2017-2018学年湖北省孝感市八校高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

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2017-2018学年湖北省孝感市八校高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

‎2017-2018学年湖北省孝感市八校高二上学期期末考试数学(文)试题 一、单选题 ‎1.命题“对任意,都有”的否定为( )‎ A. 对任意,都有 B. 不存在,使得 C. 存在,使得 D. 存在,使得 ‎【答案】C ‎【解析】命题“对任意,都有”的否定为“存在,使得”‎ 故选:C ‎2.若复数满足,则( )‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,易得: ,‎ ‎∴.‎ 故选:B 点睛:复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位的看作一类同类项,不含的看作另一类同类项,分别合并即可;复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把的幂写成最简形式.‎ ‎3.余弦函数是偶函数, 是余弦函数,因此是偶函数,以上推理( )‎ A. 结论不正确 B. 大前提不正确 C. 小前提不正确 D. 全不正确 ‎【答案】C ‎【解析】大前提:余弦函数是偶函数,正确;‎ 小前提: 是余弦函数,因为该函数为复合函数,故错误;‎ 结论: 是偶函数,正确.‎ 故选:C ‎4.袋中装有3个黑球,4个白球,从中任取4个球,则 ‎①至少有1个白球和至少有1个黑球; ②至少有2个白球和恰有3个黑球;‎ ‎③至少有1个黑球和全是白球; ④恰有1个白球和至多有1个黑球.‎ 在上述事件中,是互斥事件但不是对立事件的为( )‎ A. ① B. ② C. ③ D. ④‎ ‎【答案】D ‎【解析】①至少有1个白球和至少有1个黑球,能同时发生,故不是互斥事件;‎ ‎②至少有2个白球和恰有3个黑球,既不能同时发生,也不能同时不发生,故二者是对立事件;‎ ‎③至少有1个黑球和全是白球,既不能同时发生,也不能同时不发生,故二者是对立事件;‎ ‎④恰有1个白球和至多有1个黑球,不能同时发生,但能同时不发生,故二者是互斥事件不是对立事件.‎ 故选:D ‎5.下列命题中为真命题的是( )‎ A. 命题“若,则”的逆命题 B. 命题“若,则”的逆命题 C. 命题“若,则”的逆命题 D. 命题“若,则”的逆否命题 ‎【答案】B ‎【解析】对于A,逆命题为“若,则”,当时, ,故A错误;‎ 对于B,逆命题为“若,则”,正确; ‎ 对于C,逆命题为“若,则”, 等价于或,‎ 显然错误;‎ 对于D,逆否命题与原命题同真同假,原命题为假命题,如, ,故D错误.‎ 故选:B ‎6.①已知,求证,用反证法证明时,可假设;②设为实数, ,求证与中至少有一个不小于,用反证法证明时可假设,且,以下说法正确的是( )‎ A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确 C. ①的假设正确,②的假设错误 D. ①的假设错误,②的假设正确 ‎【答案】C ‎【解析】根据反证法的格式知,①正确;②错误,②应该是与都小于,故选C.‎ ‎7.下列各数中,最大的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选:A ‎ 点睛:K进制的一般形式为:‎ ‎,其中 ‎.‎ ‎8.执行如图所示的程序框图,若输出的值为10,则判断框图可填入的条件是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】输入参数,第一次循环: ;第二次循环: ;第三次循环: ;第四次循环: ;第五次循环: ;退出循环,输出结果,故第四次循环完后, 满足判断内的条件,而第五次循环完后,不满足判断内条件,故判断内填入的条件是,故选D.‎ ‎9.淮北一中艺术节对摄影类的A,B,C,D四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:‎ 甲说:“是C或D作品获得一等奖”;‎ 乙说:“B作品获得一等奖”;‎ 丙说:“A,D两项作品未获得一等奖”;‎ 丁说:“是C作品获得一等奖”. ‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是( ).‎ A. A作品 B. B作品 C. C作品 D. D作品 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意,A,B,C,D作品进行评奖,只评一项一等奖,‎ 假设参赛的作品A为一等奖,则甲、乙、丙、丁的说法都错误,不符合题意;‎ 假设参赛的作品B为一等奖,则甲、丁的说法都错误,乙、丙的说法正确,符合题意;‎ 假设参赛的作品C为一等奖,则乙的说法都错误,甲、丙、丁的说法正确,不符合题意;‎ 假设参赛的作品D为一等奖,则乙、丙、丁的说法都错误,甲的说法正确,不符合题意;‎ 故获得参赛的作品B为一等奖;‎ 故选:B.‎ ‎10.下列说法中错误的是( )‎ A. 先把高二年级的2000名学生编号为1到2000,再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生,其编号为,然后抽取编号为, , 的学生,这样的抽样方法是系统抽样法 B. 线性回归直线一定过样本中心点 C. 若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的值越接近于1‎ D. 若一组数据1、、3的平均数是2,则该组数据的方差是 ‎【答案】C ‎【解析】对于A,根据抽样方法特征是数据多,抽样间隔相等,是系统抽样,A正确;‎ 对于B,线性回归直线一定过样本中心点,B正确;‎ 对于C,两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数|r|的值越接近于1,C错误;‎ 对于D, 一组数据1、a、3的平均数是2,∴a=2;‎ ‎∴该组数据的方差是s2=×[(1﹣2)2+(2﹣2)2+(3﹣2)2]= ,D正确.‎ 故选:C ‎11.鞋柜里有3双不同的鞋,从中取出一只左脚的,一只右脚的,恰好成双的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】鞋柜里有3双不同的鞋,从中取出一只左脚的,一只右脚的,共有9种取法,‎ 恰好成双的取法共有3种,‎ 故恰好成双的概率为 故选:B ‎12.命题“存在,使成立”为真命题的一个必要不充分条件可以是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】“存在,使成立”即“存在,使成立”‎ 而,∴,‎ ‎∴命题“存在,使成立”为真命题的一个必要不充分条件可以是 故选:C 点睛:点睛:充分、必要条件的三种判断方法.‎ ‎1.定义法:直接判断“若则”、“若则”的真假.并注意和图示相结合,例如“⇒ ”为真,则是的充分条件.‎ ‎2.等价法:利用⇒ 与非⇒非, ⇒ 与非⇒非, ⇔ 与非⇔非的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.‎ ‎3.集合法:若⊆ ,则是的充分条件或是的必要条件;若=,则是的充要条件.‎ 二、填空题 ‎13.对某同学的7次数学测试成绩(满分100分)进行统计,作出的茎叶图如图所示,给出关于该同学数学成绩的以下说法:‎ ‎①中位数为84;②众数为83;‎ ‎③平均数为85;④极差为16;‎ 其中,正确说法的序号是__________.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】将各数据按从小到大排列为:76,78,83,83,85,91,92.可见:中位数是83,∴①是错误的;‎ 众数是83,②是正确的;‎ ‎=84,∴③是不正确的.‎ 极差是92﹣76=16,④正确的.‎ 故答案为:②④.‎ ‎14.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为4,抽到的32人中,编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,其余的人做问卷,则抽到的人中,做问卷的人数为__________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】∵960÷32=30,‎ ‎∴由题意可得抽到的号码构成以4为首项、以30为公差的等差数列,‎ 由1≤30n﹣26≤720,n为正整数可得1≤n≤24,‎ ‎∴做问卷C的人数为32﹣24=8,‎ 故答案为:8.‎ ‎15.在2017年11月11日那天,某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示:‎ 由散点图可知,销售量与价格之间有较强的线性相关关系,其线性回归方程是,则__________.‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】由题意可得: , ‎ 又回归直线过样本中心点 ‎∴,∴‎ ‎∴,即.‎ 故答案为:20‎ ‎16.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”: , , , ,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则__________.‎ ‎【答案】99‎ ‎【解析】, , , ,则按照以上规律可知: ‎ ‎∴‎ 故答案为:99‎ 点睛:本题通过观察几组等式,归纳出一般规律来考查归纳推理,属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等;(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ 三、解答题 ‎17.(1)用秦九韶算法求多项式当时的值;‎ ‎(2)用辗转相除法或更相减损术求81和135的最大公约数.‎ ‎【答案】(1)255;(2)27‎ ‎【解析】试题分析:(1)把所给的函数式变化成都是一次式的形式,逐一求出从里到外的函数值的值,最后得到当时的函数值;‎ ‎(2)用辗转相除法求81与135的最大公约数,写出135=81×1+54=27×2+0,得到两个数字的最大公约数.‎ 试题解析:‎ ‎(1)‎ ‎; ; ; ‎ ‎; ‎ 所以,当时,多项式的值为255.‎ ‎(2)‎ ‎,‎ ‎,‎ 则81与135的最大公约数为27‎ 点睛:本题主要考查辗转相除法和更相减损术求最大公约数,属于中档题. 辗转相除法和更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法,辗转相除法是当大数被小数除尽时,结束除法运算,较小的数就是最大公约数;更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时停止减法运算.较小的数就是最大公约数.一般情况下,用辗转相除法得到最大公约数的步骤较少,而用更相减相术步骤较多.但运算简易.解题时要灵活运用.‎ ‎18.已知复数, (, 为虚数单位).‎ ‎(1)若是纯虚数,求实数的值;‎ ‎(2)若复数在复平面上对应的点在第四象限,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)由纯虚数概念明确实数的值;(2) 点在第四象限推出实部大于零,虚部小于零.‎ 试题解析:‎ ‎(1)依据 根据题意是纯虚数, , ;‎ ‎(2)根据题意在复平面上对应的点在第四象限,可得 ‎,‎ 所以,实数的取值范围为 ‎19.设实数满足,其中,命题实数满足.‎ ‎(1)若,且为真,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)当 时,由为真,则满足,求得实数的取值范围;‎ ‎(2) 是的充分不必要条件,记, ,‎ 则是的真子集.‎ 试题解析:‎ 由,得,‎ 又,所以.‎ 又得,所以 ‎(1)当时 由为真,则满足,则实数的取值范围是,‎ ‎(2)是的充分不必要条件,‎ 记, ‎ 则是的真子集,满足,‎ 则实数的取值范围是 ‎20.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)从袋子中有放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为,第二次取出的小球标号为.‎ ‎①记“”为事件,求事件的概率;‎ ‎②在区间内任取2个实数,求事件“恒成立”的概率.‎ ‎【答案】(1)2;(2)①,②‎ ‎【解析】试题分析:(1)利用从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是,确定n的值.‎ ‎(2)(i)从袋子中有放回地随机抽取2个球,共有基本事件16个,其中“a+b=2”为事件A的基本事件有5个,故可求概率.‎ ‎(ii)记“恒成立”为事件B,则事件等价于“”恒成立, 可以看成平面中的点的坐标,确定全部结果所构成的区域,事件B构成的区域,利用几何概型可求得结论.‎ 试题解析:‎ ‎(1)依题意,得.‎ ‎①记标号为0的小球为,标号为1的小球为,标号为2的小球为,则取出2个小球的可能情况有: , , , 共16种,其中满足“”的有5种: .所以所求概率为 ‎②记“恒成立”为事件,则事件等价于“”恒成立, 可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为,而事件构成的区域为.所以所求的概率为 点睛:(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解.‎ ‎(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.‎ ‎(3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性.基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.‎ ‎21.证明下列不等式:‎ ‎(1)当时,求证: ;‎ ‎(2)设, ,若,求证: .‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析 ‎【解析】试题分析:(1)利用分析法证明不等式;(2)利用综合法证明不等式.‎ 试题解析:‎ ‎(1)要证 即证 只要证,‎ 只要证,‎ 只要证,由于,‎ 只要证,‎ 最后一个不等式显然成立,所以 ‎(2)因为, , ,所以 ‎ ‎ 当且仅当,即时,等号成立所以 ‎22.某工厂有工人1000名,为了提高工人的生产技能,特组织工人参加培训.其中250名工人参加过短期培训(称为类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为类工人).现从该工厂的工人中共抽查了100名工人作为样本,调查他们的生产能力(生产能力是指工人一天加工的零件数),得到类工人生产能力的茎叶图(图1),类工人生产能力的频率分布直方图(图2).‎ ‎(1)在样本中求类工人生产能力的中位数,并估计类工人生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(2)若规定生产能力在内为能力优秀,现以样本中频率作为概率,从1000名工人中按分层抽样共抽取名工人进行调查,请估计这名工人中的各类人数,完成下面的列联表.‎ 若研究得到在犯错误的概率不超过的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关,则的最小值为多少?‎ 参考数据:‎ 参考公式: ,其中.‎ ‎【答案】(1)132.6;(2)360‎ ‎【解析】试题分析:(1)由茎叶图知A类工人生产能力的中位数,由频率分布直方图,估计出B类工人生产能力的平均数;‎ ‎(2)列出能力与培训的列联表,计算卡方,结合表格作出判断.‎ 试题解析:‎ ‎(1)由茎叶图知类工人生产能力的中位数为123,由频率分布直方图,估计类工人生产能力的平均数为 ;‎ ‎(2)由(1)及所给数据得能力与培训的列联表如下:‎ 由上表得 ‎,‎ 解得,又人数必须取整,‎ ‎∴的最小值为360. ‎
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