2017年高考数学（理科,江苏专版）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题6 第21讲 高考中的概率与统计

2017年高考数学（理科,江苏专版）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题6 第21讲 高考中的概率与统计

第21讲　高考中的概率与统计 题型一| 互斥事件与事件的相互独立性 ‎　甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．‎ ‎(1)求甲同学至少有4次投中的概率；‎ ‎(2)求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．‎ ‎[解]　(1)设甲同学在5次投篮中，有x次投中，“至少有4次投中”的概率为P，则P＝P(x＝4)＋P(x＝5)‎ ‎＝C41＋C50＝. 4分 ‎(2)由题意知ξ＝1,2,3,4,5.‎ P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝××＝，P(ξ＝4)＝3×＝，‎ P(ξ＝5)＝4＝. 6分 ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎ 8分 ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 10分 ‎【名师点评】　‎ ‎1.一个复杂事件若正面情况较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．尤其是涉及到“至多”、“至少”等问题，常常用这种方法求解(如本题第(1)问)．‎ ‎2．求随机变量的期望时，应先求出随机变量的分布列，再用期望公式求解．‎ ‎1．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．‎ ‎(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；‎ ‎(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．‎ ‎[解]　用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”．‎ 则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5. 2分 ‎(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)‎ ‎＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)‎ ‎＝2＋×2＋××2＝. 4分 ‎(2)X的可能取值为2,3,4,5.‎ P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)‎ ‎＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，‎ P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)‎ ‎＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，6分 P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)‎ ‎＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝，‎ P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝. 8分 故X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝. 10分 ‎2．某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各阶段通过与否相互独立．‎ ‎(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；‎ ‎(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与均值．‎ ‎[解]　(1)记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.‎ 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率 P＝P(A)＝P(A)P()＝×＝. 3分 ‎(2)ξ可能取值为1,2,3.‎ P(ξ＝1)＝1－＝，‎ P(ξ＝2)＝×＝，‎ P(ξ＝3)＝×＝. 8分 故ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ξ的均值为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝. 10分 题型二| 独立重复试验与二项分布 ‎　(2016·苏锡常镇调研二)一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．(1)求恰好摸4次停止的概率；(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．‎ ‎[解]　(1)设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，则 P＝C×2××＝. 4分 ‎(2)由题意，得X＝0,1,2,3，‎ P(X＝0)＝C×4＝，‎ P(X＝1)＝C××3＝，‎ P(X＝2)＝C×2×2＝，‎ P(X＝3)＝1－－－＝， 8分 ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ 10分 ‎【名师点评】　1.注意辨别独立重复试验的基本特征：‎ ‎(1)在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；‎ ‎(2)在每次试验中，事件发生的概率相同．‎ ‎2．解决概率分布，应先明确是哪种类型的分布，然后代入公式，若随机变量X服从二项分布，可直接代入二项分布的期望公式．‎ ‎1．‎ 一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止．‎ ‎(1)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P1；‎ ‎(2)从袋中有放回地取球．‎ ‎①求恰好取5次停止的概率P2；‎ ‎②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．‎ ‎[解]　(1)P1＝＝. 3分 ‎(2)①P2＝C×2×2×＝.‎ ‎②随机变量ξ的取值为0,1,2,3，‎ 由n次独立重复试验概率公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，得 P(ξ＝0)＝C×5＝；‎ P(ξ＝1)＝C××4＝； 5分 P(ξ＝2)＝C×2×3＝；‎ P(ξ＝3)＝1－＝. 8分 随机变量ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P(ξ)‎ ξ的数学期望是 E(ξ)＝×0＋×1＋×2＋×3＝. 10分 ‎2．袋中装有若干个质地均匀、大小一致的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍．每次从袋中摸出一个球然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束．‎ ‎(1)求摸球3次就停止的事件发生的概率；‎ ‎(2)记摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．‎ ‎【导学号：19592062】‎ ‎[解]　(1)由题意知，从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，摸到白球的概率为.摸球3次就停止，说明前三次都摸到了红球，则摸球3次就停止的事件发生的概率为P＝3＝. 3分 ‎(2)依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，则 P(ξ＝0)＝C·5＝，‎ P(ξ＝1)＝C··4＝，‎ P(ξ＝2)＝C·2·3＝，‎ P(ξ＝3)＝C·3＋C·2··＋C·2·2·＝. 8分 随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量ξ的均值为E(ξ)＝×0＋×1＋×2＋×3＝. 10分 题型三| 离散型随机变量的均值与方差 ‎　(2016·南京三模)从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．‎ ‎(1)求X是奇数的概率；‎ ‎(2)求X的概率分布列及数学期望．‎ ‎[解]　(1)记“X是奇数”为事件A，‎ 能组成的三位数的个数是48. 2分 X是奇数的个数有28，所以P(A)＝＝.‎ 即X是奇数的概率为. 4分 ‎(2)X的可能取值为3,4,5,6,7,8,9.‎ 当X＝3时，组成的三位数只能是由0,1,2三个数字组成，所以P(X＝3)＝＝；‎ 当X＝4时，组成的三位数只能是由0,1,3三个数字组成，所以P(X＝4)＝＝；‎ 当X＝5时，组成的三位数只能是由0,1,4或0,2,3三个数字组成，所以P(X＝5)＝＝；‎ 当X＝6时，组成的三位数只能是由0,2,4或1,2,3三个数字组成，所以P(X＝6)＝＝；‎ 当X＝7时，组成的三位数只能是由0,3,4或1,2,4三个数字组成，所以P(X＝7)＝＝；‎ 当X＝8时，组成的三位数只能是由1,3,4三个数字组成，所以P(X＝8)＝＝；‎ 当X＝9时，组成的三位数只能是由2,3,4三个数字组成，所以P(X＝9)＝＝. 8分 所以X的概率分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ P E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＋7×＋8×＋9×＝. 10分 ‎【名师点评】　1.解题要注意两点：(1)随机变量X 取每一个值表示的具体事件的含义；(2)正确利用独立事件、互斥事件进行概率的正确计算．‎ ‎2．求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解．‎ 设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.‎ ‎(1)求概率P(ξ＝0)；‎ ‎(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．‎ ‎[解]　(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝. 3分 ‎(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，‎ 故P(ξ＝)＝＝，‎ 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝， 8分 所以随机变量ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ P(ξ)‎ 因此E(ξ)＝0×＋1×＋×＝. 10分