数学理卷·2018届贵州省铜仁市第一中学高三上学期第五次模拟（期末）考试（2018

数学理卷·2018届贵州省铜仁市第一中学高三上学期第五次模拟（期末）考试（2018

铜仁一中2017-2018学年度高三年级第五次月考 数学（理）试题 一、选择题（5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）‎ ‎1.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知等差数列的前项和为，则数列的前100项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 是 否 ‎4. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作品完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，右图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 函数的图象大致为()‎ ‎6．某校毕业典礼由5‎ 个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（ ）‎ A．24种 B．28种 C．36种 D．48种 ‎7.已知的图像关于点对称，且在区间上单调，则的值为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9．数列的前n项的和满足则下列为等比数列的是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，‎ 是双曲线右支上一点，且，若原点到直线的距离为，则双曲线的 ‎ 离心率为() ‎ A. B. C．2 D．3‎ ‎11.设，，若，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）‎ A． B．2 C. D．1‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知展开式中所有项的系数之和为729，则该展开式中含项的系数为．‎ ‎14.设变量满足约束条件：，则目标函数的最大值为.‎ ‎15.已知四棱锥的顶点都在半径为的球面上，底面是正方形，且底面经过球心的中点，，则该四棱锥的体积为．‎ ‎16.如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数.若112在这“等差数阵”中对应的行数为列数为，则．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知，在中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，且满足．‎ ‎(1)求角A的值； ‎ ‎(2)若，求△ABC面积的最大值．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图在棱锥中，为矩形，面，，‎ ‎，与面成角.‎ ‎（1）在上是否存在一点，使面;‎ ‎（2）当为中点时，求二面角的余弦值. ‎ ‎19.(本题满分12分)‎ ‎2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示.‎ ‎(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；‎ ‎(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率．‎ ‎(3)从这两种品牌产品中,抽取寿命超过300小时的产品3个,设随机变量X表示抽取的产品是甲品牌的产品个数,求X的分布列与数学期望值.‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 椭圆C1:(a＞b＞0)的离心率为,抛物线C2:y=-x2+2截x轴所得的线段长等于b.C2与y轴的交点为M，过点P(0,1)作直线与C2相交于点A，B,直线MA，MB分别与C1相交于D、E.‎ ‎ （1）求的方程；(2)求证:·为定值;‎ ‎(3)设△MAB,△MDE的面积分别为S1、S2,若S1=λ2S2(λ＞0),求λ的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数 ‎（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 直角坐标系的原点和极坐标系的极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线的参数方程为（为参数）‎ ‎（1）在极坐标系下，曲线与射线和射线分别交于两点，求的面积；‎ ‎（2）在直角坐标系下，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎23．（本小题满分12分）‎ 选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若不等式的解集为，且满足，求实数的取值范围．‎ 考题参考答案：‎ 选择题：1-12：CAACD BDDAB BD 填空题：13.240 14. 15. 16.38或24或16或14‎ ‎17.解：（1）由，‎ 则即 ‎（6分）‎ ‎（2）若，则由正弦定理得 即 的最大值为.（本题采用余弦定理亦可求解具体解答略）(12分)‎ ‎18.（Ⅰ）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在点E为PC中点…(6分)‎ 法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ，‎ 由题意知PD＝CD＝1，‎ ‎，设，，‎ 由，得，‎ 即存在点E为PC中点.（6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，‎ ‎，，，‎ 设面ADE的法向量为，面PAE的法向量为 由的法向量为得，得 同理求得所以 故所求二面角P－AE－D的余弦值为,因为二面角B-AE-D与二面角P-AE-D互补，所以二面角B-AE-D的余弦值为.(12分)‎ ‎19.解: (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.………………………………………(3分)‎ ‎(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有220＋210＝430个，其中乙品牌产品是210个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为.………………………………(7分)‎ ‎ (3)由题意知X可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)== ,P(X=1)= = ,‎ ‎ P(X=2)= = , P(X=3)= = .…………………(9分)‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴X的分布列为 故E(X)= 0×+1×+2×+3×= .……………………………(12分)‎ ‎20. 解:(1)由题设得b=2, (b＞0),∴b=2,又e= =,∴c2=a2=a2-4,解得a2=9.‎ 因此椭圆C1的方程为+ =1.（4分）‎ ‎（2）由抛物线C2的方程为y=-x2+2,得M(0,2).………(5分)‎ 设直线l的方程为 y=kx+1(k存在),A(x1,y1),B(x2,y2).于是.‎ 由消去y得x2+kx-1=0,∴,①………………………(6分)‎ ‎∴·=(x1,y1-2)·(x2,y2-2)=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+(kx1+1-2)(kx2+1-2)‎ ‎=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1,（7分）‎ ‎∴将①代入上式得·=-1-k2+k2+1=0(定值).……………………(8分)‎ ‎(2)由(2)知,MA⊥MB,∴△MAB和△MDE均为直角三角形,设直线MA方程为y=k1x+2,直线MB方程为y=k2x+2,且k1k2=-1,由解得或,∴A(-k1,-k12+2),同理可得B(-k2,-k22+2),‎ ‎∴S1=|MA|·|MB|= ·|k1||k2|.………………………………(9分)‎ 由解得或,∴D(,),‎ 同理可得E(,),‎ ‎∴S2=|MD|·|ME|= ··,………………………(10分)‎ ‎∴λ2= = (4+9k12)(4+9k22)= (16+81k12k22+36k12+36k22)‎ ‎= (97+ 36k12+ )≥,又λ＞0,∴λ≥ 故λ的取值范围是[,+∞)………………………………………………………(12分)‎ ‎21.21.解：（1）当时 当故曲线在原点处的切线方程为.(5分)‎ （2） ‎，在（0,1）上恒成立要满足以下情况：‎ ① 若上单调递减或先递减后递增不能恒成立排除；‎ ② 若在（0,1）上单调递增满足恒成立，即在（0,1）恒成立。‎ 即 恒成立；令因为，于是，当 ‎；‎ ① 若在（0,1）上先递增后递减，此时恒成立需满足，当不成立；‎ 综上k的取值范围是。（12分）‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 解：（Ⅰ）曲线在直角坐标系下的普通方程为，‎ 将其化为极坐标方程为，‎ 分别代入和，得，‎ ‎∵，‎ ‎∴的面积．（5分）‎ ‎（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的普通方程得，‎ 即，‎ ‎∴（5分）‎ ‎23．解析：（Ⅰ）可化为，‎ 即，或，或，‎ 解得，或，或；‎ 不等式的解集为．（5分）‎ ‎（Ⅱ）易知；[‎ 所以，又在恒成立；‎ 在恒成立；‎ 在恒成立；‎ ‎．（5分）‎