数学理卷·2019届天津市部分区高二上学期期末考试（2018-01）

数学理卷·2019届天津市部分区高二上学期期末考试（2018-01）

‎2017-2018学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎2．双曲线=1的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎3．命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（　　）‎ A．∀m∈N，曲线=1是椭圆 B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆 C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆 D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆 ‎4．已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C． D．2‎ ‎5．“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（　　）‎ A．π B．π C．π D．3π ‎7．直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相离 C．相切 D．与k取值有关 ‎8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥β C．若m∥α，α∥β，则m∥β D．若m⊥n，m∥α，则n⊥α ‎9．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎10．已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（　　）‎ A．[2，8] B．[，8] C．[2，] D．[，]‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎11．抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为　 　．‎ ‎12．椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=　 　．‎ ‎13．已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为　 　．‎ ‎14．如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为　 　．‎ ‎15．平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，共60分）‎ ‎16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．‎ ‎17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．‎ ‎（1）求证：OA⊥OB；‎ ‎（2）当k=时，求△OAB的面积．‎ ‎18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．‎ ‎（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；‎ ‎（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．‎ ‎19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．‎ ‎（1）求证：C1D⊥D1E；‎ ‎（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；‎ ‎（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．‎ ‎20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B ‎ 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎　‎ 天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试 高二数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C B B A A D A B C D 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．‎ ‎11． 　12．　 13． 　14． 15. ‎ 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）‎ 解：（1）由题意知，解得.……………4分 ‎（2）当时,由 得，………………………………………………………6分 所以圆心坐标为，半径，‎ 圆心到直线的距离为，……………………8分 所以弦长的一半………………………………………10分 弦长为……………………………………………………………………12分 ‎17．（12分）‎ 解：（1）由方程，‎ 消去后，整理得 设，由韦达定理,，……………2分 ‎∵在抛物线上，‎ ‎∴,，∴.…………………………4分 ‎∵，‎ ‎∴……………………………………………………………………6分 ‎（2）因为，由（1）可得，‎ 代入抛物线方程可得 ‎∴， ……………………………………………………9分 ‎∴………………………………12分 ‎18．（12分）‎ 解：（1）证明：在中，∵，‎ ‎∴ ∴．……………………………………………………3分 又∵平面⊥平面，平面平面，‎ 面，‎ ‎∴面，又面，‎ ‎∴平面⊥平面．………………………6分 ‎（2）解：过作，‎ ‎∵平面⊥平面，‎ ‎∴⊥平面， ‎ 即为四棱锥的高． ‎ 又是边长为的等边三角形，‎ ‎∴．………………………9分 在底面四边形中，，，‎ 在中，斜边边上的高为，‎ 此即为的高．‎ ‎∴．…………………11分 ‎∴．…………………12分 ‎19．解：（12分）‎ ‎（1）证明：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设,‎ 则，，，，‎ ‎,,，，‎ 所以,，‎ 所以，所以.……………………3分 ‎（2）由,则，连接，所以，，，‎ 设平面的法向量为，则，取 所以平面的一个法向量为，‎ 因为平面，所以，即，所以.……7分 ‎（3）连接，，设平面的法向量为，，，‎ 则,取 所以平面的一个法向量为 ……………………9分 因为二面角的大小为，‎ 所以，所以，‎ 因为，所以，即 .……………………12分 ‎20．（12分）‎ 解：（1）由题意可得,,又，解得.‎ 所以所求椭圆的方程为.……………………………………3分 ‎（2）设，‎ 由 消去得，‎ ‎,化为.‎ 所以，.…………………………7分 ‎. ‎ 因为以为直径的圆过椭圆右顶点，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 化为，‎ 解得.……………………………………………10分 且满足.‎ 当时，，直线过定点与已知矛盾；‎ 当时，，直线过定点.‎ 综上可知，直线过定点.…………………………………………12分