吉林省长春市实验中学2019-2020高二下学期期中考试数学（理）试卷

吉林省长春市实验中学2019-2020高二下学期期中考试数学（理）试卷

吉林省长春市实验中学2019-2020高二下学期期中考试数学（理）试卷 第Ｉ卷 选择题（总计60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知复数z满足i(z+3)=3-i,则|z|=（ ）‎ A． B．3 C．4 D．5‎ ‎2．设集合A＝{a，b，c，d，e}，B⊆A，已知a∈B，且B中含有3个元素，则集合B有(　　)‎ A．A个 B．C个 C．A个 D．C个 ‎3．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，则恰有1人击中敌机的概率为(　　)‎ A．0.2 B．0.5 C．0.7 D．0.9‎ ‎4．已知随机变量ξ服从二项分布，即，则P(ξ＝2)的值为(　　)‎ A． B． C． D． ‎5．将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数为(　　)‎ A．480 B．360 C．120 D．240‎ ‎6．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ<2m＋1)＝P(ξ>m－1)，则实数m的值是(　　)‎ A． B． C． D．2‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎7．随机变量X的分布列为：‎ 那么E(5X＋4)等于(　　)‎ A．15 B．11 C．2.2 D．2.3‎ ‎8．学校选派5位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这3所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加，则不同的选派方法共有(　　)‎ A．540种 B．240种 C．180种 D．150种 ‎9．已知在二项式的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式中，有理项的项数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ A 合计 B ‎200‎ ‎800‎ ‎1 000‎ ‎180‎ a ‎180＋a 合计 ‎380‎ ‎800＋a ‎1 180＋a ‎10．在一次独立性检验中，得出列联表如下：‎ 且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是(　　)‎ A．200 B．720 ‎ C．100 D．180‎ ‎11．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有位车主上网自编号码，第一个号码(从左到右)想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码的所有可能情况有(　　)‎ A．180种 B．360种 C．720种 D．960种 ‎12．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是(　　)‎ A．24 B．36 C．40 D．44‎ 第Ⅱ卷 非选择题（总计90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．计算：____________ .‎ ‎14．编号为1,2,3,4,5的五个人，分别坐在编号为1,2,3,4,5的座位上，则恰有两个人的编号与其座位号分别相同的坐法种数为________．(用数字作答)‎ ‎15．设a为非零常数，已知的展开式中各项系数和为2，则展开式中常数项等于________．‎ ‎16．①回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越大；‎ ‎②对于相关系数r，|r|越接近1，相关程度越大，|r|越接近0，相关程度越小；‎ ‎③由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程为＝x＋，那么直线＝x＋必经过点(，)；‎ ‎④K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合．‎ 以上几种说法正确的序号是________．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．（本小题满分10分）已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程是ρ＝，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M(－1,0)，直线l与曲线C交于A、B两点．‎ ‎(1)求直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；‎ ‎(2)线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求|MA|·|MB|的值．‎ 转速x(转/秒)‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 每小时生产有缺点的零件数y(件)‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎18．(本小题满分12分)一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：‎ ‎(1)已知y对x有线性相关关系，求回归直线方程；‎ ‎(2)在实际生产中，预测每小时的产品中有缺点的零件为89个时，机器的运转速度是多少？‎ ‎(参考：＝，，)‎ ‎19．(本小题满分12分)某车间在两天内，每天生产10件产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．‎ ‎(1)求两天全部通过检查的概率；‎ ‎(2)若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度，两天全不通过检查罚300元，通过1天、2天分别奖300元、900元．那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元？‎ ‎20．(本小题满分12分)曲线C1的参数方程为(θ为参数)，将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.‎ ‎(1)求曲线C2和直线l的普通方程；‎ ‎(2)P为曲线C2上任意一点，求点P到直线l的距离的最值．‎ ‎21．(本小题满分12分)某校高二(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，如图所示：‎ 试根据图表中的信息解答下列问题：‎ ‎(1)求全班的学生人数及分数在[70,80)之间的频数；‎ ‎(2)为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70,80)，[80,90)和[90,100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70,80)分数段的人数X的分布列和数学期望．‎ ‎22．(本小题满分12分)为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．‎ 图1‎ ‎(1)①请将2×2列联表补充完整： ‎ 优分 非优分 总计 男生 女生 总计 ‎②据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？‎ ‎(2)将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．‎ 下面的临界值表供参考：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d 高二数学参考答案(理科)‎ 一、 选择题(每小题5分，共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B B A D B A D C B D D 二、填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎13. 16i 14. 20 15. 240 16. ②③④‎ 三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.【解析】　(1)直线l：(t为参数)的直角坐标方程为x－y＋1＝0，‎ 所以极坐标方程为ρcos＝－1，‎ 曲线C：ρ＝即(ρcos θ)2＝ρsin θ，所以曲线的普通方程为y＝x2.‎ ‎(2)将(t为参数)代入y＝x2得t2－3t＋2＝0，∴t1t2＝2，‎ ‎∴|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.‎ ‎18：(1)∵＝＝5，＝＝50，，‎ ‎∴＝ =＝6.5，＝－＝50－6.5×5＝17.5.‎ ‎∴回归直线方程为＝6.5x＋17.5.‎ ‎(2)令6.5x＋17.5＝89.解得x＝11.即机器的运转速度是11转/秒．‎ 19． 解：(1)随机抽取4件产品进行检查是随机事件．记“第一天通过检查”为事件A，则P(A)＝＝.记“第二天通过检查”为事件B，则P(B)＝＝.‎ 因第一天、第二天检查是否通过是相互独立的，‎ 所以两天全部通过检查的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.‎ ‎(2)记所得奖金为ξ元，则ξ的取值为－300,300,900.‎ P(ξ＝－300)＝P()＝P()P()＝×＝. ‎ P(ξ＝300)＝P((A)∪(B))＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.‎ P(ξ＝900)＝P(AB)＝.‎ 所以，ξ的分布列为 ξ ‎－300‎ ‎300‎ ‎900‎ P 所以E(ξ)＝－300×＋300×＋900×＝260.‎ 故该车间在这两天内得到奖金的数学期望是260元．‎ ‎20．解：(1)依题意，经过图示变换曲线C1：(θ为参数)转化为C2：(θ为参数)，将其消去参数θ，得到曲线C2的普通方程：＋＝1.‎ 直线l：ρ(cos θ－2sin θ)＝6转化为直角坐标方程为x－2y－6＝0.‎ ‎（2）设点P(2cos θ，sin θ)为曲线C2上任意一点，由点到直线的距离公式，‎ 得到点P到直线l的距离d＝ ‎＝＝，‎ ‎∴≤d≤2.‎ 即点P到直线l的距离的最大值为2，最小值为.‎ ‎21．解：(1)由茎叶图可知，分数在[50,60)上的频数为4，由频率分布直方图可知，分数在[50,60]上的频率为0.008×10＝0.08，故全班的学生人数为＝50.‎ 分数在[70,80)之间的频数为50－(4＋14＋8＋4)＝20.‎ ‎(2)按分层抽样原理，三个分数段抽样数之比等于相应人数之比．又[70,80)，[80,90)和[90,100]分数段人数之比等于5∶2∶1，由此可得抽出的样本中分数在[70,80)之间的有5人，分数在[80,90)之间的有2人，分数在[90,100]之间的有1人．‎ 从中任取3人，共有C＝56(种)不同的结果．‎ 被抽中的成绩位于[70,80)分数段的学生人数X的可能取值为0,1,2,3.对应的概率分别是：‎ P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， ‎ P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝.‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴X的数学期望为：‎ E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.‎ ‎22．解：(1)①根据图示，将2×2列联表补充完整如下：‎ 优分 非优分 总计 男生 ‎9‎ ‎21‎ ‎30‎ 女生 ‎11‎ ‎9‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎②由题意得K2的观测值K2＝＝3.125，因为3.125>2.706，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．‎ ‎(2)由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率f＝0.4视作概率；设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X，则X 服从二项分布B(3，0.4)，所求概率P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C×0.42×0.6＋C×0.43＝0.352.‎