2017-2018学年福建省闽侯县第八中学高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年福建省闽侯县第八中学高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

福建省闽侯县第八中学2017-2018学年高二上学期期中试题 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 正方体的内切和外接球的半径之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，‎ ‎ 设正方体的棱长为，内切球的半径为，外接球的半径为，‎ 则，所以，所以，故选D.‎ ‎2. 半径为的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】易知圆锥底面半径为，所以高为，故选C．‎ ‎3. 在空间直角坐标系，给出以下结论：①点关于原点的对称点的坐标为；②点关于平面对称的点的坐标是；③已知点与点，则的中点坐标是；④两点，间的距离为5.其中正确的是（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】①点关于原点的对称点的坐标为，不正确；‎ ‎②点关于平面对称的点的坐标是，正确；‎ ‎③已知点与点，则的中点坐标是；正确；‎ ‎④两点,间的距离为，不正确.‎ 故选项为：C 点睛：正确理解空间两点之间的距离公式、中点坐标公式、对称性即可作出正确判断．‎ ‎4. 已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】A ‎【解析】当时，取，则，此时向量同向共线，夹角为0，不是锐角，故不是充分条件，当夹角为锐角时，，解得，故是必要条件，综上知，“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选A.‎ ‎5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎...............‎ ‎6. 空间中四点可确定的平面有（ ）‎ A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 1个或4个或无数个 ‎【答案】D ‎【解析】空间中四点可确定的平面的个数有：当四个点共线时，确定无数个平面； 当四个点不共线时，最多确定 =4个平面，最少确定1个平面， ∴空间中四点可确定的平面有1个或4个或无数个． 故选：D．‎ ‎7. 设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图, 分别以DA,DC，DD1为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,棱长为2，，由于,可得,同理可得,所以,即面的法向量为，，‎ 所以距离。选A.‎ ‎【点睛】‎ 点到面的距离可以用空间向量求解，求出面的法向量，这点和平面内任一点构成向量，由距离公式可求解。‎ ‎8. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列正确的是（ ）‎ A. ，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】逐一考查所给的命题：‎ A．若，，不一定可得，该命题错误；‎ B．若，，则，该命题正确；‎ C．若，，可能m∥两平面的交线，不一定，该命题错误；‎ D．若，，可能两平面有交线,不一定，该命题错误.‎ 本题选择B选项.‎ ‎9. 若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：将直线方程与圆方程联立，得，因为直线与圆有公共点，所以解得，故选D.‎ 考点：直线与圆的位置关系.‎ ‎10. 已知圆的方程为，是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，最长的弦长为直径，‎ 最短的弦长是过且与直径垂直的弦长，‎ 四边形的面积为 故答案选 点睛：根据题意，为经过点的圆的直径， 而是与垂直的弦，因此算出的长，利用垂直于弦的直径的性质算出长，根据四边形的面积公式，即可算出四边形的面积。‎ ‎11. 椭圆的焦点为，椭圆上的点满足，则的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，则，又，所以，，故选A．‎ ‎12. 若圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得直线过圆心C(-1，2),所以 ，由点向圆所作的切线长等于 ‎ ‎，所以选B.‎ 点睛：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 ‎(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得，即，由二次不等式的解法知，，故填 ‎14. 内角的对边分别为.已知，，，则角__________．‎ ‎【答案】60°或120°‎ ‎【解析】由正弦定理得：,所以，或，故填60°或120°.‎ ‎15. 若正数满足，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为5，故填5.‎ 点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题.解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，研究的式子乘以1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.‎ ‎16. 设数列是正项数列，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，则，两式相减，可得，当时也成立．则，有，为公差为的等差数列，其前项和．故本题应填．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. （1）若时，求关于的不等式的解；‎ ‎（2）求解关于的不等式，其中为常数.‎ ‎【答案】（1）或；（2）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1) 当时，不等式为：则不等式的解集为 或 ；‎ ‎(2)分类讨论可得不等式的解集为：若时，，若时，或，若时，或.‎ 试题解析：‎ ‎(1)当时，不等式为：即，‎ 据此可得，不等式的解集为 或 ；‎ ‎(2)不等式x2−(m+2)x+2m>0可化为(x−m)(x−2)>0，‎ 当m<2时,不等式的解集为{x|或}；‎ 当m>2时,不等式的解集为{x|或 }；‎ 当m=2时，不等式的解集为{x| }。‎ 点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据 ‎(1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．‎ ‎(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．‎ ‎(3)‎ 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．‎ ‎18. 在中，角所对的边分别为，若向量，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由平面向量数量积的坐标运算可得，则.‎ ‎(2)由面积公式可得，然后结合余弦定理可求得.‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 又，∴.‎ ‎(2).‎ ‎∴.‎ 又由余弦定理得，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎19. 设命题：实数满足，其中，命题：实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围.‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求p，q为真时实数的取值范围,再根据为真得p，q皆为真，即求交集（2）是的充分不必要条件等价于是的充分不必要条件，即 ‎ ，再根据数轴确定两集合之间包含关系得实数的取值范围.‎ 试题解析：由，其中，得， ，则， .‎ 由，解得，即.‎ ‎（1）若解得，若为真，则同时为真，‎ 即，解得，∴实数的取值范围 ‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，‎ ‎∴，即，解得 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非， ⇒与非⇒非， ⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的最小值；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）8；（2）0．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据式子的结构特点，构造均值不等式，求最小值；‎ ‎（2）根据恒成立，只需求的最大值即可，可构造均值不等式求出函数的最大值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ ‎∵，∴，∴（等号成立当且仅当）‎ ‎∴‎ ‎（2）∵，∴，∴（等号成立当且仅当）‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ 点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题.‎ 解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，研究的式子乘以1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.‎ ‎21. 据市场分析，某蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本（万元）可以看成月产量（吨）的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．‎ ‎（1）写出月总成本（万元）关于月产量（吨）的函数关系；‎ ‎（2）已知该产品的销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润．‎ ‎（3）当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？‎ ‎【答案】（1）；（2）月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元；（3）月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元．‎ 试题解析：（1）设 将，代入上式得，，解得 ‎∴‎ ‎（2）设利润为，则 ‎ 因为，‎ 所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元 ‎（3） ‎ 当且仅当，即时上式“=”成立.‎ 故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元.‎ ‎22. 设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且 ‎，公比大于1的等比数列满足，.‎ ‎（1）求证数列是等差数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若对一切正整数恒成立，求实数的取值 ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由与的关系，可求出，利用等差数列定义即可证明；（2）根据通项是等差数列与等比数列相乘的特点，用错位相减法求和；（3）可证明数列是单调递减数列，故可转化为恒成立，利用二次不等式恒成立的方法即可求解.‎ 试题解析：（1）当时，，，‎ ‎，所以，.‎ 因为当时，是公差的等差数列，‎ ‎，，‎ 则是首项，公差的等差数列，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由题意得，；‎ 则前项和 ；‎ ‎ ；‎ 相减可得 ‎ ‎；‎ 化简可得前项和；‎ ‎（3）对一切正整数恒成立，‎ 由 ，‎ 可得数列单调递减，即有最大值为，‎ 则，解得或.‎ 即实数的取值范围为.‎ 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．‎ ‎ ‎