=b=c时,和 有最小值.‎ 三、预习检测 ‎1.已知a,b,c为正数,则++有(  )‎ A.最小值为3B.最大值为3‎ C.最小值为2D.最大值为2‎ ‎2.设x>0,则y=x+的最小值为(  )‎ A.2 B.2 C.3D.3‎ ‎3.函数f(x)=5x+(x>0)的最小值为________.‎ 探究案 一、合作探究 题型一、证明简单的不等式 例1 设a,b,c为正数,求证:(a+b+c)2≥27.‎ ‎【精彩点拨】 根据不等式的结构特点,运用a+b+c≥3,结合不等式的性质证明.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.设a,b,c为正数,求证:(a+b+c)3≥81.‎ 题型二、用平均不等式求解实际问题 例2如图所示,在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道,灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学知识,桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而和这一点到光源的距离r的平方成反比,即E=k.这里k是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎样选择灯的高度h,才能使桌子边缘处最亮?‎ ‎【精彩点拨】 根据题设条件建立r与θ的关系式,将它代入E=k,得到以θ为自变量,E为因变量的函数关系式,再用平均不等式求函数的最值.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.制造容积为立方米的无盖圆柱形桶,用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元,用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元,要使用料成本最低,则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米?‎ 题型三、利用平均不等式求最值 例3已知x∈R+,求函数y=x(1-x2)的最大值.‎ ‎【精彩点拨】 为使数的“和”为定值,可以先平方,即y2=x2(1-x2)2=x2(1-x2)(1-x2)=2x2(1-x2)(1-x2)×,求出最值后再开方.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.若2a>b>0,试求a+的最小值.‎ 二、随堂检测 ‎1.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为(  )‎ A.3   B.2   C.12   D.12 ‎2.若a>b>0,则a+的最小值为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎3.函数y=4sin2x·cos x的最大值为________,最小值为________.‎ 参考答案 预习检测:‎ ‎1.【解析】 ++≥3=3,‎ 当且仅当==,即a=b=c时,取等号.‎ ‎【答案】 A ‎2.【解析】 y=x+=++≥3·=3,‎ 当且仅当=时取“=”号.‎ ‎【答案】 D ‎3.【解析】 ∵f(x)=5x+=x+x+≥3=15.‎ 当x=,即x=2时取等号.‎ ‎【答案】 15‎ 随堂检测:‎ ‎1.【解析】 ∵x+2y+3z=6,∴2x+4y+8z=2x+22y+23z ‎≥3=3=12.‎ 当且仅当2x=22y=23z,即x=2,y=1,z=时,等号成立.‎ ‎【答案】 C ‎2. 【解析】 ∵a+=(a-b)+b+≥3=3,当且仅当a=2,b=1时取等号,∴a+的最小值为3.故选D.‎ ‎【答案】 D ‎3.【解析】 ∵y2=16sin2 x·sin2x·cos2x ‎=8(sin2x·sin2x·2cos2x)‎ ‎≤83‎ ‎=8×=,‎ ‎∴y2≤,当且仅当sin2x=2cos2x,‎ 即tan x=±时取等号.‎ ‎∴ymax=,ymin=-.‎ ‎【答案】  -
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