数学卷·2018届广东省揭阳市揭东一中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届广东省揭阳市揭东一中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年广东省揭阳市揭东一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|ax2+x﹣3=0}，B={x|3≤x＜7}，若A∩B≠∅，则实数a的取值集合为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎3．已知f（x）=﹣x+sinx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（　　）‎ A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0‎ B．p是假命题，￢p：∃x∈（0，），f（x）≥0‎ C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0‎ D．p是真命题，￢p：∃x∈（0，），f（x）≥0‎ ‎4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎5．△ABC中，AB边的高为CD，若=， =， •=0，||=1，||=2，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（﹣1）=（　　）‎ A．﹣2 B．2 C． D．‎ ‎7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P（m，﹣2）到焦点的距离为5，则m的值为（　　）‎ A．±4 B．±2 C．±2 D．±5‎ ‎8．椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10．已知不等式sincos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣] B．（﹣∞，﹣] C．[，] D．[，+∞）‎ ‎11．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎12．要得到函数y=2sin（2x+）的图象，应该把函数y=cos（x﹣π）﹣sin（x﹣）的图象做如下变换（　　）‎ A．将图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变 B．沿x向左平移个单位，再把得图象上的每一点横坐标伸长到原来的2而纵坐标不变 C．先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变，再将所得图象沿x向右平移个单位 D．先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变，再将所得图象沿x向左平移个单位 ‎　‎ 二、填空题：（每题5分，共20分）‎ ‎13．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则此椭圆的离心率为　　．‎ ‎14．已知f（x）=，则的值是　　．‎ ‎15．若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=　　．‎ ‎16．已知函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1（k＞0）的单调递减区间是（0，4），则k的值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（共5题，共52分；其中21题12分，其余10分）‎ ‎17．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞‎ ‎）上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎18．设p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．‎ ‎19．已知函数y=ex．‎ ‎（1）求这个函数在点（e，ee）处的切线的方程；‎ ‎（2）过原点作曲线y=ex的切线，求切线的方程．‎ ‎20．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．‎ ‎21．设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a≠0）．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省揭阳市揭东一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|ax2+x﹣3=0}，B={x|3≤x＜7}，若A∩B≠∅，则实数a的取值集合为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】分离参数，转化为二次函数求值域问题，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由ax2+x﹣3=0，可得a=3（﹣）2﹣，‎ ‎∵3≤x＜7，‎ ‎∴＜≤，‎ ‎∴=时，a的最小值为﹣， =时，a的最大值为0，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：由z（1+i）=1+3i，得，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．已知f（x）=﹣x+sinx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（　　）‎ A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0‎ B．p是假命题，￢p：∃x∈（0，），f（x）≥0‎ C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0‎ D．p是真命题，￢p：∃x∈（0，），f（x）≥0‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】利用导数可判定函数f（x）在x∈（0，）上单调递减，即可判断出真假，再利用命题的否定可得￢p．‎ ‎【解答】解：f（x）=﹣x+sinx，∀x∈（0，），则f′（x）=cosx﹣1＜0．‎ ‎∴函数f（x）在x∈（0，）上单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，‎ 则命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，为真命题．‎ ‎￢p：∃x∈（0，），f（x）≥0．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中正方形为底面的四棱锥，切去一个以俯视图中虚线部分为底面的三棱锥得到的组合体，进而得到答案．‎ ‎【解答】‎ 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中正方形为底面的四棱锥，切去一个以俯视图中虚线部分为底面的三棱锥得到的组合体，‎ 大四棱锥的体积V=×2×2×2﹣××1×2×1=，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．△ABC中，AB边的高为CD，若=， =， •=0，||=1，||=2，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量的综合题．‎ ‎【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求 ‎【解答】解：∵•=0，‎ ‎∴CA⊥CB ‎∵CD⊥AB ‎∵||=1，||=2‎ ‎∴AB=‎ 由射影定理可得，AC2=AD•AB ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴==‎ 故选D ‎　‎ ‎6．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（﹣1）=（　　）‎ A．﹣2 B．2 C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离为=，求得T的值，可得ω的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（﹣1）的值．‎ ‎【解答】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根据＜φ＜π，可得φ=．‎ 再根据A、B两点之间的距离为=，求得T=6，‎ 再根据T==6，求得ω=．‎ ‎∴f（x）=2sin（x+），f（﹣1）=2sin（﹣+）=2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P（m，﹣2）到焦点的距离为5，则m的值为（　　）‎ A．±4 B．±2 C．±2 D．±5‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线的性质，求出抛物线的焦点坐标，转化求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P（m，﹣2），‎ 可知抛物线的开口向下，抛物线上的点P（m，﹣2）到焦点的距离为5，‎ 可得准线方程为：y=3，焦点坐标（0，﹣3），‎ 则： =5，解得m=±2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，作出椭圆的图象，分析可得A的坐标，将A的坐标代入椭圆方程可得+=1，①；结合椭圆的几何性质a2=b2+c2，②；联立两个式子，解可得c=（﹣1）a，由离心率公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，如图，设F（0，c），‎ 又由△OAF是等边三角形，则A（，），‎ A在椭圆上，则有+=1，①；‎ a2=b2+c2，②；‎ 联立①②，解可得c=（﹣1）a，‎ 则其离心率e==﹣1；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．‎ ‎【解答】解：输入的a值为1，则b=1，‎ 第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；‎ 第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；‎ 第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，‎ 故输出的k值为2，‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．已知不等式sincos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣] B．（﹣∞，﹣] C．[，] D．[，+∞）‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】不等式sincos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，等价于不等式（sincos+cos2﹣）min≥m对于x∈[﹣，]‎ 恒成立，令f（x）=sincos+cos2﹣，求x∈[﹣，]的最小值即可．‎ ‎【解答】解：由题意，令f（x）=sincos+cos2﹣，‎ 化简可得：f（x）=+（cos）==sin（）‎ ‎∵x∈[﹣，]‎ ‎∴∈[，]‎ 当=时，函数f（x）取得最小值为．‎ ‎∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．‎ ‎【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=6．‎ 设抽到的最小编号x，‎ 则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，‎ 所以x=3．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．要得到函数y=2sin（2x+）的图象，应该把函数y=cos（x﹣π）﹣sin（x﹣）的图象做如下变换（　　）‎ A．将图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变 B．沿x向左平移个单位，再把得图象上的每一点横坐标伸长到原来的2而纵坐标不变 C．先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变，再将所得图象沿x向右平移个单位 D．先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变，再将所得图象沿x向左平移个单位 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再来一用诱导公式以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【解答】解：把函数y=cos（x﹣π）﹣sin（x﹣）=2cos[（x﹣）+]=2cos（x+）=2sin（+x+）=2sin（x+）的图象，‎ 先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变，可得y=2sin（2x+）的图象，‎ 再将所得图象沿x向右平移个单位，可得y=2sin（2x﹣+）=2sin（2x+）的图象，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：（每题5分，共20分）‎ ‎13．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则此椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c，2b，2a，通过椭圆的短轴长是长轴长与焦距的等比中项，建立关于a，b，c的等式，求出椭圆的离心率即可．‎ ‎【解答】解：设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c，2b，2a，‎ ‎∵椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，‎ ‎∴4b2=2a•2c，‎ ‎∴b2=a•c ‎∴b2=a2﹣c2=a•c，‎ 由e=，‎ 两边同除以a2得：e2+e﹣1=0，‎ 解得：e=，‎ 由0＜e＜1，‎ ‎∴e=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知f（x）=，则的值是　﹣　．‎ ‎【考点】变化的快慢与变化率．‎ ‎【分析】根据瞬时变化率即可求出答案 ‎【解答】解：f（2+△x）﹣f（2）=﹣=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴f′（2）===﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎15．若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=　3　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先求出f′（x），因为x=1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，代入求出a即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）==．‎ 因为f（x）在1处取极值，‎ 所以1是f′（x）=0的根，‎ 将x=1代入得a=3．‎ 故答案为3‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1（k＞0）的单调递减区间是（0，4），则k的值是　　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】将三次多项式函数求导数，得f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，结合题意得f'（x）＜0的解集是（0，4），根据一元二次不等式解法的结论，比较系数即可得到实数k的值．‎ ‎【解答】解：对函数求导数，得f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x ‎∵函数的单调递减区间是（0，4），‎ ‎∴f'（x）＜0的解集是（0，4），‎ ‎∵k＞0，‎ ‎∴3kx2+6（k﹣1）x＜0等价于3kx（x﹣4）＜0，‎ 得6（k﹣1）=﹣12k，解之得k=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题：（共5题，共52分；其中21题12分，其余10分）‎ ‎17．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是　（﹣4，4）∪（﹣∞，﹣12）　．‎ ‎【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；四种命题的真假关系；函数单调性的性质．‎ ‎【分析】首先要解出命题p是真命题的条件a≤﹣4或a≥4．和命题q是真命题的条件a≥﹣12．然后根据已知因为p或q是真命题，p且q是假命题，则命题p和q必为一真一假．所以实数a的取值范围为“a≤﹣4或a≥4”和“a≥‎ ‎﹣12”的并集，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根，等价于△=a2﹣16≥0，所以a≤﹣4或a≥4．‎ 命题q；关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，等价于﹣≤3，所以a≥﹣12．‎ 因为p或q是真命题，p且q是假命题，则命题p和q一真一假．‎ 所以实数a的取值范围为它们的并集即（﹣4，4）∪（﹣∞，﹣12）．‎ 故答案为（﹣4，4）∪（﹣∞，﹣12）‎ ‎　‎ ‎18．设p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据一元二次不等式的解法分别求出命题p和q，由p是q的充分不必要条件，可知p⇒q，从而求出a的范围：‎ ‎【解答】解：因为|4x﹣3|≤1，所以≤x≤1，即p：≤x≤1．‎ 由x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0，‎ 得（x﹣a）[（x﹣（a+1）]≤0，‎ 所以a≤x≤a+1，因为p是q的充分不必要条件，‎ 所以p⇒q，q推不出p．‎ 所以或 解得0≤a≤．‎ 所以a的取值范围是[0，]．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数y=ex．‎ ‎（1）求这个函数在点（e，ee）处的切线的方程；‎ ‎（2）过原点作曲线y=ex的切线，求切线的方程．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出导函数，求出切线的斜率，求出切点为（e，ee）．然后求解切线方程．‎ ‎（2）设过原点且与y=ex相切的直线为y=kx．设切点为（x0，），则k=，列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意y′=ex．‎ ‎（1）x=e时，y′=ee即为x=e处切线的斜率，切点为（e，ee）．‎ 故切线方程为y﹣ee=ee（x﹣e）‎ 即eex﹣y+ee﹣ee+1=0．‎ ‎（2）设过原点且与y=ex相切的直线为y=kx．‎ 设切点为（x0，），则k=．‎ 又k=，∴=，‎ ‎∴x0=1，‎ 切线方程为：y﹣e=e（x﹣1）‎ 即ex﹣y=0．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（I）先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（II）先求出端点的函数值f（﹣2）与f（2），比较f（2）与f（﹣2）的大小，然后根据函数f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，得到f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．‎ ‎【解答】解：（I）f′（x）=﹣3x2+6x+9．‎ 令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，‎ 所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．‎ ‎（II）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，‎ 所以f（2）＞f（﹣2）．‎ 因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，‎ 又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，‎ 因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．‎ 故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，‎ 即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a≠0）．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）已知函数的解析式f（x）=x3﹣3ax+b，把点（2，f（2））代入，再根据f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求出a，b的值；‎ ‎（2）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间；‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣3a，‎ ‎∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）∵f′（x）=3（x2﹣a）（a≠0），‎ 当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点．‎ 当a＞0时，由，‎ 当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，‎ 当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，‎ 当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，‎ ‎∴此时是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点．‎