2019-2020学年内蒙古自治区乌兰察布市集宁区内蒙古集宁一中高二上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年内蒙古自治区乌兰察布市集宁区内蒙古集宁一中高二上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年内蒙古自治区乌兰察布市集宁区内蒙古集宁一中高二上学期12月月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据命题否定的定义进行求解，注意对关键词“任意”的否定.‎ ‎【详解】‎ 解：由全称命题的否定为特称命题可知：‎ ‎“”的否定是“，”，‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎2．若，则“”是“成等差数列”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 由得b-a=c-b，所以成等差数列；‎ 反之，因为成等差数列，‎ 所以b-a=c-b，即，‎ 故“”是“成等差数列”的充要条件，‎ 故选C.‎ ‎3．已知椭圆的一个焦点坐标为，则k的值为（ ）‎ A．1 B．3 C．9 D．81‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用椭圆的方程，通过焦点坐标为（2，0），求解k即可．‎ ‎【详解】‎ 解：椭圆的一个焦点坐标为（2，0），‎ 可得2，解得k＝9．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆简单的几何性质，考查基本量的关系，属于基础题.‎ ‎4．设等差数列的前项和为，，，则等于（ ）‎ A．132 B．66 C．110 D．55‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等差数列的公差为d,根据题意明确公差，进而得到，又，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为d,‎ 则即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，考查等差数列的性质，是基础题．‎ ‎5．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线y2＝24x的焦点：（6，0），可得c＝6，双曲线的渐近线的倾斜角为60°，双曲线的焦点坐标在x轴上．‎ 可得，即，36＝a2+b2，解得a2＝9，b2＝27．‎ 所求双曲线方程为：‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎6．到定点(2,0)的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设动点的坐标为（x，y），利用动点P到定点（2，0）的距离与到定直线x＝8的距离之比为可得方程，化简，由此能求出轨迹的方程．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，设P（x，y），则 ，‎ 化简得轨迹方程是x2+2y2+8x﹣56＝0．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查轨迹方程的求法，考查计算能力，属于基础题 ‎7．已知双曲线满足,且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用待定系数法求解双曲线方程即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得椭圆的焦点坐标为，据此可得，双曲线方程中：‎ ‎，解得：，‎ 双曲线的方程为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.‎ ‎8．已知P是椭圆E：上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查椭圆的方程，即可确定a，b的关系，从而通过椭圆的离心率，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 设，点，，椭圆E：，‎ 椭圆的离心率为，‎ ‎，，则，所以，‎ 点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为：，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查斜率的计算，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎9．点P是抛物线上一动点，则点P到点的距离与P到直线的距离和的最小值是（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出焦点及准线方程，过P作PN 垂直直线x＝﹣1，有|PN|＝|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，从而只求|FA|即可．‎ ‎【详解】‎ 由y2＝4x得p＝2，1，所以焦点为F（1，0），准线x＝﹣1，‎ 过P作PN 垂直直线x＝﹣1，根据抛物线的定义，‎ 抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，‎ 所以有|PN|＝|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，‎ 所以P为AF与抛物线的交点，点P到点A（0，﹣1）的距离与点P到直线x＝﹣1的距离之和的最小值为|FA|，‎ 所以点P到点的距离与P到直线的距离和的最小值是.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义及简单性质，考查数形结合思想，属中档题．‎ ‎10．已知数列的前项积为，且满足，若，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，求出前项，确定数列是以为周期的数列，求出前项的乘积，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，所以，‎ 所以，所以，所以数列以为周期，‎ 又，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查周期数列的应用，会根据递推公式推出数列的周期即可，属于常考题型.‎ ‎11．实数满足条件.当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先将目标函数化为，由题中约束条件作出可行域，结合图像，由题意得到，再由，结合基本不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由得，‎ 因为，所以直线的斜率为，‎ 作出不等式对应的平面区域如下：‎ 由图像可得：当直线经过点时，直线在轴截距最小，此时最小。‎ 由解得，即，‎ 此时目标函数的最小值为，‎ 即，所以.‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单线性规划与基本不等式的综合，熟记基本不等式，会求解简单的线性规划问题即可，属于常考题型.‎ ‎12．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a为双曲线的长轴长)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.‎ ‎【考点】椭圆的几何性质．‎ 二、填空题 ‎13．设，则四个数，，，中最小的是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据基本不等式，先得到，，再由作商法，比较与，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，，‎ 又，所以，‎ 综上，最小.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由不等式性质比较大小，熟记不等式的性质，以及基本不等式即可，属于常考题型.‎ ‎14．若实数满足，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由约束条件作出可行域，化目标函数为，令，则表示平面区域内的点与定点连线的斜率，结合图像求出的范围，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由约束条件作出可行域如下：‎ 因为，令，则表示平面区域内的点与定点连线的斜率，‎ 由图像可得：；‎ 由直线，易得，，‎ 因此，，所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单的线性规划问题，根据约束条件作出可行域，会分析目标函数的几何意义即可，属于常考题型.‎ ‎15．设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上的三点，若，则_______．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】根据，可判断点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值，再根据抛物线的定义，即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线焦点坐标F（3，0），准线方程：x＝﹣3‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）‎ ‎∵，‎ ‎∴点F是△ABC重心，‎ ‎∴x1+x2+x3＝9． ‎ 再由抛物线的定义可得|FA|＝x1﹣（﹣3）＝x1+3，|FB|＝x2﹣（﹣3）＝x2+3，|FC|＝x3﹣（﹣3）＝x3+3，‎ ‎∴||+||+||＝x1+3+x2+3+x3+3＝18，‎ 故答案为18．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的重心坐标公式，抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求得x1+x2+x3的值是解题的关键．‎ ‎16．已知数列的前项和，若此数列为等比数列，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由，求出，；再由数列是等比数列，得到也满足，列出等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为数列的前项和，‎ 所以， ；‎ 又，因为数列为等比数列，则也满足，‎ 即，解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由等比数列的前项和求参数，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎17．已知为实数.命题：方程表示双曲线；命题：对任意，‎ 恒成立.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“或”为真命题、“且”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由真可得,解不等式即可得到所求范围；(2)由真可得判别式小于0 ,解得的范国，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若命题为真命题，则，即的取值范围是.‎ ‎（2）若命题为真命题，则，解得.即.‎ ‎∵命题“或”为真命题、“且”为假命题，∴和中有且仅有一个正确.‎ 若真假，则，解得；‎ 若假真，则，解得或.‎ 所以，综上所述：的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过判断或命题、且命题真假，综合考查双曲线的方程以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎18．已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.‎ ‎（1）求双曲线的方程； ‎ ‎（2）若点在双曲线上，求 的面积.‎ ‎【答案】（1）；(2).‎ ‎【解析】（1）设出双曲线的方程，代入点P的坐标，即可得到双曲线的方程；‎ ‎（2）利用点M（3，m）在双曲线上，求出m值，进而利用S|F1F2|•|m|，即可求△F1MF2的面积．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，∴可设双曲线的方程x2﹣y2＝λ ‎∵双曲线过点P（4，），∴16﹣10＝λ，即λ＝6‎ ‎∴双曲线的方程x2﹣y2＝6‎ ‎（2）由（1）知，双曲线中a＝b ‎∴，∴，‎ ‎∴|F1F2|＝4‎ ‎∵点M（3，m）在双曲线上，∴9﹣m2＝6，∴|m|‎ ‎∴△F1MF2的面积为S|F1F2|•|m|＝6‎ 即△F1MF2的面积为6．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的标准方程，考查三角形面积的计算，确定双曲线的方程是关键．‎ ‎19．已知点，椭圆的离心率为是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．‎ ‎（1）求E的方程；‎ ‎（2）设过点且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两M、N，且，求k的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）由题意可知：ac，利用直线的斜率公式求得c的值，即可求得a和b的值，求得椭圆E的方程；‎ ‎（2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得直线l的方程．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由离心率e，则ac，‎ 直线AF的斜率k2，则c＝1，a，‎ b2＝a2﹣c2＝1，‎ ‎∴椭圆E的方程为；‎ ‎（2）设直线l：y＝kx﹣，设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则，整理得：（1+2k2）x2﹣kx+4＝0，‎ ‎△＝（﹣k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即k2，‎ ‎∴x1+x2，x1x2，‎ ‎∴，‎ 即,‎ 解得：或（舍去）‎ ‎∴k＝±，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，弦长的计算，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎20．已知为坐标原点，抛物线与直线相交于两点．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)当的面积等于时，求实数的值．‎ ‎【答案】(1)见解析.(2) .‎ ‎【解析】(1)将直线方程与抛物线方程联立，得到一元二次方程，通过根与系数的关系，结合两直线斜率乘积为，即可说明两直线垂直；‎ ‎(2)求出直线与轴交点，表示出三角形的面积，根据面积为，解方程即可求出实数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）显然直线的斜率存在且．‎ 联立，消去，得．‎ 如图，设，则，‎ 由根与系数的关系可得，．因为在抛物线上，所以，，．因为，所以．‎ ‎(2)设直线与轴交于点，‎ 令，则，即．‎ 因为 ‎，‎ 所以，解得．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎21．设，为正项数列的前n项和，且.数列满足：，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ；(2).‎ ‎【解析】（1）n＝1时，解得a1＝1，n≥2时，an﹣an﹣1＝1，由此求出数列{an ‎}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而an的通项公式，由已知得{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，从而的通项公式；‎ ‎（2）利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）n＝1时，2S1＝2 a1＝a12+a1，‎ a12﹣a1＝0，解得a1＝0（各项均为正数，舍去）或a1＝1，‎ n≥2时，‎ ‎2Sn＝an2+an，‎ ‎2Sn﹣1＝an﹣12+an﹣1，‎ ‎2Sn﹣2Sn﹣1＝2an＝an2+an﹣an﹣12﹣an﹣1‎ an2﹣an﹣12﹣an﹣an﹣1＝0‎ ‎（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0‎ ‎∵数列各项均为正，∴an﹣an﹣1＝1，‎ ‎∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎∴an＝1+n﹣1＝n．‎ ‎∵数列{bn}满足b1＝2，bn+1=3bn+2（n≥2，n∈N ），‎ ‎∴‎ ‎∴{}是首项为3，公比为的等比数列，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）可知：cn＝anbn＝n，‎ ‎∴Tn＝3+23，①‎ ‎3Tn，②‎ ‎①﹣②，得：3‎ ‎ ‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．‎ ‎22．已知动点P与平面上两定点，连线的斜率的积为定值．‎ ‎（1）试求出动点P的轨迹方程C；‎ ‎（2）设直线与曲线C交于M，N两点，判断是否存在k使得面积取得最大值，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）1（x≠±2），（2）见解析 ‎【解析】（1）由斜率之积即可求出轨迹方程；‎ ‎（2）把直线方程，与（1）中方程联立，利用根与系数关系，表示面积，求最值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设P（x，y），有kPA•kPB得•‎ 整理可得1（x≠±2），‎ ‎∴C的方程为1（x≠±2），‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），其坐标满足 ‎ 消去y并整理得（4k2+1）x2+8kx＝0，‎ 故，‎ 即，‎ 此时，直线方程为：‎ ‎【点睛】‎ 本题以斜率为载体，考查曲线方程的求解，关键是利用斜率公式，考查直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆内三角形面积的最值问题．‎