2017-2018学年湖北省孝感市八校高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年湖北省孝感市八校高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年湖北省孝感市八校高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．命题“对任意，都有”的否定为（ ）‎ A. 对任意，都有 B. 不存在，使得 C. 存在，使得 D. 存在，使得 ‎【答案】C ‎【解析】命题“对任意，都有”的否定为“存在，使得”‎ 故选：C ‎2．若复数满足，则（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，易得： ，‎ ‎∴.‎ 故选：B 点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可；复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．‎ ‎3．余弦函数是偶函数， 是余弦函数，因此是偶函数，以上推理（ ）‎ A. 结论不正确 B. 大前提不正确 C. 小前提不正确 D. 全不正确 ‎【答案】C ‎【解析】大前提：余弦函数是偶函数，正确；‎ 小前提： 是余弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；‎ 结论： 是偶函数，正确．‎ 故选：C ‎4．袋中装有3个黑球，4个白球，从中任取4个球，则 ‎①至少有1个白球和至少有1个黑球； ②至少有2个白球和恰有3个黑球；‎ ‎③至少有1个黑球和全是白球； ④恰有1个白球和至多有1个黑球.‎ 在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为（ ）‎ A. ① B. ② C. ③ D. ④‎ ‎【答案】D ‎【解析】①至少有1个白球和至少有1个黑球，能同时发生，故不是互斥事件；‎ ‎②至少有2个白球和恰有3个黑球，既不能同时发生，也不能同时不发生，故二者是对立事件；‎ ‎③至少有1个黑球和全是白球，既不能同时发生，也不能同时不发生，故二者是对立事件；‎ ‎④恰有1个白球和至多有1个黑球，不能同时发生，但能同时不发生，故二者是互斥事件不是对立事件.‎ 故选：D ‎5．下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆命题 B. 命题“若，则”的逆命题 C. 命题“若，则”的逆命题 D. 命题“若，则”的逆否命题 ‎【答案】B ‎【解析】对于A，逆命题为“若，则”，当时， ，故A错误；‎ 对于B，逆命题为“若，则”，正确； ‎ 对于C，逆命题为“若，则”， 等价于或，‎ 显然错误；‎ 对于D，逆否命题与原命题同真同假，原命题为假命题，如， ,故D错误.‎ 故选：B ‎6．①已知，求证，用反证法证明时，可假设；②设为实数， ，求证与中至少有一个不小于，用反证法证明时可假设，且，以下说法正确的是（ ）‎ A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D. ①的假设错误，②的假设正确 ‎【答案】C ‎【解析】根据反证法的格式知，①正确；②错误，②应该是与都小于，故选C.‎ ‎7．下列各数中，最大的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:A ‎ 点睛：K进制的一般形式为：‎ ‎，其中 ‎.‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输出的值为10，则判断框图可填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】输入参数，第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ；第四次循环： ；第五次循环： ；退出循环，输出结果，故第四次循环完后， 满足判断内的条件，而第五次循环完后，不满足判断内条件，故判断内填入的条件是，故选D.‎ ‎9．淮北一中艺术节对摄影类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是C或D作品获得一等奖”；‎ 乙说：“B作品获得一等奖”；‎ 丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；‎ 丁说：“是C作品获得一等奖”. ‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）.‎ A. A作品 B. B作品 C. C作品 D. D作品 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，‎ 假设参赛的作品A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；‎ 假设参赛的作品B为一等奖，则甲、丁的说法都错误，乙、丙的说法正确，符合题意；‎ 假设参赛的作品C为一等奖，则乙的说法都错误，甲、丙、丁的说法正确，不符合题意；‎ 假设参赛的作品D为一等奖，则乙、丙、丁的说法都错误，甲的说法正确，不符合题意；‎ 故获得参赛的作品B为一等奖；‎ 故选：B．‎ ‎10．下列说法中错误的是（ ）‎ A. 先把高二年级的2000名学生编号为1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为， ， 的学生，这样的抽样方法是系统抽样法 B. 线性回归直线一定过样本中心点 C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1‎ D. 若一组数据1、、3的平均数是2，则该组数据的方差是 ‎【答案】C ‎【解析】对于A，根据抽样方法特征是数据多，抽样间隔相等，是系统抽样，A正确；‎ 对于B，线性回归直线一定过样本中心点，B正确；‎ 对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数|r|的值越接近于1，C错误；‎ 对于D, 一组数据1、a、3的平均数是2，∴a=2；‎ ‎∴该组数据的方差是s2=×[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2]= ，D正确．‎ 故选:C ‎11．鞋柜里有3双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】鞋柜里有3双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，共有9种取法，‎ 恰好成双的取法共有3种，‎ 故恰好成双的概率为 故选：B ‎12．命题“存在，使成立”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】“存在，使成立”即“存在，使成立”‎ 而,∴，‎ ‎∴命题“存在，使成立”为真命题的一个必要不充分条件可以是 故选：C 点睛：点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒ ”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒ 与非⇒非， ⇒ 与非⇒非， ⇔ 与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆ ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ 二、填空题 ‎13．对某同学的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：‎ ‎①中位数为84；②众数为83；‎ ‎③平均数为85；④极差为16；‎ 其中，正确说法的序号是__________．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】将各数据按从小到大排列为：76，78，83，83，85，91，92．可见：中位数是83，∴①是错误的；‎ 众数是83，②是正确的；‎ ‎=84，∴③是不正确的．‎ 极差是92﹣76=16，④正确的．‎ 故答案为：②④．‎ ‎14．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为4，抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】∵960÷32=30，‎ ‎∴由题意可得抽到的号码构成以4为首项、以30为公差的等差数列，‎ 由1≤30n﹣26≤720，n为正整数可得1≤n≤24，‎ ‎∴做问卷C的人数为32﹣24=8，‎ 故答案为：8．‎ ‎15．在2017年11月11日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：‎ 由散点图可知，销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，则__________．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】由题意可得： ， ‎ 又回归直线过样本中心点 ‎∴，∴‎ ‎∴，即.‎ 故答案为：20‎ ‎16．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ， ， ， ，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则__________．‎ ‎【答案】99‎ ‎【解析】， ， ， ，则按照以上规律可知： ‎ ‎∴‎ 故答案为：99‎ 点睛：本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ 三、解答题 ‎17．（1）用秦九韶算法求多项式当时的值；‎ ‎（2）用辗转相除法或更相减损术求81和135的最大公约数.‎ ‎【答案】（1）255；（2）27‎ ‎【解析】试题分析：（1）把所给的函数式变化成都是一次式的形式，逐一求出从里到外的函数值的值，最后得到当时的函数值；‎ ‎（2）用辗转相除法求81与135的最大公约数，写出135=81×1+54=27×2+0，得到两个数字的最大公约数.‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ ‎； ； ； ‎ ‎； ‎ 所以，当时，多项式的值为255.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎，‎ 则81与135的最大公约数为27‎ 点睛：本题主要考查辗转相除法和更相减损术求最大公约数，属于中档题. 辗转相除法和更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法，辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束除法运算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时停止减法运算.较小的数就是最大公约数.一般情况下，用辗转相除法得到最大公约数的步骤较少，而用更相减相术步骤较多.但运算简易.解题时要灵活运用.‎ ‎18．已知复数， （， 为虚数单位）.‎ ‎（1）若是纯虚数，求实数的值；‎ ‎（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：(1)由纯虚数概念明确实数的值；(2) 点在第四象限推出实部大于零，虚部小于零.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依据 根据题意是纯虚数， ， ；‎ ‎（2）根据题意在复平面上对应的点在第四象限，可得 ‎，‎ 所以，实数的取值范围为 ‎19．设实数满足，其中，命题实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：(1)当 时，由为真，则满足，求得实数的取值范围；‎ ‎(2) 是的充分不必要条件，记， ，‎ 则是的真子集.‎ 试题解析：‎ 由，得，‎ 又，所以.‎ 又得，所以 ‎（1）当时 由为真，则满足，则实数的取值范围是，‎ ‎（2）是的充分不必要条件，‎ 记， ‎ 则是的真子集，满足，‎ 则实数的取值范围是 ‎20．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）从袋子中有放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为，第二次取出的小球标号为.‎ ‎①记“”为事件，求事件的概率；‎ ‎②在区间内任取2个实数，求事件“恒成立”的概率.‎ ‎【答案】（1）2；（2）①，②‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，确定n的值．‎ ‎（2）（i）从袋子中有放回地随机抽取2个球，共有基本事件16个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有5个，故可求概率．‎ ‎（ii）记“恒成立”为事件B，则事件等价于“”恒成立， 可以看成平面中的点的坐标，确定全部结果所构成的区域，事件B构成的区域，利用几何概型可求得结论．‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，得.‎ ‎①记标号为0的小球为，标号为1的小球为，标号为2的小球为，则取出2个小球的可能情况有： ， ， ， 共16种，其中满足“”的有5种： .所以所求概率为 ‎②记“恒成立”为事件，则事件等价于“”恒成立， 可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为，而事件构成的区域为.所以所求的概率为 点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎21．证明下列不等式：‎ ‎（1）当时，求证： ；‎ ‎（2）设， ，若，求证： .‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：(1)利用分析法证明不等式；(2)利用综合法证明不等式.‎ 试题解析：‎ ‎（1）要证 即证 只要证，‎ 只要证，‎ 只要证，由于，‎ 只要证，‎ 最后一个不等式显然成立，所以 ‎（2）因为， ， ，所以 ‎ ‎ 当且仅当，即时，等号成立所以 ‎22．某工厂有工人1000名，为了提高工人的生产技能，特组织工人参加培训.其中250名工人参加过短期培训（称为类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为类工人）.现从该工厂的工人中共抽查了100名工人作为样本，调查他们的生产能力（生产能力是指工人一天加工的零件数），得到类工人生产能力的茎叶图（图1），类工人生产能力的频率分布直方图（图2）.‎ ‎（1）在样本中求类工人生产能力的中位数，并估计类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）若规定生产能力在内为能力优秀，现以样本中频率作为概率，从1000名工人中按分层抽样共抽取名工人进行调查，请估计这名工人中的各类人数，完成下面的列联表.‎ 若研究得到在犯错误的概率不超过的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关，则的最小值为多少？‎ 参考数据：‎ 参考公式： ，其中.‎ ‎【答案】（1）132.6；（2）360‎ ‎【解析】试题分析：（1）由茎叶图知A类工人生产能力的中位数，由频率分布直方图，估计出B类工人生产能力的平均数；‎ ‎（2）列出能力与培训的列联表，计算卡方，结合表格作出判断.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由茎叶图知类工人生产能力的中位数为123，由频率分布直方图，估计类工人生产能力的平均数为 ；‎ ‎（2）由（1）及所给数据得能力与培训的列联表如下：‎ 由上表得 ‎，‎ 解得，又人数必须取整，‎ ‎∴的最小值为360. ‎