数学卷·2018届吉林省实验中学高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届吉林省实验中学高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

吉林省实验中学2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）(解析版)‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12、11、10的概率依次是P1、P2、P3，则（　　）‎ A．P1=P2＜P3 B．P1＜P2＜P3 C．P1＜P2=P3 D．P3=P2＜P1‎ ‎2．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（　　）‎ A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.6‎ ‎3．已知x与y之间的一组数据：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y m ‎3‎ ‎5.5‎ ‎7‎ 已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（　　）‎ A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5‎ ‎4．“a=2”是“（x﹣a）6的展开式的第三项是60x4”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（　　）‎ A．24种 B．48种 C．96种 D．144种 ‎6．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（　　）‎ A．13 B．12 C．11 D．10‎ ‎7．如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（　　）‎ A．i≤5 B．i≤4 C．i＞5 D．i＞4‎ ‎8．甲乙二人玩游戏，甲想一数字记为a，乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2，3}，若|a﹣b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”，则他们“心有灵犀”的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知命题p：∃x∈R，lnx+x﹣2=0，命题q：∀x∈R，2x≥x2，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q ‎10．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎11．对任意实数x，有，则a2=（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．21‎ ‎12．若直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点，则m的取值范围是（　　）‎ A． B．（1，） C．（1， +1） D．（2， +1）‎ ‎　‎ 二、填空题在[﹣2，3]上随机取一个数x，则（x+1）（x﹣3）≤0的概率为　　．‎ ‎14．用秦九韶算法求多项式f（x）=x6﹣5x5+6x4﹣3x3+1.8x2+0.35x+2，在x=﹣1的值时，v2的值是　　．‎ ‎15．学校为了提高学生的数学素养，开设了《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》三门选修课程，供高二学生选修，已知高二年级共有学生600人，他们每个人都参加且只参加一门课程的选修，为了了解学生对选修课的学习情况，现用分层抽样的方法从中抽取30名学生进行座谈．据统计，参加《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》的人数依次组成一个公差为﹣40的等差数列，则应抽取参加《数学史选讲》的学生的人数为　　．‎ ‎16．双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：‎ ‎（1）求频率分布直方图中a的值并估计数学考试成绩的平均分；‎ ‎（2）从成绩在[50，70）的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60，70）中的概率．‎ ‎18．（12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．‎ ‎（Ⅰ）根据茎叶图计算样本均值；‎ ‎（Ⅱ）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该车间12名工人中，任取3人，求恰有1名优秀工人的情况有多少种？‎ ‎19．（12分）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中的3杯为A饮料，另外的2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力 ‎（1）求此人被评为优秀的概率 ‎（2）求此人被评为良好及以上的概率．‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．‎ ‎（1）证明：MN∥平面PAB；‎ ‎（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．‎ ‎21．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎22．（12分）如图所示，已知点M（a，3）是抛物线y2=4x上一定点，直线AM、BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A、B两个不同的点．‎ ‎（1）求点M到其准线的距离；‎ ‎（2）求证：直线AB的斜率为定值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是12、11、10的概率依次是P1、P2、P3，则（　　）‎ A．P1=P2＜P3 B．P1＜P2＜P3 C．P1＜P2=P3 D．P3=P2＜P1‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】我们列出先后抛掷两枚骰子出现的点数的所有的基本事件个数，再分别求出点数之和是12、11、10的基本事件个数，进而求出点数之和是12、11、10的概率P1、P2、P3，即可得到它们的大小关系．‎ ‎【解答】解：先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：‎ ‎（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），‎ ‎（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），‎ ‎（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），‎ ‎（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），‎ ‎（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），‎ ‎（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种 其中点数之和是12的有1种，故P1=；‎ 点数之和是11的有2种，故P2=‎ 点数之和是10的有3种，故P3=‎ 故P1＜P2＜P3‎ 故选B ‎【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根据已知利用古典概型概率公式，分别计算出出现的点数之和是12、11、10的概率P1、P2、P3‎ ‎，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（　　）‎ A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.6‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果．‎ ‎【解答】解：设这组数据分别为x1，x2，xn，则=（x1+x2+…+xn），‎ 方差为s2= [（x1﹣）2+…+（xn﹣）2]，‎ 每一组数据都加60后，‎ ‎′=（x1+x2+…+xn+60n）=+60‎ ‎=2.8+60=62.8，‎ 方差s′2=+…+（xn+60﹣62.8）2]‎ ‎=s2=3.6．‎ 故选D ‎【点评】本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．‎ ‎　‎ ‎3．已知x与y之间的一组数据：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y m ‎3‎ ‎5.5‎ ‎7‎ 已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（　　）‎ A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．‎ ‎【解答】解：∵ ==， =，‎ ‎∴这组数据的样本中心点是（，），‎ ‎∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85，‎ ‎∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，‎ ‎∴m的值为0.5．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．‎ ‎　‎ ‎4．“a=2”是“（x﹣a）6的展开式的第三项是60x4”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式的第三项；由前者成立推后者；反之，由后者成立推前者；利用充要条件的定义判断出前者是后者的什么条件．‎ ‎【解答】解：（x﹣a）6展开式的通项为Tr+1=（﹣a）rC6rx6﹣r 所以展开式的第三项为a2C62=15a2x4‎ 所以若“a=2”成立则15a2x4=60x4‎ 反之若展开式的第三项是60x4成立则15a2=60则a=±2推不出a=2成立 所以“a=2”是“（x﹣a）6的展开式的第三项是60x4”的充分不必要条件 故选A ‎【点评】‎ 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查利用充要条件的定义如何判断一个命题是另一个命题的什么条件．‎ ‎　‎ ‎5．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（　　）‎ A．24种 B．48种 C．96种 D．144种 ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】本题是一个分步计数问题，A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列．‎ ‎【解答】解：本题是一个分步计数问题，‎ ‎∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，‎ ‎∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果 ‎∵程序B和C实施时必须相邻，‎ ‎∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果 根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列．‎ ‎　‎ ‎6．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（　　）‎ A．13 B．12 C．11 D．10‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】根据频率和为1，求出小组15～20的频率，再求样本数据的平均值即可．‎ ‎【解答】解：根据频率分布直方图，得；‎ 小组15～20的频率是 ‎（1﹣0.06+0.1）×5=0.2，‎ ‎∴样本数据的平均值是 ‎7.5×0.3+12.5×0.5+17.5×0.2=12．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的平均值的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎7．如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（　　）‎ A．i≤5 B．i≤4 C．i＞5 D．i＞4‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】首先将二进制数11111（2）化为十进制数，得到十进制数的数值，然后假设判断框中的条件不满足，执行算法步骤，待累加变量S的值为31时，算法结束，此时判断框中的条件要满足，据此可得正确的选项．‎ ‎【解答】解：首先将二进制数11111（2）化为十进制数，‎ ‎11111（2）=1×20+1×21+1×22+1×23+1×24=31，‎ 由框图对累加变量S和循环变量i的赋值S=1，i=1，‎ i不满足判断框中的条件，执行S=1+2×S=1+2×1=3，i=1+1=2，‎ i不满足条件，执行S=1+2×3=7，i=2+1=3，‎ i不满足条件，执行S=1+2×7=15，i=3+1=4，‎ i仍不满足条件，执行S=1+2×15=31，此时31是要输出的S值，说明i不满足判断框中的条件，‎ 由此可知，判断框中的条件应为i＞4．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图，考查了进位制，本题是程序框图中的循环结构，虽先进行了一次判断，实则是直到型性循环，此题是基础题．‎ ‎　‎ ‎8．甲乙二人玩游戏，甲想一数字记为a，乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2，3}，若|a﹣b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”，则他们“心有灵犀”的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括7种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，‎ ‎∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有3×3=9种猜字结果，‎ 其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：‎ ‎①若a=1，则b=1，2；‎ ‎②若a=2，则b=1，2，3；‎ ‎③若a=3，则b=2，3，‎ 总共7种，‎ ‎∴他们“心有灵犀”的概率为P=．‎ 故选D ‎【点评】本题是古典概型问题，属于高考新增内容，解本题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形．‎ ‎　‎ ‎9．已知命题p：∃x∈R，lnx+x﹣2=0，命题q：∀x∈R，2x≥x2，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先判定命题p是真命题，得￢p是假命题；再判定命题q是假命题，得￢q是真命题；从而判定各选项是否正确．‎ ‎【解答】解：对于命题p：∵y=lnx与y=2﹣x在坐标系中有交点，如图所示；‎ 即∃x0∈R，使lnx0=2﹣x0，∴命题p正确，￢p是假命题；‎ 对于命题q：当x=3时，23＜32，∴命题q错误，￢q是真命题；‎ ‎∴p∧q是假命题，￢p∧q是假命题；p∧￢q是真命题，￢p∧￢q是假命题；‎ 综上，为真命题的是C．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了复合命题真假的判定问题，解题时应先判定命题p、q的真假，再判定它们的复合命题的真假，是基础题．‎ ‎　‎ ‎10．袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【考点】组合及组合数公式．‎ ‎【分析】因为这个样本要恰好是按分层抽样方法得到的概率，依题意各层次数量之比为4：3：2：1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个，所以红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个是按分层抽样得到的概率．‎ ‎【解答】解：∵这个样本要恰好是按分层抽样方法得到的概率 依题意各层次数量之比为4：3：2：1，‎ 即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个，‎ 根据古典概型公式得到结果为；‎ 故选A ‎【点评】本题考查分层抽样和古典概型，分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．‎ ‎　‎ ‎11．对任意实数x，有，则a2=（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．21‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】根据题意，将x3变形为[（x﹣2）+2]3，由二项式定理可得x3=[（x﹣2）+2]3=C30（x﹣2）023+C3122（x﹣2）+C3221（x﹣2）2+C3320（x﹣2）3‎ ‎，又由题意，可得a2=C3221，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，，‎ 而x3=[（x﹣2）+2]3=C30（x﹣2）023+C3122（x﹣2）+C3221（x﹣2）2+C3320（x﹣2）3，‎ 则a2=C3221=6；‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是将x3变形为[（x﹣2）+2]3，进而由二项式定理将其展开．‎ ‎　‎ ‎12．若直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点，则m的取值范围是（　　）‎ A． B．（1，） C．（1， +1） D．（2， +1）‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】由题意作出函数的图象，由图象求出m的临界值，从而求m的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意作图象如下，‎ y=的图象由椭圆的一上部分与双曲线的上部分构成，‎ 故直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点的临界直线有，‎ 当y=﹣+m过点（2，0）时，即0=﹣1+m，故m=1；‎ 当直线y=﹣+m与椭圆的上部分相切，‎ 即y′==﹣，‎ 即x=，y=时，此时，m=．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了数形结合的思想，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（2016秋•朝阳区校级期末）在[﹣2，3]上随机取一个数x，则（x+1）（x﹣3）≤0的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】由题意﹣2≤x≤3，解不等式（x+1）（x﹣3）≤0可求相应的x，代入几何概率的计算公式即可求解．‎ ‎【解答】解：由题意﹣2≤x≤3，‎ ‎∵（x+1）（x﹣3）≤0，‎ ‎∴﹣1≤x≤3，‎ 由几何概率的公式可得，P==，‎ ‎∴（x+1）（x﹣3）≤0的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了与长度有关的几何概率的求解，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础试题．‎ ‎　‎ ‎14．用秦九韶算法求多项式f（x）=x6﹣5x5+6x4﹣3x3+1.8x2+0.35x+2，在x=﹣1的值时，v2的值是　12　．‎ ‎【考点】秦九韶算法．‎ ‎【分析】首先把一个n次多项式f（x）写成（…（（a[n]x+a[n﹣1]）x+a[n﹣2]）x+…+a[1]）x+a[0]的形式，然后化简，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值，求出V3的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x6﹣5x5+6x4﹣3x3+1.8x2+0.35x+2=（（x﹣5）x+6）x﹣3）x+1.8）x+0.35）x+2，‎ ‎∴v0=a6=1，‎ v1=v0x+a5=1×（﹣1）﹣5=﹣6，‎ v2=v1x+a4=﹣6×（﹣1）+6=12，‎ ‎∴v2的值为12，‎ 故答案为12．‎ ‎【点评】本题考查排序问题与算法的多样性，通过数学上的算法，写成程序，然后求解，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．学校为了提高学生的数学素养，开设了《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》三门选修课程，供高二学生选修，已知高二年级共有学生600人，他们每个人都参加且只参加一门课程的选修，为了了解学生对选修课的学习情况，现用分层抽样的方法从中抽取30名学生进行座谈．据统计，参加《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》的人数依次组成一个公差为﹣40的等差数列，则应抽取参加《数学史选讲》的学生的人数为　12　．‎ ‎【考点】分层抽样方法；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由题意，每个个体被抽到的概率是=，抽取30名学生进行座谈，公差为﹣2，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，每个个体被抽到的概率是=，抽取30名学生进行座谈，公差为﹣2，‎ 设应抽取参加《数学史选讲》的学生的人数为x，则x+x﹣2+x﹣4=30，∴x=12，‎ 故答案为：12．‎ ‎【点评】本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎16．双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；基本不等式．‎ ‎【分析】根据条件，确定几何量之间的关系，再利用基本不等式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由题意，‎ ‎∴b=，∴c=2a ‎∴=≥=（当且仅当a=时取等号）‎ ‎∴当a=时，的最小值为 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查基本不等式的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）（2015春•郴州期末）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：‎ ‎（1）求频率分布直方图中a的值并估计数学考试成绩的平均分；‎ ‎（2）从成绩在[50，70）的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60，70）中的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a和数学考试成绩的平均分．‎ ‎（2）由频率分布直方图得到成绩在[50，70）的学生人数为5人，其中成绩在[50，60）的学生人数为2人，成绩在[60，70）的学生人数为3人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这2人的成绩都在[60，70）中的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图得：‎ ‎（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，‎ 解得a=．‎ 数学考试成绩的平均分为：‎ ‎=55×+65×+75×+85×+95×=76.5．‎ ‎（2）成绩在[50，70）的学生人数为：20×5××10=5，‎ 其中成绩在[50，60）的学生人数为：20×2××10=2，‎ 成绩在[60，70）的学生人数为：20×3××10=3，‎ ‎∴从成绩在[50，70）的学生中人选2人，基本事件总数n==10，‎ 这2人的成绩都在[60，70）中的基本事件个数m==3，‎ ‎∴这2人的成绩都在[60，70）中的概率P=．‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•朝阳区校级期末）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．‎ ‎（Ⅰ）根据茎叶图计算样本均值；‎ ‎（Ⅱ）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该车间12名工人中，任取3人，求恰有1名优秀工人的情况有多少种？‎ ‎【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（1）由茎叶图能求出样本均值．‎ ‎（2）求出样本中优秀工人占的比例，由此能推断该车间12名工人中有多少名优秀工人．‎ ‎（3）利用组合数公式能求出从该车间12名工人中，任取3人，恰有1名优秀工人的情况有多少种．‎ ‎【解答】解：（1）样本均值为．…（4分）‎ ‎（2）由（1）知样本中优秀工人占的比例为，‎ 故推断该车间12名工人中有名优秀工人．…（8分）‎ ‎（3）从该车间12名工人中，任取3人，恰有1名优秀工人，‎ 则恰有1名优秀工人的情况有种．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查样本均值、优秀工人个数、不同的抽样种数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2011•江西）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中的3杯为A饮料，另外的2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力 ‎（1）求此人被评为优秀的概率 ‎（2）求此人被评为良好及以上的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】根据题意，首先将饮料编号，进而可得从5杯饮料中选出3杯的所有可能的情况，即所有的基本事件；再记“此人被评为优秀”为事件D，记“此人被评为良好及以上”为事件E，‎ ‎（1）分析查找可得，D包括的基本事件数目，由古典概型公式，计算可得答案；‎ ‎（2）分析查找可得，E包括的基本事件数目，由古典概型公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：将5杯饮料编号为1、2、3、4、5，编号1、2、3表示A饮料，编号4、5表示B饮料；‎ 则从5杯饮料中选出3杯的所有可能的情况为：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）；共10个基本事件；‎ 记“此人被评为优秀”为事件D，记“此人被评为良好及以上”为事件E，‎ ‎（1）分析可得，D包括（123）1个基本事件，‎ 则P（D）=；‎ ‎（2）E包括（123），（124），（125），（134），（135），（234），（235）7个基本事件；‎ 则P（E）=．‎ ‎【点评】本题考查列举法计算概率，注意列举时按一定的规律、顺序，一定做到不重不漏，还有助于查找基本事件的数目．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．‎ ‎（1）证明：MN∥平面PAB；‎ ‎（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；‎ 法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；‎ ‎（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，‎ ‎∵N为PC的中点，‎ ‎∴NG∥BC，且NG=，‎ 又AM=，BC=4，且AD∥BC，‎ ‎∴AM∥BC，且AM=BC，‎ 则NG∥AM，且NG=AM，‎ ‎∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，‎ ‎∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，‎ ‎∴MN∥平面PAB；‎ 法二、‎ 在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，‎ 在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴cos，则sin∠EAM=，‎ 在△EAM中，‎ ‎∵AM=，AE=，‎ 由余弦定理得：EM==，‎ ‎∴cos∠AEM=，‎ 而在△ABC中，cos∠BAC=，‎ ‎∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，‎ ‎∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．‎ 由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，‎ ‎∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．‎ ‎∵NE∩EM=E，‎ ‎∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；‎ ‎（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．‎ ‎∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，‎ ‎∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，‎ ‎∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．‎ 在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．‎ 在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，‎ 在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，‎ ‎∴sin．‎ ‎∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2012•北京）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，‎ ‎∴‎ ‎∴b=‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，‎ ‎∴|MN|==‎ ‎∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为 ‎∴△AMN的面积S=‎ ‎∵△AMN的面积为，‎ ‎∴‎ ‎∴k=±1．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2015•渝中区校级一模）如图所示，已知点M（a，3）是抛物线y2=4x上一定点，直线AM、BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A、B两个不同的点．‎ ‎（1）求点M到其准线的距离；‎ ‎（2）求证：直线AB的斜率为定值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）由已知得32=4a，，由此能求出点M到其准线的距离．‎ ‎（2）设直线MA的方程为：，联立，得，由已知条件推导出，，由此能证明直线AB的斜率为定值．‎ ‎【解答】（1）解：∵M（a，3）是抛物线y2=4x上一定点 ‎∴32=4a，‎ ‎∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1‎ ‎∴点M到其准线的距离为：．‎ ‎（2）证明：由题知直线MA、MB的斜率存在且不为0，‎ 设直线MA的方程为：，‎ 联立，得，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵直线AM、BM的斜率互为相反数 ‎∴直线MA的方程为：y﹣3=﹣k（x﹣），‎ 同理可得：，‎ ‎∴====﹣，‎ ‎∴直线AB的斜率为定值﹣．‎ ‎【点评】本题考查点到准线的距离的求法，考查直线的斜率这定理的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．‎ ‎　‎