江苏省东台中学2013届高三12月份月考数学试卷

江苏省东台中学2013届高三12月份月考数学试卷

江苏省东台中学2013届高三数学12月份月考试卷 ‎ 数 学 2012.12. ‎ 命题人：房 胜 审核人：沈德仁 ‎ 一、填空题（本题共14题，每题5分，计70分，请把答案填写在答题纸相应位置上）‎ ‎1.已知为实数集，，则　▲.‎ ‎2.命题:“,”的否定是 ▲ .‎ ‎3.已知（a∈R，为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则 a= ▲ ．‎ ‎4.设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个 ‎ ‎ 点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是____ ▲ ____.‎ ‎5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值 ‎ 等于__▲ ____.‎ ‎6.椭圆的右焦点为，右准线为，若过点且垂直于轴的弦的弦长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 ▲ ． ‎ ‎7．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值为__ ▲ ____.‎ ‎8.设且若定义在区间内的函数是奇函数，则的取 ‎ ‎ 值范围是 ▲ .‎ ‎9.巳知函数有两个不同的零点，且方程有两个不同的实根.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为____ ▲ ______.‎ ‎ ‎ ‎10.关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，则实数的取值范围是__ ▲ .‎ ‎11.已知正数x，y满足(1＋x)(1＋2y)＝2，则4xy＋的最小值是____▲ .‎ ‎12.已知函数，其中．若函数仅在处有极值，则 ‎ ‎ 的取值范围是 ▲ ．‎ ‎13.已知成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三个数依次成等比数列，则的值为 ▲ ．‎ ‎14.如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形ABCD的面积为，则的最大值是 ▲ ．‎ 二、解答题(本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15. （本小题满分14分）‎ 在△ABC中，为三个内角为三条边，，且 ‎（I）判断△ABC的形状；‎ ‎（II）若，求的取值范围．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，直三棱柱中，、分别是棱、的中点，点在棱上，已知，，．‎ ‎（I）求证：平面；‎ A B C C1‎ B1‎ A1‎ F D E ‎（第16题）‎ O M ‎（II）设点在棱上，当为何值时，平面平面？‎ ‎17．（本小题满分15分）‎ 已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，).‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M.问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点? ‎ ‎(Ⅲ)设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值.‎ ‎18. （本小题满分15分）‎ 如图，是沿太湖南北方向道路,为太湖中观光岛屿, 为停车场，km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q,已知游船以km/h的速度沿方位角的方向行驶， ．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角是，出租汽车的速度为‎66km/h．‎ ‎(Ⅰ)设，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；‎ ‎(Ⅱ)设小船速度为‎10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角，当角余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达．‎ ‎19．(本小题满分16分)‎ 已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，设是公比为q的等比数列的前三项，‎ ‎（I）若k=7， ‎ ‎（i）求数列的前n项和Tn；‎ ‎（ii）将数列和的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为Sn，求的值；‎ ‎（II）若存在m>k,使得成等比数列，求证k为奇数.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 已知函数．‎ ‎（I）若在上的最大值为，求实数的值；‎ ‎（II）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以O为直角顶点的直角三角形（为坐标原点），且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．‎ 江苏省东台中学2013届高三数学12月份月考试卷 数 学（附加题）‎ 本大题共4小题，每小题满分10分，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎1．(本小题满分10分)已知矩阵 ‎(Ⅰ)计算；‎ ‎(Ⅱ) 若矩阵把直线：+2=0变为直线，求直线的方程．‎ ‎2． (本小题满分10分)已知椭圆的极坐标方程为，点，为其左，右焦点，直线的参数方程为．‎ ‎(Ⅰ)求直线和曲线的普通方程；‎ ‎(Ⅱ)求点，到直线的距离之和.‎ ‎3． (本小题满分10分)‎ 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．‎ ‎(Ⅰ)求X的分布列；‎ ‎(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．‎ ‎4．(本小题满分10分)‎ 已知展开式的各项按x的次数从低到高依次记为 ‎．‎ 设．‎ ‎(Ⅰ)若的系数依次成等差数列，求的值；‎ ‎(Ⅱ)求证：对任意，恒有.‎ 江苏省东台中学2013届高三数学12月份月考试卷 ‎（附加题）参考答案 1. 解: ‎ ‎(Ⅰ)= ； ………………………………3分 ‎(Ⅱ) 任取直线上一点（，）经矩阵变换后为点， ‎ 则， ………………………………6分 ‎∴ ………………………………8分 代入+2=0得：‎ ‎∴‎ ‎∴直线的方程为． ………………………………10分 ‎2.解: (Ⅰ) 直线普通方程为； ………………………………2分 曲线的普通方程为． ………………………………4分 ‎(Ⅱ) ∵,，‎ ‎∴点到直线的距离 ………………………………6分 点到直线的距离 ………………………………8分 ‎∴ ………………………………10分 ‎3.(Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6．‎ ‎ ； ；[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎； ．‎ 故，所求X的分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎………………………6分 ‎ (Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为：‎ E(X)＝．………………………10分 ‎4．解：(Ⅰ)依题意，，‎ 的系数依次为，，，‎ 所以，解得； ………4分 ‎(Ⅱ) ‎ 设，‎ 则 考虑到，将以上两式相加得：‎ 所以 又当时，恒成立，从而是上的单调递增函数，‎ 所以对任意，．‎ ‎ ………10分 江苏省东台中学2013届高三数学12月份月考试卷 参考答案 一、填空题 ‎1. 2. 3.1‎ ‎4. 5. 6. ‎ ‎7. 1 8. 9.‎ ‎10. 11. 12 12.‎ ‎13．20 14.‎ 二、解答题 ‎15. (Ⅰ)解：由及正弦定理有：‎ ‎∴或若，且，∴，；∴，则，∴三角形．………………7分 ‎(Ⅱ)∵ ，∴，∴，而，∴，∴，∴．………………14分 ‎16.解：(Ⅰ)连接交于，连接．‎ ‎ 因为CE，AD为△ABC中线，‎ 所以O为△ABC的重心，．‎ 从而OF//C1E．……………………………………………3分 OF面ADF，平面，‎ 所以平面．……………………………6分 ‎(Ⅱ)当BM=1时，平面平面．‎ ‎ 在直三棱柱中，‎ 由于平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC．‎ ‎ 由于AB=AC，是中点，所以．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，‎ ‎ 所以AD平面B1BCC1．‎ ‎ 而CM平面B1BCC1，于是ADCM．………………9分 ‎ 因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以≌，所以CMDF．…11分 ‎ DF与AD相交，所以CM平面．‎ ‎ CM平面CAM，所以平面平面．…………………13分 当BM=1时，平面平面．……………14分 ‎17.解：(Ⅰ)∵椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，)，‎ ‎∴，即 ，解得 ，‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1。………………5分 ‎(Ⅱ)易求得F(1，0)。设M(x0，y0)，则+=1， ‎ 圆M的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02，‎ 令x=0，化简得y2-2y0y+2x0-1=0，⊿=4y02-4(2x0-1)2＞0……①。‎ 将y02=3(1-)代入①，得3x02+8x0-16＜0，解出 -4＜x0＜，‎ 又∵。………………10分 ‎(Ⅲ)设D(0，y1)，E(0，y2)，其中y1＜y2。由(2)，得 DE= y2- y1===，‎ 当x0=-时，DE的最大值为………………15分 ‎18．解：(Ⅰ) 如图，作,为垂足．‎ ‎，，‎ 在△中， ‎ ‎(km), ‎ ‎=(km)．‎ 在△中，‎ ‎(km) ．………………………3分 设游船从P到Q所用时间为h，游客甲从经到所用时间为h，小船的速度为 km/h，则 ‎ ‎(h),‎ ‎（h）． ………………………5分 ‎ 由已知得：，，∴．………………………7分 ‎∴小船的速度为km/h时，游客甲才能和游船同时到达． ‎ ‎(Ⅱ)在△中，‎ ‎(km),(km)．‎ ‎∴(km)． ………………………9分 ‎∴＝．…………………11分 ‎∵, …………………13分 ‎∴令得：．‎ 当时，；当时，．‎ ‎∵在上是减函数，‎ ‎∴当方位角满足时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达．…15分 ‎19. (Ⅰ) 因为，所以成等比数列，又是公差的等差数列，‎ 所以，整理得，又，所以，‎ ‎，，‎ 所以， …………3分 ‎①用错位相减法或其它方法可求得的前项和为； …………6分 ‎② 因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前项的和，‎ 所以.‎ ‎ 所以=1． …………11分 ‎ ‎(Ⅱ) 由，整理得，‎ 因为，所以，所以. ‎ 因为存在m＞k,m∈N*使得成等比数列，‎ 所以， ‎ 又在正项等差数列{an}中，，‎ 所以，又因为，‎ 所以有， ‎ 因为是偶数，所以也是偶数，‎ 即为偶数，所以k为奇数. …………16分 ‎20.解：(Ⅰ)由，得，‎ 令，得或．‎ 列表如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 递减 极小值 递增 极大值 递减 由，，∴，即最大值为，∴．…………5分 ‎(Ⅱ)由，得．‎ ‎，且等号不能同时取，∴，‎ ‎∴恒成立，即．‎ 令，求导得，，‎ 当时，，从而，‎ ‎∴在上为增函数，∴，∴．…………10分 ‎(Ⅲ)由条件，，‎ 假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，‎ 不妨设，则，且．‎ 是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，‎ ‎∴，∴ ，‎ 是否存在等价于方程在且时是否有解．‎ ‎①若时，方程为，化简得，‎ 此方程无解；‎ ‎②若时，方程为，即，‎ 设，则，‎ 显然，当时，，即在上为增函数，‎ ‎∴的值域为，即，∴当时，方程总有解．‎ ‎∴对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．…………16分