数学理卷·2018届山西省榆社中学高三3月高考适应性训练调研考试（2018

数学理卷·2018届山西省榆社中学高三3月高考适应性训练调研考试（2018

山西省榆社中学2018届高三适应性训练调研考试 数学（理）试卷 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。‎ 回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签宇笔写在答题卡上。‎ ‎4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合，，则下列结论正确的是 A. B.‎ C. D.‎ ‎2.已知复数满足，若的虚部为，则复数在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.在等比数列中，2，，则 A.28 B.32 ‎ C.64 D.14‎ ‎4.设且，则“”是“”的 A.必要不充分条件 B.充要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件 ‎5.我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术”‎ ‎，得到了著名的“徽率”，即圆周率精确到小数点后两位的近似值，如图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的值为(参考数据：，，)‎ A.24 B.36 C.48 D.12‎ ‎6.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为 A. B. C. D.‎ ‎7.在的展开式中，含项的系数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 A. ‎ B. ‎ C.8 ‎ D.‎ ‎9.某学校A、B两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，通过茎叶图比较两个班数学兴趣小组成绩的平均值及方差 ‎①A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班的平均成绩 ‎②B班数学兴趣小组的平均成绩高于A班的平均成绩 ‎③A班数学兴趣小组成绩的标准差大于B班成绩的标准差 ‎④B班数学兴趣小组成绩的标准差小于A班成绩的标准差 其中正确结论的编号为 A.①④ B.②③ C.②④ D.①③‎ ‎10.已知函数的部分图象如图所示，已知点，，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎11.倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且(为函数的导函数)，若且，则下列不等式一定成立的是( )‎ A. B.‎ C. D. ‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用，，，，分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现特征的五位数的概率为_____________.‎ ‎14.设变量满足约束条件，则的最大值为_____________.‎ ‎15.已知数列的前项和，如果存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是_____________.‎ ‎16.在内切圆圆心为的中，，，，在平面内，过点作动直线，现将沿动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影 落在直线上，点在直线上的射影为，则的最小值为_____________.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知的内角的对边长分别为，且.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)设为边上的高，，求的范围.‎ ‎18.随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017年1-8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 促销费用 ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎21‎ ‎15‎ ‎18‎ 产品销量 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ (1) 根据数据可知与具有线性相关关系，请建立关于的回归方程(系数精确到)；‎ (2) 已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：以(单位：件)表示日销量，，则每位员工每日奖励100元；，则每位员工每日奖励150元；，则每位员工每日奖励200元.现已知该网站6月份日销量服从正态分布，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元.(当月奖励金额总数精确到百分位).‎ 参考数据：，，其中，分别为第个月的促销费用和产品销量，.‎ 参考公式：‎ (1) 对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分 别为，.‎ (1) 若随机变量服从正态分布，则，.‎ ‎19.如图，三棱柱中，侧面为的菱形，.‎ ‎(1)证明：平面平面.‎ ‎(2)若，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.已知圆的圆心在抛物线上，圆过原点且与抛物线的准线相切.‎ ‎(1)求该抛物线的方程；‎ ‎(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别在点处作抛物线的两条切线交于点，求三角形面积的最小值及此时直线的方程.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎(2)若函数存在极大值，且极大值为1，证明：.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数)，曲线.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线、的极坐标方程；‎ ‎(2)射线与曲线、分别交于点(且均异于原点)当时，求的最小值.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)当时，求的解集；‎ ‎(2)若，当，且时，，求实数的取值范围.‎ 理科数学答案 一、选择题 ‎1-5CACDD 6-10ACBBA 11-12BC 二、填空题 ‎13．14．3‎ ‎15．16. ‎ 三、解答题(解答题仅提供一种解答，其他解答请参照此评分标准酌情给分）‎ ‎17.解：（1）在△ABC中 ‎……………6分 ‎（2）‎ ‎18（1）由题可知，………… 1分 将数据代入得 ‎………3分 ‎…………4分 所以关于的回归方程……………… 5分 ‎（说明：如果 ，，第一问总体得分扣1分）‎ ‎（2）由题6月份日销量服从正态分布，则 日销量在的概率为，‎ 日销量在的概率为，‎ 日销量的概率为，……………… 8分 所以每位员工当月的奖励金额总数为....10分 元.………………… 12分 ‎19.证明：（1）连接交于，连接 侧面为菱形，‎ ‎，为的中点， …………2分 又，平面 平面平面平面.…………4分 ‎（2）由，，，平面，平面 ‎…………………6分 从而，，两两互相垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系 直线与平面所成的角为，‎ 设，则，又，△是边长为2的等边三角形 ‎，‎ ‎………………………8分 设是平面的法向量，则即 令则 …………10分 设直线与平面所成的角为 则 直线与平面所成角的正弦值为. …………12分 ‎20.解：（1）由已知可得圆心，半径，焦点，准线 因为圆C与抛物线F的准线相切，所以，……………………2分 且圆C过焦点F，‎ 又因为圆C过原点，所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上，‎ 即 ………………………4分 所以，即，抛物线F的方程为…………………5分 ‎（2）易得焦点，直线L的斜率必存在，设为k，即直线方程为 设 得，，………… 6分 对求导得，即 直线AP的方程为，即，‎ 同理直线BP方程为 设，‎ 联立AP与BP直线方程解得，即……………… 8分 所以，点P到直线AB的距离……………………10分 所以三角形PAB面积，当仅当时取等号 综上：三角形PAB面积最小值为4，此时直线L的方程为. ………………12分 ‎21．解:‎ ‎（Ⅰ）由题意，‎ 一、 当时，，函数在上单调递增；………1分 二、 当时，函数单调递增，，故当时，，当时，，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增；………3分 三、 当时，函数单调递减，，故当时，，当时，，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减．………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知若函数存在极大值，则，且，解得，故此时，………6分 要证，只须证，及证即可，‎ 设，．‎ ‎，令 ‎，所以函数单调递增，‎ 又，，‎ 故在上存在唯一零点，即．‎ ‎………………8分 所以当，，当时，，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，‎ 故，‎ 所以只须证即可，‎ 由，得，‎ 所以，又，所以只要即可，‎ ‎………10分 当时，‎ 所以与矛盾，‎ 故，得证．………12分 ‎（另证）‎ 当时，‎ 所以与矛盾；‎ 当时，‎ 所以与矛盾；‎ 当时，‎ 得，故成立，‎ 得，所以，即．‎ ‎22.解：（1）曲线的普通方程为，的极坐标方程为….3分 的极坐标方程为………5分 ‎（2）联立与的极坐标方程得，‎ 联立与的极坐标方程得，……7分 则= =‎ ‎=………………………9分 ‎（当且仅当时取等号）.‎ 所以的最小值为…….10分 ‎23.‎ 解：当时，‎ ‎………………………2分 当时，无解；‎ 当时，的解为；‎ 当时，无解；‎ 综上所述，的解集为………….5分 当时，,…….6分 所以可化为………….7分 又的最大值必为、之一 ‎ …………………9分 即即 又所以所以取值范围为………10分