2013-2017高考数学分类汇编-第2章 函数-5 函数的图像及应用(理科)

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2013-2017高考数学分类汇编-第2章 函数-5 函数的图像及应用(理科)

第五节 函数的图像及应用 题型27 识图(知式选图、知图选式)‎ ‎1. (2013江西理10)如图,半径为的半圆与等边三角形夹在两平 行线之间,,与半圆相交于两点,与三角形 两边,相交于两点,设弧的长为,‎ ‎,若从平行移动到,则函数的图像大致是( ).‎ ‎2.(2013四川理7)函数的图象大致是( )‎ ‎3. (2013山东理8)函数的图像大致为( ).‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4.(2014 福建理4)若函数的图像如图所示,则下列函数正确的是( ). ‎ A.‎ B.‎ C.‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ D.‎ ‎-1‎ ‎-3‎ ‎5.(2014 新课标1 理 6) ‎ ‎ 如图,圆的半径为,是圆上的定点,是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示成的函数,则在上的图像大致为( ).‎ ‎1‎ A.‎ ‎1‎ B.‎ ‎1‎ C.‎ ‎1‎ D.‎ ‎6.(2015安徽理9)函数的图像如图所示,则下列结论成立的是( ).‎ A.,, ‎ B.,,‎ C.,, ‎ D.,,‎ ‎6. 解析 由题可得,所以,即.令,则,‎ 所以.令,则,所以,所以.故选C.‎ ‎7.(2016全国乙理7)函数在的图像大致为( ).‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7. D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.‎ 解析 设,由,可排除A(小于),B(从趋势上超过);又时,,,‎ 所以在上不是单调函数,排除C.故选D.‎ 评注 排除B选项的完整论述,设=,则.由,,可知存在使得且时,所以在是减函数,即时切线斜率随的增大而减小,排除B.‎ 题型28 作函数的图像——暂无 题型29 函数图像的应用 ‎1.(2013江苏理13)在平面直角坐标系中,设定点,是函数()‎ 图象上一动点,若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为 .‎ ‎2. (2013湖南理5)函数的图像与函数的图像的交点个数为( ).‎ A.3 B.‎2 C.1 D.0 ‎ ‎3. (2013重庆理6)若,则函数 的两个零点分别位于区间( ).‎ A. 和内 B. 和内 ‎ C. 和内 D. 和内 ‎4. (2013辽宁理11)已知函数,‎ ‎.设,‎ ‎,表示中的较大值,表示 中的较小值,记得最大值为,得最小值为,则( ).‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5.(2013湖南理20)在平面直角坐标系中,将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径成为到的一条“路径”.如图6所示的路径与路径都是到的“路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面内三点处. 现计划在轴上方区域(包含轴)内的某一点处修建一个文化中心.‎ ‎(1)写出点到居民区的“路径”长度最小值的表达式(不要求证明);‎ ‎(2)若以原点为圆心,半径为的圆的内部是保护区,“路径”不能进入保护区,请确定点 的位置,使其到三个居民区的“路径”长度值和最小.‎ ‎6. (2013安徽理8)函数的图象如图所示,在区间上可找到个不同的数,使得,则的取值范围是( ).‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.(2014 山东理 8)已知函数,.若方程有两个不相等的实根,则实数的取值范围是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(2014 江苏理 13)已知是定义在上且周期为的函数,当时,‎ ‎.若函数在区间上有个零点(互不相同),‎ 则实数的取值范围是 .‎ ‎8.(2014 天津理 14)已知函数,.若方程恰 有个互异的实数根,则实数的取值范围为__________.‎ ‎8.(2014 浙江理 15)设函数,若,则实数的取值范 围是______.‎ ‎9.(2015北京理14)设函数 ‎(1)若,则的最小值为 ;‎ ‎(2)若恰有两个零点,则实数的取值范围是 .‎ ‎9. 解析 (1)若,.‎ 函数的值域为,因此的最小值为.‎ ‎(2)依题意,函数至多有一个零点.‎ 若函数恰有两个零点,则有两种情形:‎ ‎①函数,无零点,函数,有两个零点;‎ ‎②函数,有1个零点,函数,有一个零点.‎ 当函数满足情形①时,可得,解得.‎ 当函数满足情形②时,可得,解得.‎ 综上,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是.‎ ‎10.(2015湖南理15)已知,若存在实数,使函数有两个零点,则实数的取值范围是 .‎ ‎10. 解析 利用数形结合解题. 问题等价于函数与有两个交点时的取值范围. 令=, 解得或.当,,时的的图像分别如图(1)(2)(3)所示,上下平移可知,图(1)和图(3)与有两个交点. 所以的取值范围为.‎ ‎ ‎ 图(1) 图(2) 图(3)‎ ‎11.(2015江苏13)已知函数,,‎ 则方程实根的个数为 .‎ ‎11. 解析 解法一(逐步去绝对值):当时,‎ ‎,‎ 故,(舍)或,即在上有一解为.‎ 当时,,故,‎ ‎,‎ ‎①当时,,‎ 不妨设,对恒成立,‎ 故单调递减,,,‎ 根据绝对值函数的性质分析,在上有一解;‎ ‎②当时,,‎ 不妨设,则对恒成立,‎ 故单调递增,,又,‎ 根据绝对值函数的性质分析,在上有两解.‎ 综上所述:方程实根的个数为.‎ 解法二(直接去绝对值):设,‎ 则,下仿照解法一分析.‎ 或者通过分析的解亦可.‎ 解法三(图像转化):因为,‎ 所以,‎ 从而,‎ 即或.‎ 先分别画出与的图形,如图所示:‎ 得到图形中弯折、端点部位的具体值,然后分别研究与 的图像,如下图所示(绿色点表示交点),易见共有个交点.‎ 图形分析 图形分析 评注 本题考查函数的零点,函数的零点问题一般从函数的零点、方程的根、图像的交点角度解决,从方程的角度分析此题侧重去绝对值的步步考查,从函数的零点分析此题侧重对图像中部分点的精确取值.同样的零点求解问题,此题难度明显高于去年.‎ ‎12.(2015天津理8)已知函数 ,函数 ,‎ 其中 ,若函数 恰有4个零点,则的取值范围是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 解析 由得,‎ 所以,‎ 即 ‎,所以恰有个零点等价于方程 有个不同的解,即函数与函数的图像的个公共点,由图像可知.‎ ‎13.(2015山东理10)设函数,则满足的的取值范围是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎13.解析 因为,所以.①当时,,‎ 解得;②当时,,解得.‎ 综上所述,.故选C.‎ ‎14.(2015北京理7)如图所示,函数的图像为折线,则不等式的解集是( ). ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎14. 解析 函数不等式的求解,利用函数图像求解不等式.在同一坐标系中画出及的图像,如图所示.可知的解集为.‎ 故选C. ‎ ‎15.(2015全国I理12)设函数,其中,若存在唯一的整数使得,则的取值范围是( ).‎ A.   B.   C.   D.‎ ‎15.解析 由,且,知.‎ 所以满足题意的.又.‎ 当时,,函数在上单调递增;‎ 当时,,函数在上单调递增.‎ 因此,若存在唯一整数,使得,‎ 则,即,解得,又,‎ 所以的取值范围是.故选D.‎ ‎16.(2017全国3理15)设函数,则满足的的取值范围是_________.‎ ‎16.解析 因为,,即.由图像变换可作出与的图像如图所示.由图可知,满足的解集为.‎ ‎17.(2017山东理10)已知当时,函数的图像与的图像有且只有一个交点,则正实数的取值范围是( ).‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎17.解析 解法一:过点且对称轴为.‎ 当时,,从而在区间上单调递减,函数与的草图如图所示,此时有一个交点;‎ 当时,,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增.若函数与有一个交点,草图如图所示,则,解得;‎ 当时,函数与显然在区间有且只有一个交点为.‎ 综上所述,的取值范围是.故选B.‎ 解法二:若,则的值域为;的值域为,所以两个函数的图像无交点,故排除C、D;若,则点是两个函数的公共点.故选B.‎ 题型33 函数中的创新题 ‎1.(2015全国II理10)如图所示,长方形的边,,是的中点,点沿着边与运动,.将动点到两点距离之和表示为的函数,则的图像大致为( ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎1. 解析 由已知可得,当点在边上运动时,即时,‎ ‎;当点在边上运动时,即,时,‎ ‎ ;‎ 当时,; ‎ 当点在边上运动时,即时,.‎ 从点的运动过程可以看出,轨迹关于直线对称,,且轨迹非直线型.故选B.‎ ‎2.(2015四川理13)某食品的保鲜时间 (单位:小时)与储藏温度 (单位:)满足函数关系 (为自然对数的底数,为常数).若该食品在的保鲜时间是小时,在的保鲜时间是,则该食品在的保鲜时间是 .‎ ‎2. 解析 由题意可得,即,‎ 所以当时,‎ ‎3.(2015四川理15)已知函数,(其中).对于不相等的实数,设,,现有如下命题:‎ ‎①对于任意不相等的实数,都有;‎ ‎②对于任意的及任意不相等的实数,都有;‎ ‎③对于任意的,存在不相等的实数,使得;‎ ‎④对于任意的,存在不相等的实数,使得.‎ 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).‎ ‎3. 解析 ①.由得.‎ 令,则,故不单调.‎ 当时,为单调递减函数,不符合题意.‎ 当时,,由于是值域为的单调递增函数,故必存在一个,使得.且当时,.当时,.即不单调.所以①正确.‎ ‎②.由得.‎ 令,则,‎ 即对任意的,不单调.取,则。此时对任意的,都不单调.所以不一定有.②错误.‎ ‎③.若,则,即.‎ 令,则不单调.‎ 令,得要有根.‎ 令则,是值域为的增函数.所以存在,使得.‎ 所以在单调递减,在上单调递增,存在最小值.因此,对于任意的,不一定有根.所以③错误.‎ ‎④.若,则,即.‎ 令,则不单调.‎ 令,得要有根.而是值域为的减函数,所以一定会有根.所以对任意的,存在不相等的实数,使得.④正确.所以真命题为①,④.‎ ‎4.(2016山东理10)若函数的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称具有性质.下列函数中具有性质的是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎4. A 解析 因为函数,的图像上任何一点的切线的斜率都是正数;函数的图像上任何一点的切线的斜率都是非负数.在这三个函数的图像上都不可能存在这样的两点,使得在这两点处的切线互相垂直,即不具有性质.利用排除法. 故选A.‎ ‎5.(2016全国甲理12)已知函数满足,若函数与图像的交点为,,⋯,,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎5. B解析 由得,关于对称,而也关于 对称,所以对于每一组对称点有,,所以.故选B.‎ ‎6.(2016上海理18)设是定义域为的三个函数,对于命题:①若,,均为增函数,则中至少有一个为增函数;②若,,均是以为周期的函数,则均是以为周期的函数,下列判断正确的是( ).‎ A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 ‎ C.①为真命题,②为假命题 D.①为假命题,②为真命题 ‎6.解析 ①不成立,可举反例.增函数加增函数必为增函数,增函数加减函数未必单调递减,这跟速度有关,因此可以举分段一次函数的形式,从速度快慢上控制.‎ 如:,, .故①错误.‎ ‎②由题意,,‎ ‎,前两式求和后与第三式作差得,‎ 同理可得,.故②正确.故选D.‎ 评注 按照②的逻辑,得到有一步是将增函数减去增函数,初想其未必就一定是增函数.‎ ‎7.(2016四川理15)在平面直角坐标系中,当不是原点时,定义的“伴随点”为,当是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题:‎ ‎①若点的“伴随点”是点,则点的“伴随点”是点.‎ ‎②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.‎ ‎③若两点关于轴对称,则他们的“伴随点”关于轴对称.‎ ‎④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线.‎ 其中的真命题是 .‎ ‎7.②③ 解析 对于①,若令则其伴随点为,而的伴随点为,而不是.故错误;‎ 对于②,令单位圆上点的坐标为,其伴随点为仍在单位圆上.故②正确;‎ 对于③,设曲线关于轴对称,则对曲线表示同一曲线,其伴随曲线分别为与也表示同一曲线,又因为其伴随曲线分别为 与的图像关于轴对称,所以③正确;‎ 对于④,直线上取点得,其伴随点消参后轨迹是圆.故④错误.所以正确的序号为②③.‎
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