数学卷·2018届福建省泉州市南安一中高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届福建省泉州市南安一中高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年福建省泉州市南安一中高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知复数z=1+i，则=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i ‎2．若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m的值为（　　）‎ A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8‎ ‎3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，导致推理错误的原因是（　　）‎ A．推理形式错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．大前提错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错 ‎4．已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±3x B．y=±2x C． D．‎ ‎5．下列命题中正确的是（　　）‎ A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 B．“a＞0，b＞0”是“”的充分必要条件 C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”‎ D．命题p：∃x0＞0，使得，则￢p：∀x＞0，使得x2+x﹣1≥0‎ ‎6．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则=（　　）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎7．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任意一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C共面的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．若函数f（x）=ax3+x在区间[1，+∞）内是减函数，则（　　）‎ A．a≤0 B． C．a≥0 D．‎ ‎9．已知，则f'（2）=（　　）‎ A． B． C．2 D．﹣2‎ ‎10．四面体D﹣ABC中，BA，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，二面角D﹣AC﹣B的大小为60°，则四面体D﹣ABC的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B满足，则直线AB的斜率为（　　）‎ A． B． C．±4 D．‎ ‎12．已知函数f（x）=（2a+1）ex﹣a有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，﹣） B．[﹣1，﹣） C．（﹣，0） D．[﹣，0）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎13．设，当n=2时，S（2）=　　‎ ‎．（温馨提示：只填式子，不用计算最终结果）‎ ‎14．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：‎ 甲说：“我们四人都没考好．”‎ 乙说：“我们四人中有人考的好．”‎ 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”‎ 丁说：“我没考好．”‎ 结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中　　两人说对了．‎ ‎15．已知P，Q分别在曲线、（x﹣1）2+y2=1上运动，则|PQ|的取值范围　　．‎ ‎16．已知函数，若f（x）≥ax在R上恒成立，则a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本部分共计6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）‎ ‎17．函数 ‎（Ⅰ）若b=2，求函数f（x）在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围．‎ ‎18．在圆x2+y2=4上任取一点P，过P作x轴的垂线段，D为垂足，当点P在圆上运动时，记线段PD中点M的轨迹为C．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，试判断（并说明理由）轨迹C上是否存在点Q，使得成立．‎ ‎19．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BD上运动．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1P；‎ ‎（Ⅱ）若BP=1，设异面直线B1P与AC1所成的角为θ，求cosθ的值．‎ ‎20．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC⊥侧面ABB1A1，底面△ABC是边长为2的等边三角形，侧面ABB1A1为菱形且ABAA1=60°，D为A1B1的中点．‎ ‎（Ⅰ）记平面BCD∩平面A1C1CA=l，在图中作出l，并说明画法（不用说明理由）；‎ ‎（Ⅱ）求直线l与平面B1C1CB所成角的正弦值．‎ ‎21．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l：y=kx+a（a＞0）与抛物线C交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）设抛物线C在A和B点的切线交于点P，试求点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）若直线l过焦点F，且与圆x2+（y﹣1）2=1相交于D，E（其中A，D在y轴同侧），求证：|AD|•|BE|是定值．‎ ‎22．已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，2）上的极值；‎ ‎（Ⅱ）已知n∈N*且n≥2，求证：．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省泉州市南安一中高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知复数z=1+i，则=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解：∵复数z=1+i，‎ ‎∴==﹣=﹣2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m的值为（　　）‎ A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出椭圆的焦点坐标，双曲线的焦点坐标，利用条件得到方程求解即可．‎ ‎【解答】解：椭圆的焦点（，0），‎ 双曲线的焦点：（±，0），‎ 双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，‎ ‎，‎ 解得m=﹣2．‎ 则m的值为：﹣2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，导致推理错误的原因是（　　）‎ A．推理形式错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．大前提错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错 ‎【考点】演绎推理的基本方法．‎ ‎【分析】分析该演绎推理的三段论，即可得出错误的原因是什么．‎ ‎【解答】解：该演绎推理的大前提是：若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；‎ 小前提是：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；‎ 结论是：直线b∥直线a；‎ 该结论是错误的，因为大前提是错误的，‎ 正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”．‎ 故选：C ‎　‎ ‎4．已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±3x B．y=±2x C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的离心率，得到a，b关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：双曲线C：的离心率为，‎ 可得=，即，可得=3．‎ 双曲线C的渐近线方程为：y=±3x．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．下列命题中正确的是（　　）‎ A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 B．“a＞0，b＞0”是“”的充分必要条件 C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”‎ D．命题p：∃x0＞0，使得，则￢p：∀x＞0，使得x2+x﹣1≥0‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，若p∨q为真命题，则p、q至少一个为真命题，不能确定p∧q为真命题；‎ B，根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式的性质进行判断即可；‎ C，“或”的否定为“且”；‎ D，命题p：∃x0＞0，使得，则￢p：∀x＞0，使得x2+x﹣1≥0；‎ ‎【解答】解：对于A，若p∨q为真命题，则p、q至少一个为真命题，不能确定p∧q为真命题，故错；‎ 对于B，若a＞0，b＞0⇒⇒，若a＜‎ ‎0，b＜0，⇒⇒，故错；‎ 对于C，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，故错；‎ 对于D，命题p：∃x0＞0，使得，则￢p：∀x＞0，使得x2+x﹣1≥0，正确；‎ 故选：D ‎　‎ ‎6．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则=（　　）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】由函数图象得，由此能求出的值．‎ ‎【解答】解：∵函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴=‎ ‎=（﹣﹣x）+（）‎ ‎=（﹣）+（）‎ ‎=0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任意一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C共面的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】共线向量与共面向量．‎ ‎【分析】一般地如果M，A，B，C四点共面，那么=a，（a+b+c=1）．‎ ‎【解答】解：若M，A，B，C四点共面，‎ 则=a，（a+b+c=1），‎ 在A中，，不成立；‎ 在B中，1﹣，不成立；‎ 在C中，，不成立；‎ 在D中，，成立．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．若函数f（x）=ax3+x在区间[1，+∞）内是减函数，则（　　）‎ A．a≤0 B． C．a≥0 D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数，问题转化为a≤﹣在[1，+∞）恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：若函数f（x）=ax3+x在区间[1，+∞）内是减函数，‎ 则f′（x）=3ax2+1≤0在[1，+∞）恒成立，‎ 即a≤﹣在[1，+∞）恒成立，‎ 而y=﹣在[1，+∞）递增，‎ 故x=1时，y的最小值是﹣，‎ 故a≤﹣，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．已知，则f'（2）=（　　）‎ A． B． C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′（2）可求．‎ ‎【解答】解：∵f′（x）=﹣+3f′（2），‎ ‎∴f′（2）=﹣+3f′（2），‎ 解得：f′（2）=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．四面体D﹣ABC中，BA，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，二面角D﹣AC﹣B的大小为60°，则四面体D﹣ABC的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】取AC中点E，连结BE、DE，则∠BED=60°，由此求出BD=，从而能求出四面体D﹣ABC的体积．‎ ‎【解答】解：如图，∵面体D﹣ABC中，BA，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，‎ ‎∴BD⊥平面ABC，‎ 取AC中点E，连结BE、DE，则BE⊥AC，∴DE⊥AC，‎ ‎∴∠BED是二面角D﹣AC﹣B的平面角，‎ ‎∵二面角D﹣AC﹣B的大小为60°，∴∠BED=60°，‎ ‎∴∠BDE=30°，‎ ‎∵BE==，（2BE）2=BE2+BD2，‎ 解得BD=，‎ ‎∴四面体D﹣ABC的体积：‎ V===．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B满足，则直线AB的斜率为（　　）‎ A． B． C．±4 D．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】画出图形，利用抛物线的性质，列出关系式求解直线的斜率即可．‎ ‎【解答】解：以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B满足，‎ 设BF=2m，由抛物线的定义知：‎ AA1=3m，BB1=2m，‎ ‎∴△ABC中，AC=m，AB=5m，BC=m．‎ kAB=±，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=（2a+1）ex﹣a有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，﹣） B．[﹣1，﹣） C．（﹣，0） D．[﹣，0）‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】方法一、由函数f（x）有且仅有两个零点，等价于方程（2a+1）ex=a有两个不等的实数根，讨论a=0和a≠0时，问题等价于两曲线有两个交点问题，再根据函数的导数判断单调性，从而求出a的取值范围．‎ 方法二、由函数f（x）有且仅有两个零点，等价于方程（2a+1）ex=a有两个不等的实数根，讨论a=0和a≠0时，利用函数思想研究该方程根的情况，从而求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解法一、函数f（x）=（2a+1）ex﹣a有且仅有两个零点，‎ 等价于方程（2a+1）ex=a有两个不等的实数根，‎ 当a=0时，不满足题意；‎ 当a≠0时，问题等价于直线y=与y=有两个交点，‎ 令g（x）=，则g′（x）=，‎ 所以当﹣＜x＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；‎ 当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；‎ 所以当x=0时，g（x）取得最大值1；‎ 又因为g（﹣）=0，当x＞﹣时，g（x）＞0，且当x→+∞时，g（x）→0，‎ 所以0＜＜1，解得﹣1＜a＜﹣．‎ 解法二、函数f（x）=（2a+1）ex﹣a有且仅有两个零点，‎ 等价于方程（2a+1）ex=a（*）有两个不等的实数根，‎ 当a=0时，不满足题意；‎ 当a≠0时，方程可化为=，‎ ‎（1）若x=﹣，则a=﹣，不合题意；‎ ‎（2）若x＞﹣，方程（*）可化为ln（）=ln（2x+1）﹣x，‎ 即2ln（）=ln（2x+1）﹣2x；‎ 令h（x）=ln（2x+1）﹣2x，（x＞﹣），‎ 则h′（x）=﹣2=；‎ 当﹣＜x＜0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；‎ 当x＞0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；‎ 所以当x=0时，h（x）取得最大值0，‎ 又当x→﹣时，g（x）→﹣∞，‎ 当x→+∞时，g（x）→﹣∞，‎ 所以2ln（）＜0，‎ 所以0＜＜1，‎ 解得﹣1＜a＜﹣．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎13．设，当n=2时，S（2）=　‎ ‎　．（温馨提示：只填式子，不用计算最终结果）‎ ‎【考点】进行简单的合情推理；数学归纳法．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得中，右边各个式子分子为1，分母从n开始递增到n2为止，将n=2代入即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设，‎ 分析可得等式的右边各个式子分子为1，分母从n开始递增到n2为止，‎ 则当n=2时，S（2）=；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：‎ 甲说：“我们四人都没考好．”‎ 乙说：“我们四人中有人考的好．”‎ 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”‎ 丁说：“我没考好．”‎ 结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中　乙丙　两人说对了．‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】判断甲与乙的关系，通过对立事件判断分析即可．‎ ‎【解答】解：甲与乙的关系是对立事件，二人说的话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时，乙正确．‎ 故答案为：乙、丙．‎ ‎　‎ ‎15．已知P，Q分别在曲线、（x﹣1）2+y2=1上运动，则|PQ|的取值范围　[1，5]　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】求出椭圆的右焦点坐标，利用椭圆的性质求解即可．‎ ‎【解答】解：曲线是椭圆，右焦点坐标（1，0），（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标（1，0）半径为1，‎ 圆心与椭圆的右焦点坐标重合，由椭圆的性质可得，椭圆上的点到焦点的距离的范围是[2，4]，‎ P，Q分别在曲线、（x﹣1）2+y2=1上运动，则|PQ|的取值范围：[1，5]．‎ 故答案为：[1，5]．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数，若f（x）≥ax在R上恒成立，则a的取值范围是　[﹣4，1]　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】依题意，分x≤0、x=0与x＞0三类讨论，分别求得a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵，f（x）≥ax在R上恒成立，‎ ‎∴当x≤0时，x2﹣4x≥ax恒成立，‎ x=0时，a∈R；①‎ x＜0时，a≥（x﹣4）max，故a≥﹣4；②‎ 当x＞0时，f（x）≥ax恒成立，即ex﹣1≥ax恒成立，‎ 令g（x）=ex﹣1﹣ax（x＞0），则g（x）≥0（x＞0）恒成立，‎ 又g（0）=0，‎ ‎∴g（x）=ex﹣1﹣ax（x＞0）为（0，+∞）上的增函数，‎ 则g′（x）=ex﹣a≥0（x＞0），‎ ‎∴a≤（ex）min=e0=1；③‎ 由①②③知，﹣4≤a≤1，‎ 故答案为：[﹣4，1]．‎ ‎　‎ 三、解答题（本部分共计6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）‎ ‎17．函数 ‎（Ⅰ）若b=2，求函数f（x）在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）b=2，求出导函数，利用在f（x）的图象上，又f'（1）=1，然后求解切线方程．‎ ‎（Ⅱ）求出f（x）的定义域（0，+∞），导函数，由题知f'（x）＜0在（0，+∞）上有解，‎ 方法一：即为x2﹣bx+x+1＜0在（0，+∞）上有解，即在（0，+∞）上有解，利用基本不等式转化求解即可．‎ 方法二：，利用二次函数的性质，转化求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）若b=2，，‎ ‎，…‎ 在f（x）的图象上，又f'（1）=1，…‎ 故函数f（x）在点处的切线为，即．…‎ ‎（Ⅱ）f（x）的定义域（0，+∞），．…‎ 由题知f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．…‎ 方法一：即为x2﹣bx+x+1＜0在（0，+∞）上有解，即在（0，+∞）上有解．…‎ 设，则h（x）≥2+1=3（当且仅当x=1时等号成立），∴b＞3．‎ ‎…‎ 方法二：，对称轴…‎ 当即b≤1时，u（x）在（0，+∞）上递增，则恒有u（x）＞u（0）=1＞0，不成立；…‎ 当即b＞1时，△=（b﹣1）2﹣4＞0，解得b＞3；…‎ 综上：b的取值范围为b＞3．…‎ ‎　‎ ‎18．在圆x2+y2=4上任取一点P，过P作x轴的垂线段，D为垂足，当点P在圆上运动时，记线段PD中点M的轨迹为C．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，试判断（并说明理由）轨迹C上是否存在点Q，使得成立．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设点M（x，y），P（x0，y0），则D（x0，0），由于点M为线段的PD中点，推出P的坐标代入圆的方程求解即可．‎ ‎（Ⅱ）轨迹C上存在点Q，使得成立，方法一：假设轨迹C上存在点Q（a，b），使得．得到a，b关系式，又Q（a，b）在上，然后求解a，b 说明存在或使得成立．‎ 方法二：由（Ⅰ）知轨迹C的方程为，假设轨迹C上存在点Q（a，b），使得，‎ 即以AB为直径的圆与椭圆要有交点，则必须满足c≥b，得到结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设点M（x，y），P（x0，y0），则D（x0，0），由于点M为线段的PD中点 则即点P（x，2y）…‎ 所以点P在圆x2+y2=4上，即x2+4y2=4，即．…‎ ‎（Ⅱ）轨迹C上存在点Q，使得成立．…‎ 方法一：假设轨迹C上存在点Q（a，b），使得．‎ 因为，，所以…①‎ ‎…‎ 又Q（a，b）在上，所以…②…‎ 联立①②解得，‎ 即存在或 使得成立．…‎ 方法二：由（Ⅰ）知轨迹C的方程为，焦点恰为，．‎ ‎…‎ 假设轨迹C上存在点Q（a，b），使得，‎ 即以AB为直径的圆与椭圆要有交点，…‎ 则必须满足c≥b，这显然成立，‎ 即轨迹C上存在点Q（a，b），使得．…‎ ‎　‎ ‎19．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BD上运动．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1P；‎ ‎（Ⅱ）若BP=1，设异面直线B1P与AC1所成的角为θ，求cosθ的值．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（I）利用正方体与正方形的性质可得：BB1⊥AC，BP⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论．‎ ‎（Ⅱ）以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则BB1⊥AC，…‎ 正方形ABCD中，BD⊥AC，又P∈BD，则BP⊥AC，…‎ 且BP∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1P．…‎ ‎（Ⅱ）以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，0，0），C1（1，1，1），B1（1，0，1）． …‎ 若BP=1，所以，…‎ 所以，．‎ 则，‎ 即cosθ的值为．…‎ ‎　‎ ‎20．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC⊥侧面ABB1A1，底面△ABC是边长为2的等边三角形，侧面ABB1A1为菱形且ABAA1=60°，D为A1B1的中点．‎ ‎（Ⅰ）记平面BCD∩平面A1C1CA=l，在图中作出l，并说明画法（不用说明理由）；‎ ‎（Ⅱ）求直线l与平面B1C1CB所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（Ⅰ）法一：延长BD与A1A交于F，连接CF交A1C1‎ 于点E，则直线CE（或CF）即为l．‎ 法二：取A1C1中点E，连接ED，CE，则直线CE即为l．‎ ‎（Ⅱ）取AB的中点O，以O为原点，分别以OA，OA1，OC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线l与平面B1C1CB所成角的正弦值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）方法一：延长BD与A1A交于F，连接CF交A1C1于点E，‎ 则直线CE（或CF）即为l．…‎ 方法二：取A1C1中点E，连接ED，CE，‎ 则直线CE即为l．…‎ ‎（Ⅱ）取AB的中点O，因为△ABC为等边三角形，‎ 则CO⊥AB，CO⊆平面ABC，底面ABC⊥侧面ABB1A1且交线为AB，‎ 所以CO⊥侧面ABB1A1．…‎ 又侧面ABB1A1为菱形且，‎ 所以△AA1B为等边三角形，所以A1O⊥AB．‎ 以O为原点，分别以OA，OA1，OC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（1，0，0），B（﹣1，0，0），，‎ ‎，，，，‎ 则A1C1中点．…‎ 设平面B1C1CB的一个法向量为=（x，y，z）‎ ‎，，‎ 则，取y=1，得…‎ 设直线l与平面B1C1CB所成角为α，‎ 则sinα=|cos＜，＞|===，‎ 即直线l与平面B1C1CB所成角的正弦值为．…‎ ‎　‎ ‎21．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l：y=kx+a（a＞0）与抛物线C交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）设抛物线C在A和B点的切线交于点P，试求点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）若直线l过焦点F，且与圆x2+（y﹣1）2=1相交于D，E（其中A，D在y轴同侧），求证：|AD|•|BE|是定值．‎ ‎【考点】圆锥曲线的最值问题；直线与抛物线的位置关系；圆锥曲线的范围问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x2=4y与y=kx+a有x2﹣4kx﹣4a=0，则△=16（k2+a）＞0，且x1+x2=4k，x1•x2=﹣4a，求出导函数利用切线方程，结合韦达定理，化简求解即可．‎ ‎（Ⅱ）若直线l过焦点F，则a=1，则x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．求出圆x2+（y﹣1）2=1圆心为F（0，1），半径为1，由抛物线的定义有|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，吐槽|AD|=|AF|﹣1=y1，|BE|=|BF|﹣1=y2，利用|AD|•|BE|=y1y2，转化求解|AD|•|BE|为定值．‎ ‎【解答】解：抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1），…‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x2=4y与y=kx+a有x2﹣4kx﹣4a=0，‎ 则△=16（k2+a）＞0，且x1+x2=4k，x1•x2=﹣4a．…‎ ‎（Ⅰ）由x2=4y有，则，…‎ 则抛物线C在处的切线为，‎ 即…①…‎ 同理抛物线C在处的切线为…②…‎ 联立①②解得，代入①式解得，‎ 即P（2k，﹣a）．…‎ ‎（Ⅱ）若直线l过焦点F，则a=1，则x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．‎ 由条件可知圆x2+（y﹣1）2=1圆心为F（0，1），半径为1，…‎ 由抛物线的定义有|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，…‎ 则|AD|=|AF|﹣1=y1，|BE|=|BF|﹣1=y2，…10分，‎ ‎|AD|•|BE|=y1y2=（kx1+1）（kx2+1）‎ ‎=，‎ ‎（或）‎ 即|AD|•|BE|为定值，定值为1．…‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，2）上的极值；‎ ‎（Ⅱ）已知n∈N*且n≥2，求证：．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；不等式的证明．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出导函数 f'（x）=ex﹣a，通过若a≤0，若a＞0，①当0＜lna＜2，即1＜a＜e2时，②当lna≥2或lna≤0，即a≥e2或0＜a≤1时，分别求解导函数符号，判断函数的单调性求解函数的极值．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=1时，f（x）=ex﹣x﹣1在x=ln1=0处取得最小值0，推出ex≥x+1．得到x≥ln（x+1），转化为，然后证明所证明的不等式即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） f'（x）=ex﹣a…‎ 若a≤0，则在区间（0，2）上有f'（x）＞0恒成立，则f（x）在区间（0，2）上无极值；…‎ 若a＞0，令f'（x）=0，则x=lna，‎ ‎①当0＜lna＜2，即1＜a＜e2时，当0＜x＜lna时f'（x）＜0，2＞x＞lna时f'（x）＞0，‎ 故此时f（x）在x=lna取得极小值f（lna）=a﹣alna﹣1． …‎ ‎②当lna≥2或lna≤0，即a≥e2或0＜a≤1时，f（x）在区间（0，2）上无极值…‎ 综上所述，当a∈（﹣∞，1]∪[e2，+∞）时f（x）在区间（0，2）上无极值；‎ 当1＜a＜e2时f（x）在区间（0，2）上有极小值f（lna）=a﹣alna﹣1．…‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，f（x）=ex﹣x﹣1在x=ln1=0处取得最小值0，‎ 即恒有f（x）=ex﹣x﹣1≥0，即ex≥x+1．…‎ 当x＞﹣1时，两边取对数可得，x≥ln（x+1）（当x=0时等号成立）…‎ 令，则，即…‎ ‎∴，‎ 故．…‎ ‎　‎